Koordinera utrymme

Alla fysiska fenomen kan beskrivas i olika utrymmen: koordinat, momentum , fas , etc. Beskrivningarna är matematiskt likvärdiga, men skiljer sig åt i beskrivningens komplexitet och intuitivitet. I de flesta fall är koordinatutrymmet intuitivt och det enklaste att förstå processen som äger rum i det, men i fast tillståndsfysik är det i allmänhet mer bekvämt att använda impulsbeskrivningen.

Definition

Låt oss kalla den [1] -dimensionella vektorn för uppsättningen av siffror i fältet, dessa siffror är vektorns koordinater. För visshetens skull säger vi att den givna vektorn är en radievektor , även om detta inte är nödvändigt. $n$ $n$ $P,$ ${\vec {r}}={\vec {r}}(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}).$ ${\vec {r))$

Uppsättningen av dimensionella vektorer för vilka operationer är definierade: $n$

${\vec {a}}={\vec {b}}\;\leftrightarrow \;\left\{{\begin{matrix}a_{1}=b_{1}\\a_{2}=b_{2 }\\\ldots \\a_{n}=b_{n}\end{matris}}\right.$
${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1},\;a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n })$
$\lambda \cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot a_{1},\;\lambda \cdot a_{2},\ldots ,\lambda \cdot a_{n})$

kallas -dimensionellt aritmetiskt utrymme eller -dimensionellt koordinatrum . $n$ $n$ $P^{n}$

Egenskaper

Låta $\exists {\vec {0}}=(0,0,\ldots ,0),{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}),\ lambda \in \mathbb{R} ,\mu \in \mathbb{R}$

Associativitet :

({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}} )

Kommutativitet :

{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}

Det unika med lösningen av ekvationen :

\forall {\vec {a)),{\vec {b}}\;\finns !\;{\vec {x}}\i P^{n}\;:\;{\vec {a}} +{\vec {x}}={\vec {b}}

Förekomsten av ett neutralt element :

\forall {\vec {a}}\;:\;{\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}

Förekomsten av den motsatta vektorn:

\forall {\vec {a}}\;\exists {\vec {b}}(b_{1}=-a_{1},\;b_{2}=-a_{2},\ldots ,b_{ n}=-a_{n})\;:\;{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {0}}

Associativitet av skalär multiplikation :

\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R} \;:\;\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {a)))=(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {a}}

Fördelning av multiplikation med avseende på addition av skalärer:

(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=\lambda \cdot {\vec {a}}+\mu \cdot {\vec {a}}

Fördelning av multiplikation med avseende på vektoraddition:

\lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}

Förekomst av basvektorer:

Låta

\left\{{\begin{matrix}{\vec {v_{1}}}={\vec {v_{1}}}(1,0,\ldots ,0)\\{\vec {v_{2 }}}={\vec {v_{2}}}(0,1,\ldots ,0)\\\vdots \\{\vec {v_{n}}}={\vec {v_{n}} }(0,0,\ldots ,1)\end{matris}}\höger.

Sedan

Dessa vektorer är linjärt oberoende
Vilken vektor som helst kan representeras som ${\vec {v}}={\vec {v}}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})$ ${\vec {v}}=v_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+v_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +v_{n}\ cdot {\vec {v_{n))}$

Operatörer i koordinatutrymmet

Alla operatorer kan generaliseras till det dimensionella fallet, men för enkelhetens skull kommer endast de tredimensionella fallen att beaktas i detta avsnitt. $n$

Laplacian :

\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}

Nabla :

\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec { k))

Laplace vektoroperator [2] :

{\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})

Momentumoperator :

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

Se även

Anteckningar