Hyperboliska funktioner

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 maj 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Hyperboliska funktioner är en familj av elementära funktioner uttryckta i termer av en exponentiell och nära relaterade till trigonometriska funktioner .

Definition

Hyperboliska funktioner ges av följande formler:

hyperbolisk sinus :

\operatörsnamn {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}

(betecknas i engelsk litteratur ) $\sinh x$

hyperbolisk cosinus :

\operatörsnamn {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}

(betecknas i engelsk litteratur ) $\cosh x$

hyperbolisk tangens :

\operatörsnamn {th} x={\frac {\operatörsnamn {sh} x}{\operatörsnamn {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x }+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}

(betecknas i engelsk litteratur ) $\tanh x$

hyperbolisk kotangens :

\operatörsnamn {cth} x={\frac {1}{\operatörsnamn {th} x}}={\frac {\operatörsnamn {ch} x}{\operatörsnamn {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1 }}

(betecknas i engelsk litteratur ) $\coth x$

hyperbolisk sekant :

{\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatörsnamn {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x))))

Den hyperboliska sekanten betecknas ibland också som . $\operatörsnamn {sech} x$

hyperbolisk cosekant :

{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x))))

Geometrisk definition

Med tanke på sambandet ger hyperboliska funktioner en parametrisk representation av hyperbeln ( , ). I det här fallet är argumentet , där är arean av den kurvlinjära triangeln , taget med "+"-tecknet om sektorn ligger ovanför axeln och "−" i motsatt fall. Uppenbarligen definieras hyperboliska funktioner också genom denna parameter, till exempel de hyperboliska sinusekvationerna i parametrisk form: , där är ordinatan för den punkt på hyperbeln som motsvarar arean . Denna definition är analog med definitionen av trigonometriska funktioner i termer av enhetscirkeln , som också kan konstrueras på liknande sätt. $\operatörsnamn {ch} ^{2}t-\operatörsnamn {sh} ^{2}t=1$ $x^{2}-y^{2}=1$ $x=\operatörsnamn {ch} t$ $y=\operatörsnamn {sh} t$ $t=2S$ $S$ $OQR$ $OXE$ $x=t,y=f(t)$ $med)$ $t=2S$

Egenskaper

Koppling med trigonometriska funktioner

Hyperboliska funktioner uttrycks i termer av trigonometriska funktioner i det imaginära argumentet.

$\operatörsnamn {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatörsnamn {ch} x=\cos(ix),\quad \operatörsnamn {th} x=-i\operatörsnamn {tg} (ix)$ .

$\operatörsnamn {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operatörsnamn {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatörsnamn {th} (ix)=i\operatörsnamn {tg} x$ .

Gudermann-funktionen relaterar trigonometriska funktioner och hyperboliska funktioner utan att involvera komplexa tal .

Viktiga relationer

$\operatörsnamn {ch} ^{2}x-\operatörsnamn {sh} ^{2}x=1.$

Bevis

$\operatörsnamn {ch} ^{2}x-\operatörsnamn {sh} ^{2}x=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\ höger)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}={\frac {(e^{x}+ e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}}={\frac {e^{2x}+2+e^ {-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}}={\frac {2+2}{4}}=1$

