Skalär produkt

Punktprodukt (kallas ibland inre produkt ) - resultatet av en operation på två vektorer , som är en skalär , det vill säga ett tal som inte beror på valet av koordinatsystem . Används för att bestämma längden på vektorer och vinkeln mellan dem.

Vanligtvis, för skalärprodukten av vektorer och en av följande notation används. $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}

eller bara

\mathbf {a} \mathbf {b}

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle

och den andra notationen används i kvantmekaniken för tillståndsvektorer [1] .

\langle a|b\rangle ;

I det enklaste fallet , nämligen i fallet med ett ändligt dimensionellt verkligt euklidiskt utrymme, använder de ibland den "geometriska" definitionen av skalärprodukten av vektorer som inte är noll och som produkten av längden av dessa vektorer med cosinus för vinkel mellan dem [2] : $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).

En ekvivalent definition: skalärprodukten är produkten av längden av projektionen av den första vektorn på den andra och längden av den andra vektorn (se figur). Om minst en av vektorerna är noll, anses produkten vara noll [3] .

Begreppet inre produkt har också ett stort antal generaliseringar för olika vektorrum , det vill säga för uppsättningar av vektorer med operationerna addition och multiplikation med skalärer . Ovanstående geometriska definition av den skalära produkten antar en preliminär definition av begreppen längden på en vektor och vinkeln mellan dem. I modern matematik används det omvända tillvägagångssättet: den skalära produkten definieras axiomatiskt, och genom den, längder och vinklar [4] . I synnerhet definieras den inre produkten för komplexa vektorer , flerdimensionella och oändliga dimensionella utrymmen , i tensoralgebra .

Punktprodukten och dess generaliseringar spelar en extremt stor roll i vektoralgebra , mångfaldsteori , mekanik och fysik. Till exempel är en krafts arbete under mekanisk förskjutning lika med skalärprodukten av kraftvektorn och förskjutningsvektorn [5] .

Definition och egenskaper

Vi kommer att säga att en skalär produkt definieras i ett reellt eller komplext vektorrum om varje par av vektorer från tilldelas ett nummer från det talfältet över vilket ges som uppfyller följande axiom. $L$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $L$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L,$

För alla tre element i rymden och alla siffror är likheten sann: (linjäritet hos den skalära produkten med avseende på det första argumentet). $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b}$ $\mathbb {L}$ $\alfa ,\beta$ $(\alpha \mathbf {a} _{1}+\beta \mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} _{1},\mathbf {b} )+\beta (\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )$
För alla gäller jämlikhet , där stapeln betyder komplex konjugation . $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\overline {(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )))$
För alla har vi: , och endast för (positiv definititet respektive icke-degeneration av den skalära produkten). $\mathbf {a}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geqslant 0$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Observera att Axiom 2 antyder att det är ett reellt tal. Därför är Axiom 3 vettigt, trots de komplexa (i det allmänna fallet) värdena för den skalära produkten. Om axiom 3 inte är uppfyllt kallas produkten indefinite eller indefinite . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )$

Om inte bara för , så kallas produkten kvasiskalär [6] . $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0$ $\mathbf {a} =0$

Från dessa axiom erhålls följande egenskaper:

kommutativitet för verkliga vektorer : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} );$
fördelningsförmåga med avseende på addition :och $(\mathbf {a} +\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )+(\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ $(\mathbf {c} ,\mathbf {a} +\mathbf {b} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} )+(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ) ;$
involutionell linjäritet med avseende på det andra argumentet :(i fallet med ett verkligt, helt enkelt linjäritet med avseende på det andra argumentet). $(\mathbf {a} ,(\alpha _{1}\mathbf {b} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {b} _{2}))={\överlinje {\ alpha _{1))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _{1})+{\overline {\alpha _{2))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _ {2});$ $L$
$(\alpha \mathbf {a} ,\beta \mathbf {b} )=\alpha {\overline {\beta ))(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ (vilket är detsamma som på riktigt ). $\alpha \beta (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ $L$

Det finns också egenskaper som inte är relaterade till dessa axiom:

icke -associativitet med avseende på multiplikation med en vektor [7] ':; $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} \neq \mathbf {a} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$
ortogonalitet : två icke-nollvektorer a och b är ortogonala om och endast om ( a , b ) = 0 (definitioner nedan ).

Kommentar. Inom kvantfysiken definieras den skalära produkten (av vågfunktioner som är komplext värderade) vanligtvis som linjär i det andra argumentet (och inte i det första), i det första argumentet kommer det att vara involutionellt linjärt. Det finns vanligtvis ingen förvirring, eftersom den traditionella notationen för prickprodukten i kvantfysik också är annorlunda: , d.v.s. argument separeras med ett rör istället för ett kommatecken, och parenteserna är alltid vinkelparenteser. $\langle \phi |\psi \rangle$

Definition och egenskaper i det euklidiska rummet

Verkliga vektorer

I det dimensionella reella euklidiska rymden definieras vektorer av sina koordinater - uppsättningar av reella tal på ortonormal basis . Du kan definiera den skalära produkten av vektorer enligt följande [4] : $n$ $n$ $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_ {n}b_{n}.

