Projekt konstruktion

Proj är en konstruktion som liknar konstruktionen av affina scheman som spektra av ringar , med hjälp av vilka scheman konstrueras som har egenskaperna hos projektiva utrymmen och projektiva varianter .

I den här artikeln antas alla ringar vara kommutativa ringar med identitet.

Proj av en graderad ring

Proj som en uppsättning

Låt vara en graderad ring , där $S$

{\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i))

är den direkta summanedbrytningen som är förknippad med betygssättningen.

Beteckna med ideal Vi definierar mängden Proj S som mängden av alla homogena enkla ideal som inte innehåller $S_+$ $\bigoplus _{i>0}S_{i}.$ $S_{+}.$

I det följande kommer vi för korthetens skull ibland att beteckna Proj S som X .

Proj som ett topologiskt utrymme

Vi kan definiera en topologi, kallad Zariski-topologin , på Proj S genom att definiera slutna mängder som mängder av formen

V(a)=\{p\in \operatörsnamn {Proj} \,S\mid a\subseteq p\},

där a är ett homogent ideal av S . Som i fallet med affina scheman är det lätt att verifiera att V ( a ) är slutna uppsättningar av någon topologi på X.

Faktum är att om är en familj av ideal, då och om mängden I är ändlig, då . ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I))$ $\bigcap V(a_{i})=V(\Sigma a_{i})$ $\bigcup V(a_{i})=V(\Pi a_{i})$

På motsvarande sätt kan man börja med öppna uppsättningar och definiera

D(a)=\{p\in \operatörsnamn {Proj} \,S\mid a\;\not \subseteq \;p\}.

Standardstenografin är att beteckna D ( Sf ) som D ( f ), där Sf är idealet som genereras av f . För alla a , D ( a ) och V ( a ) är uppenbarligen komplementära, och ovanstående bevis visar att D ( a ) bildar en topologi på Proj S . Fördelen med detta tillvägagångssätt är att D ( f ), där f löper genom alla homogena element i S , utgör grunden för denna topologi, som är ett nödvändigt verktyg för att studera Proj S , på samma sätt som fallet med ringspektra.

Proj som schema

Vi konstruerar också en kärve på Proj S , kallad en strukturell kärv, som gör den till en krets. Liksom i fallet med Spec-konstruktionen finns det flera sätt att göra detta: det mest direkta, som också liknar konstruktionen av reguljära funktioner på ett projektivt grenrör i klassisk algebraisk geometri, är följande. För alla öppna uppsättningar U i Proj S definierar vi en ring som uppsättningen av alla funktioner $O_{X}(U)$

{\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)))

(där betecknar en subring av den lokala punktringen , bestående av partiella homogena element av samma grad) så att för varje primtal ideal p i U : $S_{(p)}$ $S_p$ $sid$

f(p) är ett element av ; $S_{(p)}$
det finns en öppen delmängd V av mängden U som innehåller p , och homogena element s , t i ringen S av samma grad, så att för varje primtal ideal q i V :
- t är inte i q ;
- f(q) = s/t .

Det följer omedelbart av definitionen att de bildar en bunt av ringar på Proj S , och det kan visas att paret (Proj S , ) är ett schema (desutom är varje delmängd av D(f) ett affint schema). $O_{X}(U)$ $O_{X}$ $O_{X}$

Sheaf associerad med en graderad modul

En väsentlig egenskap hos S i konstruktionen ovan var möjligheten att konstruera lokaliseringar för varje primideal p i S . Denna egenskap innehas också av alla graderade moduler M över S , och därför tillåter konstruktionen från avsnittet ovan, med små förändringar, oss att konstruera för en sådan M en bunt av moduler på Proj S , betecknad med . Genom sin konstruktion är denna stråle quasi-koherent . Om S genereras av ett ändligt antal element av grad 1 (det vill säga är en polynomring eller dess faktor), erhålls alla kvasikoherenta skivor på Proj S från graderade moduler som använder denna konstruktion. [1] Motsvarande betygsatt modul är inte unik. $S_{(p)}$ $O_{X}$ ${\tilde {M}}$

