Sluten monoidal kategori

I kategoriteorin är en sluten monoidal kategori en kategori som gör att man kan ta tensorprodukter av objekt samt betrakta objekt som motsvarar uppsättningar av morfismer. Det klassiska exemplet är kategorin uppsättningar , där det finns en kartesisk produkt av uppsättningar , såväl som en uppsättning funktioner mellan två uppsättningar. "Ett föremål som motsvarar en uppsättning morfismer" brukar kallas en inre Hom .

Definition

En symmetrisk monoidal kategori kallas sluten om för något av dess objekt funktorn , given av tensormultiplikation till höger: ${\mathcal {C}}$ $B$ $B$

A\mapsto A\otimes B

har en högra adjoint , betecknad

A\mapsto (B\Högerpil A).

Det betyder att det finns en bijektion, kallad ' currying ', mellan seten

{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C )

vilket är naturligt i A och i C .

På motsvarande sätt är en sluten monoidal kategori en kategori utrustad för alla två objekt A och B , ${\mathcal {C}}$

föremål , $A\högerpil B$
och morfism , $\mathrm {eval} _{A,B}:(A\Högerpil B)\ibland A\till B$

som uppfyller följande universella egenskap : för varje morfism

f:X\otimes A\to B

det finns bara en morfism

h:X\to A\Rightarrow B

Så att

f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).

Det kan visas att denna konstruktion definierar en funktor . Denna funktion kallas den inre funktorn Hom . Många andra notationer används för ett objekt , till exempel när en tensorprodukt i C är en kartesisk produkt av mängder, betecknas den vanligtvis och kallas en exponentiell . $\Rightarrow :C^{op}\otimes C\to C$ $A\högerpil B$ $B^{A}$

Bislutna kategorier

I fallet med en symmetrisk monoidal kategori är funktionsfaktorerna för vänster tensormultiplikation och höger tensormultiplikation naturligt isomorfa , så båda kan användas för att definiera slutenhet. Om kategorin inte är symmetrisk, motsvarar definitionen ovan en högerstängd monoidal kategori , eftersom vi bara krävde att tensormultiplikation med ett objekt till höger har en höger adjoint funktion. En vänsterstängd monoidal kategori är en där tensor multiplicerar med ett objekt till vänster $A$ $A$

B\mapsto A\otimes B

har en vänsteradjoint

B\mapsto (B\Leftarrow A)

En bisluten monoidal kategori är en monoidal kategori som är vänster- och högersluten.

Exempel

Som nämnts ovan är kategorin Set en sluten monoidal kategori. Den är också kartesisk stängd , och varje kartesisk stängd kategori är monoidal stängd.
Kategorin FdVect av ändligt dimensionella vektorrum och linjära avbildningar, med den vanliga tensorprodukten , är en sluten monoidal. Här är vektorrymden för linjära mappningar från till (isomorfisk till rymden av matriser). $A\högerpil B$ $A$ $B$

Anteckningar

Kelly, GM, "Basic Concepts of Enriched Category Theory" Arkiverad 8 september 2012 på Wayback Machine , London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (CUP, 1982)
Paul-André Mellies, Categorical Semantics of Linear Logic, 2007
Stängd monoidal kategori Arkiverad 3 juni 2013 på Wayback Machine på nLab [