Verifiering visar att alla tre axiomen är uppfyllda.

Till exempel kommer den skalära produkten av vektorer och att beräknas enligt följande: $(1,3,-5)$ $(4,-2,-1)$

{\begin{aligned}\ (1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}

Det kan bevisas [8] att denna formel är ekvivalent med definitionen i termer av projektioner eller i termer av cosinus: $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).$

Komplexa vektorer

För komplexa vektorer definierar vi på liknande sätt [9] : $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\dots a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\dots b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k))}=a_{1} {\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}.

Exempel (för ): $n=2$ $(1+i,2)\cdot (2+i,i)=(1+i)\cdot ({\overline {2+i)))+2\cdot {\overline {i))= (1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.$

Egenskaper

Förutom de allmänna egenskaperna hos prickprodukten, gäller följande för flerdimensionella euklidiska vektorer:

till skillnad från vanlig skalär multiplikation, där om ab = ac och a ≠ 0, då b är lika med c , är detta inte sant för vektorskalär multiplikation: om a b = a c , det vill säga a (b − c) = 0 , då i den allmänna fall a och b − c är endast ortogonala; men vektorn 'b − c ' är i allmänhet inte lika med 0 , dvs b ≠ c ;
produktregel : för differentierbara vektorfunktioner a ( t ) och b ( t ) relationen ( a ( t ), b ( t ))′ = a ′( t ) ⋅ b ( t ) + a ( t ) ⋅ b ′ ( t ) [10] ;
uppskattning av vinkeln mellan vektorer: i formeln bestäms tecknet endast av vinkelns cosinus (vektornormer är alltid positiva). Därför är prickprodukten större än O om vinkeln mellan vektorerna är spetsig, och mindre än O om vinkeln mellan vektorerna är trubbig; $(\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$
projektionen av en vektor på den riktning som definieras av enhetsvektorn : $\mathbf {a}$ $\mathbf {e}$ $a_{e}=(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$ , därför att $|\mathbf {e} |=1;$
arean av ett parallellogram som spänns av två vektorer och är lika med $\mathbf {a}$ $\mathbf {b}$ ${\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2 }}}.$

Cosinussats i verkliga rymden

Cosinussatsen härleds lätt med hjälp av punktprodukten. Låt triangelns sidor vara vektorerna a , b och c , varav de två första bildar vinkeln θ , som visas på bilden till höger. Följ sedan egenskaperna och definitionen av den skalära produkten i termer av cosinus:

${\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {röd}a} -\mathbf {\color {blå}b} )\cdot (\mathbf {\color {röd}a} -\mathbf {\color {blå}b} )\\&=\mathbf {\color {röd}a} \cdot \mathbf { \color {röd}a} -\mathbf {\color {röd}a} \cdot \mathbf {\color {blå}b} -\mathbf {\color {blå}b} \cdot \mathbf {\color {röd } }a} +\mathbf {\color {blå}b} \cdot \mathbf {\color {blå}b} \\&=|\mathbf {\color {röd}a} |^{2}-\mathbf { \color {röd}a} \cdot \mathbf {\color {blå}b} -\mathbf {\color {röd}a} \cdot \mathbf {\color {blå}b} +|\mathbf {\color { blå}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {röd}a} |^{2}-2\mathbf {\color {röd}a} \cdot \mathbf {\color { blå }b} +|\mathbf {\color {blå}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {röd}a} |^{2}+|\mathbf {\color {blå } b} |^{2}-2|\mathbf {\color {röd}a} |{\cdot }|\mathbf {\color {blå}b} |\cos \mathbf {\color {lila}\theta } .\\\end{aligned}}$

Relaterade definitioner

I det moderna axiomatiska tillvägagångssättet, redan på basis av konceptet med skalärprodukten av vektorer, introduceras följande derivatbegrepp [11] :

Längden på en vektor, som vanligtvis förstås som dess euklidiska norm :

|\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )))

(Termen "längd" används vanligtvis för ändligdimensionella vektorer, men när det gäller beräkning av längden på en krökt bana, används det ofta i fallet med oändligt dimensionella utrymmen).

Vinkeln mellan två vektorer som inte är noll i det euklidiska rummet (särskilt det euklidiska planet) är ett tal vars cosinus är lika med förhållandet mellan skalärprodukten av dessa vektorer och produkten av deras längder (normer): $\varphi$

\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\ (0\leqslant \varphi \leqslant \pi ).

Dessa definitioner tillåter oss att behålla formeln: och i det allmänna fallet. Korrektheten av formeln för cosinus garanteras av Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten [12] : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\varphi )$

För alla element i ett vektorrum med en skalär produkt gäller följande olikhet: $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$

\vert (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\vert ^{2}\leqslant (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b } )

Om utrymmet är pseudo-euklidiskt definieras begreppet vinkel endast för vektorer som inte innehåller isotropa linjer inuti sektorn som bildas av vektorerna. I det här fallet introduceras själva vinkeln som ett tal vars hyperboliska cosinus är lika med förhållandet mellan modulen för den skalära produkten av dessa vektorer och produkten av deras längder (normer):

|(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatörsnamn {ch} \varphi .