Serras vridande stråle

Ett specialfall av en kärve associerad med en graderad modul är när vi tar S själv som M med en annan gradering: vi betraktar nämligen gradelement ( d + 1) i modulen M som element av grad ( d + 1) av ringen S och beteckna M = S (1). Vi får en kvasi-koherent kärv på Proj S , betecknad eller helt enkelt O (1) och kallad den vridande Serre-kärven . Det kan verifieras att O (1) är en reversibel kärva . ${\tilde {M}}$ $O_{X}(1)$

En anledning till att O (1) är användbar är att den låter dig återställa algebraisk information om S som gick förlorad i konstruktionen när du gick till kvoter av potens 0. I fallet med Spec A för en ring A , de globala sektionerna av den strukturella kärven är A själv , så som i vårt fall består de globala sektionerna av kärven av element S av grad 0. Om vi definierar $O_{X}$ $O_{X}$

O(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}O(1)

sedan innehåller varje O ( n ) grad- n information om S. På liknande sätt kan vi för en bunt av -moduler N associerad med en S -modul M definiera $O_{X}$

N(n)=N\otimes O(n)

och förvänta dig att denna vridna kärve innehåller den förlorade informationen om M . Detta antyder, även om det är felaktigt, att S kan rekonstrueras från dessa skivor; detta är faktiskt sant om S är en polynomring, se nedan.

n -dimensionellt projektivt utrymme

Om A är en ring, definierar vi ett n -dimensionellt projektivt utrymme över A som ett schema

\mathbb {P} _{A}^{n}=\operatörsnamn {Proj} \,A[x_{0},\ldots ,x_{n}].

Vi definierar en gradering på ringen genom att anta att var och en har grad 1 och varje element i A har grad 0. Jämför vi detta med definitionen av O (1) ovan, ser vi att sektioner av O (1) är linjära homogena polynom som genereras av elementen . $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ $x_i$ $x_{i}$

Exempel

Om vi tar som basringen , då har den en kanonisk projektiv morfism på den affina linjen , vars fibrer är elliptiska kurvor , förutom skikten över punkter , över vilka skikten urartar till nodalkurvor. $A=\mathbb {C} [\lambda ]$ ${\text{Proj))(A[X,Y,Z]/(ZY^{2}-X(XZ)(X-\lambda Z)))$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1))$ $\lambda =0,1$
En projektiv hyperyta är ett exempel på en 3D Fermat quintic, som också är en Calabi-Yau grenrör . ${\text{Proj}}\left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots X_{4}^ {5})\right)$
Om vi betraktar en trivial gradering på , det vill säga för , då . $A$ $A_{0}=A$ $A_{i}=0$ $i\neq 0$ ${\text{Proj}}(A)={\text{Spec}}(A)$
Viktade projektiva utrymmen kan konstrueras med polynomringar med icke-standardiserade grader av variabler. Till exempelmotsvarar det viktade projektiva utrymmet att taringendärhar grad, medanhar grad 2. $\mathbb {P} (1,1,2)$ ${\text{proj))$ $A[X_{0},X_{1},X_{2}]$ $X_{0},X_{1}$ $ett$ $X_{2}$
En dubbelgradig ring motsvarar ett delschema av en produkt av projektiva utrymmen. Till exempel en dubbelgradig algebra där ha grad och ha grad motsvarar . $\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]$ $X_{i}$ $(1,0)$ $Y_{i}$ $(0,1)$ $\mathbb {P} _{X}^{1}\times \mathbb {P} _{Y}^{1}$

Anteckningar

↑ Ravi Vakil. Grunderna för algebraisk geometri . — 2015. , Följd 15.4.3.

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri / transl. från engelska. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . "Elements de geometrie algebrique: II. Étude global élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publications Mathématiques de l'IHES. 8, 1961.