Integrationen av den trigonometriska sekantfunktionen var föremål för ett av de "olösta problemen under mitten av 1600-talet", som löstes 1668 av James Gregory [1] . År 1599 uppskattade Edward Wright integralen med hjälp av numeriska metoder - vad vi idag kallar Riemanns summor [2] . Han hittade en lösning för kartografins syfte - nämligen att bygga exakta Mercatorprojektioner [1] . På 1640-talet jämförde Henry Bond, en lärare i navigering, lantmäteri och andra matematiska discipliner, Wrights numeriska tabeller av sekantintegraler med tabeller över logaritmer av tangent , och drog hypotetiskt slutsatsen [1] att
Denna hypotes har blivit allmänt känd. Isaac Newton nämner henne i sina brev 1665 [3] [4] .
Även om Gregory bevisade Bonds gissning 1668 i hans Exercitationes Geometricae , löste Isaac Barrow 1670 i Geometrical Lectures problemet med en mer elegant metod. Hans lösning var den tidigaste användningen av bråkexpansion vid integration [1] . I enlighet med modern notation börjar Barrows lösning så här:
Detta förenklar problemet med att hitta antiderivativa rationella funktioner genom att använda expansion av bråk. Den ytterligare lösningen av problemet är som följer:
Och slutligen, efter att ha utfört den omvända substitutionen , återgår vi till funktionen för variabeln x . Slutligen kan integralen skrivas i följande likvärdiga former:
Här betecknas Lambertian som en funktion invers till Gudermann-funktionen . Mercator-projektionen av en sfär på ett plan beskrivs exakt av denna funktion, som ger beroendet av den vertikala koordinaten y för projektionspunkten på den geografiska latituden x för prototyppunkten: y = lam x .
Integralen kan också tas med den universella trigonometriska substitutionen , men i det här fallet kommer lösningen att se något mer komplicerad ut än den som ges ovan.