Ortogonala (vinkelräta) är vektorer vars skalära produkt är lika med noll. Denna definition gäller för alla utrymmen med en positiv bestämd inre produkt. Till exempel är ortogonala polynom faktiskt ortogonala (i betydelsen av denna definition) mot varandra i något Hilbert-rum.
Ett utrymme (verkligt eller komplext) med en positiv-definierad inre produkt kallas ett pre-Hilbert-rum .
- I det här fallet kallas ett ändligt dimensionellt reellt utrymme med en positiv-definitiv skalärprodukt också euklidiskt , och ett komplext kallas hermitiskt eller enhetligt utrymme.
Det fall då den skalära produkten inte är teckendefinierad leder till den sk. mellanslag med obestämd metrisk . Den skalära produkten i sådana utrymmen genererar inte längre en norm (och den introduceras vanligtvis ytterligare). Ett ändligt dimensionellt reellt utrymme med en obestämd metrik kallas pseudo-euklidiskt (det viktigaste specialfallet av ett sådant utrymme är Minkowski-rummet ). Bland oändliga dimensionella utrymmen med en obestämd metrisk, spelar Pontryagin -utrymmen och Kerin-utrymmen en viktig roll .

Historik

Skalärprodukten introducerades av W. Hamilton 1846 [ 13] samtidigt med vektorprodukten i samband med kvaternioner - respektive som skalär- och vektordel av produkten av två kvaternioner, vars skalära del är lika med noll [14 ] .

Variationer och generaliseringar

I utrymmet för mätbara reella eller komplexa funktioner som är kvadratintegrerbara på någon domän Ω, kan man introducera en positiv-definitiv skalär produkt:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }f(x){\overline {g(x)))d\Omega

När man använder icke-ortonormala baser uttrycks den skalära produkten i termer av vektorkomponenter med deltagande av den metriska tensorn [15] : $g_{ij}$

{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g_{ij}a^{i}b^{j))

Samtidigt är själva måttet (mer exakt, dess representation i en given bas) ansluten på detta sätt med de skalära produkterna av basvektorer : $f_{i}\$

g_{ij}=(\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})

Liknande konstruktioner av den skalära produkten kan också introduceras på oändligt dimensionella utrymmen, till exempel på funktionsutrymmen:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2 })f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\ gånger \Omega _{2})

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega

där K är en positiv-definit, i det första fallet symmetrisk med avseende på permutation av argument (för komplex x - Hermitian) funktion (om du behöver ha den vanliga symmetriska positiv-definita skalärprodukten).

Den enklaste generaliseringen av en ändlig dimensionell skalär produkt i tensoralgebra är faltning över upprepade index.

Se även

Anteckningar

↑ Hall B.C. Quantum Theory for Mathematicians . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 sid. - (Kandidattexter i matematik. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . Arkiverad 31 januari 2016 på Wayback Machine - S. 85.
↑ Detta hänvisar till den minsta vinkeln mellan vektorer som inte överstiger $\pi.$
↑ Vector Algebra // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1. - S. 634.
↑ 1 2 Gelfand, 1971 , sid. 30-31.
↑ Targ S. M. Kraftverk // Physical Encyclopedia / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 sid. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Kudryavtsev L. D. Matematisk analys. II vol. - M., Higher School , 1970. - sid. 316.
↑ Weisstein, Eric W. Dot Produkten arkiverad 29 april 2021 på Wayback Machine . Från MathWorld - En Wolfram webbresurs.
↑ Calculus II - Punktprodukt . tutorial.math.lamar.edu . Hämtad 9 maj 2021. Arkiverad från originalet 9 maj 2021. (obestämd)
↑ Gelfand, 1971 , sid. 86.
↑ Stewart, James (2016), Calculus (8 uppl.), Cengage , avsnitt 13.2.
↑ Gelfand, 1971 , sid. 34.
↑ §9.5. Linjära rum med inre produkt: euklidiska och enhetliga
↑ Crowe MJ En historia om vektoranalys - utvecklingen av idén om ett vektorsystem . - Courier Dover Publications, 1994. - S. 32. - 270 sid. — ISBN 0486679101 . Arkiverad 6 mars 2019 på Wayback Machine
↑ Hamilton WR på Quaternions; eller om ett nytt system av fantasier i algebra // Philosophical Magazine. 3:e serien. - London, 1846. - T. 29 . - S. 30 .
↑ Gelfand, 1971 , sid. 240.

Litteratur

Gelfand I. M. Föreläsningar om linjär algebra. - 4:e uppl. — M .: Nauka, 1971. — 272 sid.

Länkar

Emelin A. Skalär produkt av vektorer . Hämtad: 14 november 2019. (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Stor ryss

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig