Komplex logaritm

Den komplexa logaritmen är en analytisk funktion som erhålls genom att utöka den reella logaritmen till hela det komplexa planet (utom noll). Det finns flera likvärdiga sätt för sådan distribution. Denna funktion används ofta i komplex analys . Till skillnad från det verkliga fallet är den komplexa logaritmfunktionen flervärdig .

Definition och egenskaper

För komplexa tal kan logaritmen definieras på samma sätt som för reella tal, det vill säga som en inversion av en exponentialfunktion . I praktiken används nästan bara den naturliga komplexa logaritmen, vars bas är Euler-talet : det betecknas vanligtvis . $e$ $\mathrm {Ln} \,z$

Den naturliga logaritmen för ett komplext tal definieras [1] som en lösning till ekvationen $z$ $w$ $e^{w}=z.$

Andra, motsvarande detta, definitioner ges nedan.

Inom området för komplexa tal är lösningen av denna ekvation, i motsats till det verkliga fallet, inte unikt bestämd. Till exempel, enligt Euler-identiteten , ; dock också . Detta beror på att exponentialfunktionen längs den imaginära axeln är periodisk (med period ) [2] , och funktionen tar samma värde oändligt många gånger. Således är den komplexa logaritmiska funktionen flervärdig . $e^{\pi i}=-1$ $e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1$ $2\pi$ $w=\mathrm {Ln} \,z$

Den komplexa nollan har ingen logaritm eftersom den komplexa exponenten inte antar ett nollvärde. Icke-noll kan representeras i exponentiell form: $z$

z=r\cdot e^{{i(\varphi +2\pi k)}}\;\;,

var är ett godtyckligt heltal

k

Sedan hittas den av formeln [3] : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)

Här är den verkliga logaritmen. Av detta följer: $\ln \,r=\ln \,|z|$

Den komplexa logaritmen finns för alla , och dess verkliga del är unikt bestämd, medan den imaginära delen har ett oändligt antal värden som skiljer sig med en heltalsmultipel $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2\pi .$

Det kan ses från formeln att ett och bara ett av värdena har en imaginär del i intervallet . Detta värde kallas huvudvärdet för den komplexa naturliga logaritmen [1] . Den motsvarande (redan envärdiga) funktionen kallas logaritmens huvudgren och betecknas . Betecknar ibland också värdet på logaritmen, som inte ligger på huvudgrenen. Om är ett reellt tal, så sammanfaller huvudvärdet av dess logaritm med den vanliga reella logaritmen. $(-\pi ,\pi ]$ $\ln\,z$ $\ln\,z$ $z$

Det följer också av formeln ovan att den reella delen av logaritmen bestäms enligt följande genom komponenterna i argumentet:

\operatörsnamn {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})

Figuren visar att den reella delen som en funktion av komponenterna är centralsymmetrisk och endast beror på avståndet till origo. Den erhålls genom att rotera grafen för den verkliga logaritmen runt den vertikala axeln. När den närmar sig noll, tenderar funktionen att $-\infty .$

Logaritmen för ett negativt tal hittas av formeln [3] :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )

Exempel på värden för den komplexa logaritmen

Här är huvudvärdet för logaritmen ( ) och dess allmänna uttryck ( ) för några argument: $\ln$ $\mathrm{Ln}$

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi}{2));\;\mathrm {Ln} (i)={\frac {1}{2}}i\pi (4k+1 )

Du bör vara försiktig när du konverterar komplexa logaritmer, med hänsyn till att de är flervärdiga, och därför följer inte likheten mellan dessa uttryck av likheten mellan logaritmerna för några uttryck. Ett exempel på felaktiga resonemang:

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

är ett uppenbart fel.

Observera att huvudvärdet för logaritmen är till vänster och värdet från den underliggande grenen ( ) är till höger. Anledningen till felet är den vårdslösa användningen av egenskapen , vilket generellt sett i det komplexa fallet innebär hela logaritmens oändliga värdeuppsättning, och inte bara huvudvärdet. $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

Den komplexa logaritmiska funktionen och Riemann-ytan

I komplex analys , istället för att överväga funktioner med flera värden på det komplexa planet , togs ett annat beslut: att betrakta funktionen som enkelvärdig, men definierad inte på planet, utan på ett mer komplext grenrör , som kallas Riemann yta [4] . Den komplexa logaritmiska funktionen tillhör också denna kategori: dess bild (se figur) består av ett oändligt antal grenar vridna i en spiral. Denna yta är kontinuerlig och enkelt sammankopplad . Funktionens enda nolla (av första ordningen) erhålls vid . Singular punkter: och (grenpunkter av oändlig ordning) [5] . $z=1$ $z=0$ $z=\infty$

På grund av att den enkelt är ansluten är Riemannytan av logaritmen en universell täckning [6] för det komplexa planet utan en punkt . $0$

Analytisk fortsättning

Logaritmen för ett komplext tal kan också definieras som den analytiska fortsättningen av den reella logaritmen till hela det komplexa planet . Låt kurvan börja vid ett, sluta vid z, inte passera genom noll och inte korsa den negativa delen av den reella axeln. Då kan huvudvärdet för logaritmen vid kurvans slutpunkt bestämmas med formeln [5] : $\Gamma$ $w$ $\Gamma$

\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \över u}

Om det är en enkel kurva (utan självkorsningar), så för siffrorna som ligger på den kan logaritmiska identiteter tillämpas utan rädsla, till exempel: $\Gamma$