Jämnt/udda :
1. $\operatörsnamn {sh} (-x)=-\operatörsnamn {sh} x.$
2. $\operatörsnamn {ch} (-x)=\operatörsnamn {ch} x.$
3. $\operatörsnamn {th} (-x)=-\operatörsnamn {th} x.$
4. $\operatörsnamn {cth} (-x)=-\operatörsnamn {cth} x.$
5. $\operatörsnamn {sch} (-x)=\operatörsnamn {sch} x.$
6. $\operatörsnamn {csch} (-x)=-\operatörsnamn {csch} x+1.$
Tilläggsformler : _
1. $\operatörsnamn {sh} (x\pm y)=\operatörsnamn {sh} x\,\operatörsnamn {ch} y\pm \operatörsnamn {sh} y\,\operatörsnamn {ch} x.$
2. $\operatörsnamn {ch} (x\pm y)=\operatörsnamn {ch} x\,\operatörsnamn {ch} y\pm \operatörsnamn {sh} y\,\operatörsnamn {sh} x.$
3. $\operatörsnamn {th} (x\pm y)={\frac {\operatörsnamn {th} x\pm \operatörsnamn {th} y}{1\pm \operatörsnamn {th} x\,\operatörsnamn {th} y} }.$
4. $\operatörsnamn {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatörsnamn {cth} x\,\operatörsnamn {cth} y}{\operatörsnamn {cth} x\pm \operatörsnamn {cth} y} }.$
Dubbelvinkelformler:
1. $\operatörsnamn {sh} 2x=2\operatörsnamn {ch} x\,\operatörsnamn {sh} x={\frac {2\,\operatörsnamn {th} x}{1-\operatörsnamn {th} ^{2}x }}.$
2. $\operatörsnamn {ch} 2x=\operatörsnamn {ch} ^{2}x+\operatörsnamn {sh} ^{2}x=2\operatörsnamn {ch} ^{2}x-1=1+2\operatörsnamn {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatörsnamn {th} ^{2}x}{1-\operatörsnamn {th} ^{2}x}}.$
3. $\operatörsnamn {th} 2x={\frac {2\operatörsnamn {th} x}{1+\operatörsnamn {th} ^{2}x}}.$
4. $\operatörsnamn {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatörsnamn {th} x+\operatörsnamn {cth} x).$
5. $\operatörsnamn {th} x={\frac {\operatörsnamn {ch} 2x-1}{\operatörsnamn {sh} 2x}}={\frac {\operatörsnamn {sh} 2x}{1+\operatörsnamn {ch} 2x }}.$
6. $\operatörsnamn {ch} 2x\pm \operatörsnamn {sh} 2x=(\operatörsnamn {sh} x\pm \operatörsnamn {ch} x)^{2}.$
Flera vinkelformler:
1. $\operatörsnamn {sh} 3x=4\operatörsnamn {sh} ^{3}x+3\operatörsnamn {sh} x.$
2. $\operatörsnamn {ch} 3x=4\operatörsnamn {ch} ^{3}x-3\operatörsnamn {ch} x.$
3. $\operatörsnamn {th} 3x=\operatörsnamn {th} x{\frac {3+\operatörsnamn {th} ^{2}x}{1+3\operatörsnamn {th} ^{2}x}}.$
4. $\operatörsnamn {sh} 5x=16\operatörsnamn {sh} ^{5}x+20\operatörsnamn {sh} ^{3}x+5\operatörsnamn {sh} x.$
5. $\operatörsnamn {ch} 5x=16\operatörsnamn {ch} ^{5}x-20\operatörsnamn {ch} ^{3}x+5\operatörsnamn {ch} x.$
6. $\operatörsnamn {th} 5x=\operatörsnamn {th} x{\frac {\operatörsnamn {th} ^{4}x+10\operatörsnamn {th} ^{2}x+5}{5\operatörsnamn {th} ^ {4}x+10\operatörsnamn {th} ^{2}x+1}}.$
Konstverk:
1. $\operatörsnamn {sh} x\,\operatörsnamn {sh} y={\frac {\operatörsnamn {ch} (x+y)-\operatörsnamn {ch} (xy)}{2}}.$
2. $\operatörsnamn {sh} x\,\operatörsnamn {ch} y={\frac {\operatörsnamn {sh} (x+y)+\operatörsnamn {sh} (xy)}{2}}.$
3. $\operatörsnamn {ch} x\,\operatörsnamn {ch} y={\frac {\operatörsnamn {ch} (x+y)+\operatörsnamn {ch} (xy)}{2}}.$
4. $\operatörsnamn {th} x\,\operatörsnamn {th} y={\frac {\operatörsnamn {ch} (x+y)-\operatörsnamn {ch} (xy)}{\operatörsnamn {ch} (x+y) +\operatörsnamn {ch} (xy)}}.$
Belopp:
1. $\operatörsnamn {sh} x\pm \operatörsnamn {sh} y=2\operatörsnamn {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatörsnamn {ch} {\frac {x\mp y}{2 }}.$
2. $\operatörsnamn {ch} x+\operatörsnamn {ch} y=2\operatörsnamn {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatörsnamn {ch} {\frac {xy}{2}}.$
3. $\operatörsnamn {ch} x-\operatörsnamn {ch} y=2\operatörsnamn {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatörsnamn {sh} {\frac {xy}{2}}.$
4. $\operatörsnamn {th} x\pm \operatörsnamn {th} y={\frac {\operatörsnamn {sh} (x\pm y)}{\operatörsnamn {ch} x\,\operatörsnamn {ch} y)).$
Nedgraderingsformler:
1. $\operatörsnamn {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatörsnamn {ch} x+1}{2}}.$
2. $\operatörsnamn {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatörsnamn {ch} x-1}{2}}.$
Derivat :

Fungera $f(x)$	Derivat $f'(x)$	Notera
$\mathrm {sh} \x$	$\mathrm {ch} \x$	Bevis $(sh(x))'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=ch(x)$
$\mathrm {ch} \x$	$\mathrm {sh} \x$	Bevis $(ch(x))'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}} \cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x}\cdot (-1)) ={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=sh(x)$
$\mathrm {th} \ x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Bevis $(th(x))'=\left({\frac {sh(x)}{ch(x)}}\right)'={\frac {(sh(x))'\cdot ch( x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}} ={\frac {1}{ch^{2}(x)))$
$\mathrm {cth} \x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Bevis $(cthx)'=\left({\frac {ch(x)}{sh(x)))\right)'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)- ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x) )}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{ \frac {1}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \x$	$-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$	Bevis $(sch(x))'=\left({\frac {1}{ch(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)))$
$\mathrm {csch} \x$	$-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$	Bevis $(csch(x))'=\left({\frac {1}{sh(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)))$

