Riemann-Liouville differentialintegral

I matematik mappar Riemann-Liouville differentialintegralen en reell funktion till en annan funktion av samma typ för varje värde på parametern . Denna differentialintegral är en generalisering av den itererade antiderivatan av i den meningen att för positiva heltal är den iterativa derivatan av ordningsfunktionen . Riemann–Liouville-differentialintegralen är uppkallad efter Bernhard Riemann och Joseph Liouville , av vilka den sistnämnde var den första att överväga möjligheten till bråkräkning 1832. [1] Denna operator överensstämmer med Euler-transformen när den verkar på analytiska funktioner . [2] Det generaliserades till godtyckliga dimensioner av Marcel Rees , som introducerade Rees potentialen . $f\kolon\R\till\R$ $I^{\alpha }f$ $\alfa >0$ $f$ $\alfa$ $I^{\alpha }f$ $f$ $\alfa$

Riemann-Liouville-integralen definieras som:

I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(xt)^{ \alpha -1}\,dt,

var är gammafunktionen och är en godtycklig men fast referenspunkt. Det faktum att denna integral är väldefinierad säkerställs av den lokala integrerbarheten av funktionen , är ett komplext tal i halvplanet . Beroendet av referenspunkten är ofta inte signifikant och representerar friheten att välja integrationskonstanten . är naturligtvis antiderivatan (av första ordningen) av funktionen , för positiva heltal är antiderivatan av ordningen enligt Cauchy itererade integrationsformel . I annan notation, som betonar beroendet av referenspunkten, har den formen [3] : $\Gamma$ $a$ $f$ $\alfa$ $\mathrm {Re} \,\alpha >0$ $a$ $I^{1}f$ $f$ $\alfa$ $I^{\alpha }f$ $\alfa$

{}_{a}\mathbb {D} _{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )))\int \limits _{ a}^{x}f(t)(xt)^{\alpha -1}\,dt.

Detta uttryck är också meningsfullt för , med lämpliga begränsningar för . $a=-\infty$ $f$

De grundläggande relationerna kvarstår:

{\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\ beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,

varav den sista är en semigruppfastighet . [1] Dessa egenskaper tillåter inte bara att definiera fraktionerad integration, utan också bråkdelsdifferentiering genom att ta ett tillräckligt antal derivator av funktionen . $I^{\alpha }f$

Egenskaper

Låta vara ett fast avgränsat intervall . Operatören mappar vilken integrerbar funktion som helst till en funktion på , som också är integrerbar av Fubinis teorem . Definierar alltså en linjär operator på utrymmet : $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $f$ $(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $L^{1}(a,\;b)$

I^{\alpha }\colon L^{1}(a,\;b)\to L^{1}(a,\;b).

Det följer också av Fubinis teorem att denna operator är kontinuerlig med avseende på strukturen av Banach-utrymmet på . Följande ojämlikhet är alltså sann: $L^1$

\|I^{\alpha }f\|_{1}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha }}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.

Här betecknar normen i . ${\displaystyle \|\cdot \|_{1))$ $L^{1}(a,\;b)$

I ett mer allmänt fall följer av Hölders ojämlikhet att om tillhör , så tillhör också och en liknande ojämlikhet gäller: $f$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $L^{p}(a,\;b)$

\|I^{\alpha }f\|_{p}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha \,/\,p)){\mathrm { Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p},

var är utrymmesnormen på intervallet . Definierar alltså en avgränsad linjär operator från till sig själv. Dessutom tenderar att vara i -bemärkelse längs den verkliga axeln. Det är: ${\displaystyle \|\cdot \|_{p))$ $L^{p}$ $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $f$ $L^{p}$ $\alpha \to 0$

\lim _{\alpha \to 0+}\|I^{\alpha }ff\|_{p}=0

för alla . Dessutom, genom att utvärdera operatörens maximala funktion , kan man bevisa punktvis konvergens nästan överallt . $p\leqslant 1$ $jag$ $I^{\alpha }f\to f$

Operatören är väldefinierad på uppsättningen av lokalt integrerbara funktioner på hela den verkliga linjen . Den definierar en avgränsad mappning på alla Banach-rum av funktioner av exponentiell typ , bestående av lokalt integrerbara funktioner för vilka normen ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $\mathbb {R}$ $X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}\,dt)$

\|f\|=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt

ändlig. För ut , tar Laplace-transformen av funktionen en särskilt enkel form: $f$ ${\displaystyle X_{\sigma ))$ $I^{\alpha }f$

({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s),

var . Här betecknas Laplace-transformen av en funktion med och denna egenskap uttrycker det faktum att det är en Fouriermultiplikator . $\mathrm {Re} \,s>\sigma$ $F(s)$ $f$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$

Bråkderivator

Du kan också definiera bråkordningsderivator av funktionen : $f$

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \ rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,

där anger operationen att ta heltalsdelen av . Man kan också få en differential-integral interpolation mellan differentiering och integration genom att definiera: $\lceil \cdot \rceil$

\mathbb {D} _{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \ alpha \rceil ))}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),&\alpha >0;\\f(x),&\alpha =0;\\I^{-\ alpha }f(x),&\alpha <0.\end{cases}}

Anteckningar

↑ 1 2 Lizorkin, PI (2001), Fractional integration and differentiation , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Brychkov, Yu.A. & Prudnikov, A. P. (2001), Euler transformation , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Miller & Ross, 1993 , sid. 21

Länkar

Hille, Einar & Phillips, Ralph S. (1974), Funktionsanalys och semi-grupper , Providence, RI: American Mathematical Society .
Miller, Kenneth S. & Ross, Bertram (1993), An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9 .
Riesz, Marcel (1949), L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy , Acta mathematica vol. 81 (1): 1–223, ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007/BF02395016 .
Alan Beardon. Bråkanalys II . University of Cambridge (2000). Arkiverad från originalet den 17 maj 2012. (obestämd)
Alan Beardon. Bråkanalys III . University of Cambridge (2000). Arkiverad från originalet den 17 maj 2012. (obestämd)