Stelt system

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 september 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ett stel system av vanliga differentialekvationer (ODE) är (löst sett) ett sådant system av ODE, vars numeriska lösning med explicita metoder (till exempel Runge-Kutta- eller Adams -metoderna ) är otillfredsställande på grund av en kraftig ökning av antal beräkningar (med ett litet integrationssteg) eller på grund av en kraftig ökning av felet (den så kallade felexplosionen) med ett otillräckligt litet steg. Stela system kännetecknas av att för dem ger implicita metoder det bästa resultatet, oftast ojämförligt bättre än explicita metoder [1] .

Formell definition

Betrakta Cauchy-problemet för ett autonomt system av ODEs i formen

{\begin{cases}{\dfrac {d{\mathbf {y}}(x)}{dx}}={\mathbf {F}}({\mathbf {y}}(x)),\quad { \mathbf {F}}({\mathbf {y}})\in C^{p}(\Omega ),\quad \Omega \subset \mathbb{R} ^{m},\\{\mathbf {y }}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}\in \Omega ,\end{fall}}

(ett)

där är en okänd vektorfunktion , är en given vektorfunktion, är en oberoende variabel, är ett initialt villkor . ${\mathbf {y}}(x)$ ${\mathbf {F}}({\mathbf {y}})$ $x$ ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$

System (1) kallas stel om för några initiala värden på ett givet segment som hör till lösningens existensintervall (1) , följande villkor är uppfyllda: ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$ $[x_{0},\;x_{{\mathrm {end}}}]$

den maximala modulen för egenvärdena för Jacobi-matrisen ( spektral radie ) är avgränsad längs lösningen : $\rho$ ${\mathbf {y}}(x)$

0<L\leqslant \rho \left({\frac {\partial {\mathbf {y))(x)}{\partial x))\right)\leqslant \left\|{\frac {\partial {\ mathbf {y}}(x)}{\partial x}}\right\|=\left\|\left.{\frac {\partial K(x+\xi ,\;x)}{\partial \xi } }\right|_{{\xi =0}}\right\|<+\infty ,\quad x_{0}\leqslant x\leqslant x_{{\mathrm {end}}};

det finns siffror , , , som uppfyller följande villkor: $\xi _{{\mathrm {b}}}$ $N$ $\nu$

0<\xi _{{\mathrm {b}}}\ll x_{{\mathrm {end}}},\quad N\gg 1,\quad 1\leqslant \nu \leqslant p,\quad 0<\ xi _{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi _{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi \leqslant x_{{\mathrm {end}}};

följande ojämlikhet är sann:

\left\|{\frac {\partial ^{\nu }K(x+\xi ,\;x)}{\partial \xi ^{\nu ))}\right\|\leqslant \left({\frac {L}{N}}\höger)^{\nu }.

Här

K(x+\xi,\;x)=X(x+\xi)X^{{-1}}(x);

X(x)

är den fundamentala matrisen för ekvationen i variationer för system (1) ;

\|A\|=\|A\|_{m}=\max _{i}\summa _{{j=1}}^{m}|a_{{ij}}|

är matrisnormen .

m

\xi _{{\mathrm {b}}}

är den så kallade längden (parametern) av gränsskiktet.

Stela differentiella ODE-system inkluderar också system för vilka dessa villkor är uppfyllda efter skalning av vektorkomponenterna på varje lösning. ${\mathrm {y}}(x)$

Eftersom vilket icke-autonomt ODE-ordersystem som helst kan reduceras till ett autonomt genom att införa en extra hjälpfunktion, kallas ett icke-autonomt ODE-system rigid om det autonoma ordersystemet som motsvarar det är stel . $m$ $m+1$

Anteckningar

↑ Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Integration of stiff equations Arkiverad 24 september 2015 på Wayback Machine // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1952. - vol. 38(3). - s. 235-243.

Litteratur

Hairer E., Wanner G. Lösning av vanliga differentialekvationer. Stela och differentialalgebraiska problem / Per. från engelska. — M .: Mir, 1999. — 685 sid. — ISBN 5-03-003117-0 . .
Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Integration of stiff equations // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1952. - vol. 38(3). - s. 235-243.

Stelt system

Formell definition

Anteckningar

Litteratur

Länkar