Integraler : Se även: Lista över integraler av hyperboliska funktioner , Lista över integraler av inversa hyperboliska funktioner
1. $\int \operatörsnamn {sh} x\,dx=\operatörsnamn {ch} x+C.$
2. $\int \operatörsnamn {ch} x\,dx=\operatörsnamn {sh} x+C.$
3. $\int \operatörsnamn {th} x\,dx=\ln \operatörsnamn {ch} x+C.$
4. $\int {\frac {1}{\operatörsnamn {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatörsnamn {th} x+C.$
5. $\int {\frac {1}{\operatörsnamn {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatörsnamn {cth} x+C.$
6. $\operatörsnamn {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatörsnamn {ch} tdt.$
7. $\operatörsnamn {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatörsnamn {sh} tdt.$
8. $\operatörsnamn {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatörsnamn {ch} ^{2}t}}.$
Representation i termer av hyperbolisk tangens för en halv vinkel :
1. $\operatörsnamn {sh} x={\frac {2\operatörsnamn {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operatörsnamn {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
2. $\operatörsnamn {ch} x={\frac {1+\operatörsnamn {th} ^{2}{\frac {x}{2))}{1-\operatörsnamn {th} ^{2}{\ frac {x}{2}}}}}$
3. $\operatörsnamn {th} x={\frac {2\operatörsnamn {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operatörsnamn {th} ^{2}{\frac {x}{ 2}}}}$
4. $\operatörsnamn {cth} x={\frac {1+\operatörsnamn {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatörsnamn {th} {\frac {x}{ 2}}}}$
5. $\operatörsnamn {sch} x={\frac {1-\operatörsnamn {th} ^{2}{\frac {x}{2))}{1+\operatörsnamn {th} ^{2}{\ frac {x}{2}}}}}$
6. $\operatörsnamn {csch} x={\frac {1-\operatörsnamn {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatörsnamn {th} {\frac {x}{ 2}}}}$

Ojämlikheter

För alla körs: $x\in \mathbb {R}$

$0\leq \operatörsnamn {ch} x-1\leq |\operatörsnamn {sh} x|<\operatörsnamn {ch} x$
$|\operatörsnamn {th} x|<1$

Power series expansion

\operatörsnamn {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7 }}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

\operatörsnamn {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{ 6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}

\operatörsnamn {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7} }{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1 }}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}

\operatörsnamn {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac { 2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n }x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi

( Laurent-serien )

\operatorname {sch} \,x={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n }\,x^{2n}}{(2n)!}}

Här är Bernoulli-talen och Euler -talen . $B_{2n}$ $E_{2n}$

Diagram

Analytiska egenskaper

Den hyperboliska sinusen och den hyperboliska cosinus är analytiska i hela det komplexa planet, förutom den väsentligen singulära punkten i oändligheten. Den hyperboliska tangenten är analytisk överallt, förutom polerna vid punkterna , där är ett heltal. Resterna vid alla dessa poler är lika med en. Den hyperboliska cotangensen är analytisk överallt, förutom punkterna , dess rester vid dessa poler är också lika med en. $z=i\pi (n+1/2)$ $n$ $z=i\pi n$

Inversa hyperboliska funktioner

De kallas annars för area-funktioner: prefixet "area-" läggs till namnen på motsvarande hyperboliska funktioner - från lat. "område" - "område". De huvudsakliga värdena för områdesfunktionerna definieras av följande uttryck.

$\operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1)))$ - invers hyperbolisk sinus, area-sinus.
$\operatorname {arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1$ — invers hyperbolisk cosinus, area cosinus.
$\operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1$ - invers hyperbolisk tangens, areatangens.
$\operatorname {arcth} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1$ — omvänd hyperbolisk cotangens, area cotangens.
$\operatorname {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)))){x));0<x\leq 1$ — omvänd hyperbolisk sekant, områdessekant. Observera att lösningen också uppfyller ekvationen , men huvudvärdena för area-funktionerna är envärdiga funktioner. $y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2)))){x))$ $\operatörsnamn {sch} y=x$
$\operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatörsnamn {sgn} x{\sqrt {1+x^{2)))){x))=\left\{{\begin {array}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2)))){x)),\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\ sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{array}}\right.$ — invers hyperbolisk cosecant, area cosecant.

Diagram

Förhållandet mellan vissa inversa hyperboliska och inversa trigonometriska funktioner:

\operatörsnamn {Arsh} x=-i\operatörsnamn {Arcsin} (-ix),

\operatörsnamn {Arsh} (ix)=i\operatörsnamn {Arcsin} x,

\operatörsnamn {Arcsin} x=-i\operatörsnamn {Arsh} (ix),

\operatörsnamn {Arcsin} (ix)=-i\operatörsnamn {Arsh} (-x),

\operatörsnamn {Arccos} \ x=-i\ \operatörsnamn {Arch} \ x,

där i är den imaginära enheten .

Dessa funktioner har följande serieexpansion:

\operatorname {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac { 1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4 \cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1) ^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\höger){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}),\quad \ left\vert x\right\vert <1;

\operatorname {arch} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}} +\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3 }} \cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\summa _ {n =1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2))}\right){ \frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;

\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7} }{7}}+\ldots =\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.

I utländsk litteratur betecknas inversa hyperboliska funktioner ofta med ett minustecken av första graden: till exempel skriver de som (och betecknar en annan funktion - ), etc. $\operatörsnamn {Arth} \,x$ $\operatörsnamn {tanh} ^{-1}x$ $(\operatörsnamn {tanh} \,x)^{-1}$ $\operatörsnamn {cth} \,x$

Historik

Historiker upptäckte det första uppträdandet av hyperboliska funktioner i den engelske matematikern Abraham de Moivres ( 1707 , 1722 ) skrifter. En modern definition och en detaljerad studie av dem utfördes av Vincenzo Riccati 1757 ("Opusculorum", volym I), han föreslog också deras beteckningar: , . Riccati utgick från övervägandet av en enda hyperbel (se figuren i avsnittet #Definition ) . $\operatörsnamn {sh}$ $\operatörsnamn {ch}$

En oberoende upptäckt och ytterligare studie av egenskaperna hos hyperboliska funktioner utfördes av Johann Lambert ( 1768 ), som etablerade en bred parallellitet mellan formlerna för vanlig och hyperbolisk trigonometri. N. I. Lobachevsky använde därefter denna parallellism och försökte bevisa konsistensen av icke-euklidisk geometri , där cirkulär trigonometri ersätts med hyperbolisk.

Viss inkonsekvens har etablerats i notationen av hyperboliska funktioner. Till exempel, i Encyclopedia of Brockhaus och Efron används beteckningarna , beteckningarna förankrade i ryskspråkig litteratur och förankrade i engelskspråkig litteratur . $\operatörsnamn {sinhyp}$ $\operatörsnamn {cosyp}$ $\operatörsnamn {sh} ,\operatörsnamn {ch}$ $\sinh ,\cosh$

Applikation

Hyperboliska funktioner förekommer ofta vid beräkning av olika integraler . Vissa integraler av rationella funktioner och funktioner som innehåller radikaler kan beräknas ganska enkelt genom att ändra variabler med hjälp av hyperboliska funktioner.

På samma sätt som vymatriser beskriver rotationer i tvådimensionellt euklidiskt rum , beskriver matriser rotationer i det enklaste tvådimensionella Minkowski-rummet . På grund av detta förekommer hyperboliska funktioner ofta i relativitetsteorin . ${\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix))$ ${\begin{pmatrix}{\mathop {\mathrm {ch} }}\,x&{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x\\{\mathop {\mathrm {sh} }}\,x& {\mathop {\mathrm {ch} }}\,x\end{pmatrix}}$

Ett enhetligt rep eller kedja, fritt upphängd i sina ändar, har formen av en graf av en funktion (i samband med vilken den hyperboliska cosinusgrafen ibland kallas en kontaktledning ). Denna omständighet används i utformningen av bågar , eftersom formen på bågen i form av en inverterad kontaktledning mest effektivt fördelar belastningen. $y=a\,{\mathop {\mathrm {ch} }}\,{\frac {x}{a}}$

Litteratur

Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. Högre matematik. Differentialekvationer. Flera integraler. Rader. Funktioner av en komplex variabel. - Moskva: Nauka, 1985. - S. 464.

Shervatov V. G. Hyperboliska funktioner - Gostekhizdat, 1954. - 58 sid. - ( Populära föreläsningar om matematik ). — 25 000 exemplar.
A. R. Yanpolsky. hyperboliska funktioner. - Moskva, 1960. - 195 sid.

Länkar

GonioLab : Interaktiv demonstration av trigonometriska och hyperboliska funktioner på Java Web Start
TSB: Matematiska tecken
Inversa trigonometriska och hyperboliska funktioner (engelska)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor norsk Great Soviet (1 upplaga) Brockhaus och Efron Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 11979371t J9U : 987007553158105171 LCCN : sh85052338 NDL : 00571407 NKC : ph1124553