\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma

Huvudgrenen av den logaritmiska funktionen är kontinuerlig och differentierbar på hela det komplexa planet , förutom den negativa delen av den reella axeln, på vilken den imaginära delen hoppar till . Men detta faktum är en följd av den artificiella begränsningen av den imaginära delen av huvudvärdet av intervallet . Om vi betraktar alla grenar av funktionen, så sker kontinuitet vid alla punkter utom noll, där funktionen inte är definierad. Om kurvan tillåts korsa den negativa delen av den reella axeln, överför den första sådan skärningspunkten resultatet från huvudvärdegrenen till den angränsande grenen, och varje efterföljande skärning orsakar en liknande förskjutning längs grenarna av den logaritmiska funktionen [5 ] (se figur). $2\pi$ $(-\pi ,\pi ]$ $\Gamma$

Av den analytiska fortsättningsformeln följer att på vilken gren av logaritmen [2] som helst :

{\frac {d}{dz}}\ln z={1 \över z}

För varje cirkel som omsluter en punkt : $S$ $0$

\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i

Integralen tas i positiv riktning ( moturs ). Denna identitet ligger till grund för teorin om rester .

Man kan också definiera den analytiska fortsättningen av den komplexa logaritmen med hjälp av versioner av Mercator-serien kända för det verkliga fallet:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\prickar

(rad 1)

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)

(rad 2)

Av formen av dessa serier följer emellertid att vid enhet är summan av serien lika med noll, det vill säga serien hänvisar endast till huvudgrenen av den komplexa logaritmens flervärdiga funktion. Konvergensradien för båda serierna är 1.

Relation med invers trigonometriska och hyperboliska funktioner

Eftersom komplexa trigonometriska funktioner är relaterade till exponentialen ( Eulers formel ), så är den komplexa logaritmen som inversen av exponentialfunktionen relaterad till de inversa trigonometriska funktionerna [7] [8] :

\operatörsnamn {Arcsin} z=-i\operatörsnamn {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatörsnamn {Arccos} z=-i\operatörsnamn {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatörsnamn {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

\operatörsnamn {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

Hyperboliska funktioner på det komplexa planet kan betraktas som trigonometriska funktioner i det imaginära argumentet, så här finns det ett samband med logaritmen [8] :

\operatörsnamn {Arsh} z=\operatörsnamn {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1)))

- invers hyperbolisk sinus

\operatörsnamn {Arch} z=\operatörsnamn {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)

är den omvända hyperboliska cosinus

\operatörsnamn {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatörsnamn {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)

är den inversa hyperboliska tangenten

\operatörsnamn {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatörsnamn {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)

är den omvända hyperboliska kotangensen

Historisk översikt

De första försöken att utvidga logaritmer till komplexa tal gjordes vid sekelskiftet 1600- och 1700-talet av Leibniz och Johann Bernoulli , men de misslyckades med att skapa en holistisk teori, främst av den anledningen att själva begreppet logaritm inte var klart ännu. definierad [9] . Diskussionen om denna fråga var först mellan Leibniz och Bernoulli, och i mitten av 1700-talet mellan d'Alembert och Euler. Bernoulli och d'Alembert trodde att man borde definiera , medan Leibniz hävdade att logaritmen för ett negativt tal är ett imaginärt tal [9] . Den fullständiga teorin om logaritmerna för negativa och komplexa tal publicerades av Euler 1747-1751 och skiljer sig i huvudsak inte från den moderna [10] . Även om kontroversen fortsatte (d'Alembert försvarade sin åsikt och argumenterade i detalj i en artikel i hans Encyclopedia och i andra verk), fick Eulers tillvägagångssätt i slutet av 1700-talet universellt erkännande. $\log(-x)=\log(x)$

Under 1800-talet, med utvecklingen av komplex analys , stimulerade studiet av den komplexa logaritmen nya upptäckter. Gauss utvecklade 1811 en komplett teori om polysemin av den logaritmiska funktionen [11] , definierad som integralen av . Riemann , som förlitar sig på redan kända fakta om denna och liknande funktioner, konstruerade en allmän teori om Riemann-ytor . ${\frac {1}{z))$

Utvecklingen av teorin om konforma kartläggningar visade att Mercator-projektionen inom kartografi , som uppstod redan innan upptäckten av logaritmer (1550), kan beskrivas som en komplex logaritm [12] .

Litteratur

Teori om logaritmer

Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . - M . : Nauka, 1973. - 720 sid.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner för en komplex variabel. — M .: Nauka, 1967. — 304 sid.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - ed. 6:a. — M .: Nauka, 1966. — 680 sid.

Logaritmernas historia

1700-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). 1800-talets matematik. Geometri. Teori om analytiska funktioner. - M . : Nauka, 1981. - T. II.

Anteckningar

↑ 1 2 Logaritmisk funktion. // Matematisk uppslagsbok (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , Volym II, s. 520-522 ..
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , sid. 623..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Theory of functions of a complex variabel, 1967 , sid. 92-94..
↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Theory of functions of a complex variabel, 1967 , sid. 45-46, 99-100..
↑ Boltjanskij V. G. , Efremovich V. A. Visuell topologi . - M . : Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, nummer 21).
↑ Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , Volym II, s. 522-526 ..
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , sid. 624..
↑ 1 2 History of Mathematics, Volym III, 1972 , sid. 325-328..
↑ Rybnikov K. A. Matematikens historia. I två volymer. - M. : Ed. Moscow State University, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
↑ 1800-talets matematik. Volym II: Geometri. Theory of analytic functions, 1981 , sid. 122-123..
↑ Klein F. Elementär matematik från en högre synvinkel . - M . : Nauka, 1987. - T. II. Geometri. - S. 159-161. — 416 sid.