Mekaniskt arbete

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 31 augusti 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Arbete
$A,W$
Dimensionera	L2MT -2 _ _
Enheter
SI	J
GHS	erg
Anteckningar
skalär

Mekaniskt arbete - en fysisk storhet - är ett skalärt kvantitativt mått på verkan av en kraft (resultant kraft) på en kropp eller krafter på ett system av kroppar. Beror på det numeriska värdet och riktningen av kraften (krafterna) och på kroppens (kroppssystem ) förskjutning [1] .

Med en konstant kraft och en rätlinjig rörelse av en materialpunkt beräknas arbetet som produkten av kraftens storlek och förskjutningen och cosinus för vinkeln mellan förskjutnings- och kraftvektorerna: . I mer komplexa fall (icke-konstant kraft, krökt rörelse) är detta förhållande tillämpligt på ett litet tidsintervall, och för att beräkna det totala arbetet är summering över alla sådana intervall nödvändig. $A=Fs\cos(F,s)$

Inom mekaniken är arbete på en kropp det enda skälet till att ändra dess energi ; inom andra områden av fysiken förändras energin också på grund av andra faktorer (till exempel inom termodynamik , värmeöverföring).

Definition av arbete

Per definition är "elementärt" (utfört på oändligt kort tid) arbete den skalära produkten av kraften som verkar på en materiell punkt och förskjutning , dvs. $\vec{F}$ $d{\vec {s))$

\delta A={\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

Användningen av symbolen δ (snarare än ) beror på att arbetsdifferentialen inte nödvändigtvis är komplett. Arbete under en begränsad tidsperiod är integralen av elementärt arbete: $d$

A=\int \delta A

Om det finns ett system av materiella punkter, görs summeringen över alla punkter. I närvaro av flera krafter definieras deras arbete som arbetet av den resulterande (vektorsumman) av dessa krafter.

Notation, dimension

Arbete betecknas vanligtvis med stor bokstav (från tyska A rbeit - work, labor) eller en stor bokstav (från engelska w ork - work, labor). $A$ $W$

Måttenheten (dimension) för arbete i International System of Units (SI) är joule , i CGS - erg . Vart i

1 J = 1 kg m² / s² = 1 Nm ; 1 erg \u003d 1 g cm ² / s ² \ u003d 1 dyn cm ; 1 erg \ u003d 10 −7 J.

Beräkning av arbete

Fallet med en materialpunkt

Med en rätlinjig rörelse av en materialpunkt och ett konstant värde på kraften som appliceras på den , är arbetet (av denna kraft) lika med produkten av projektionen av kraftvektorn på rörelseriktningen och längden på förskjutningsvektorn gjort av punkten:

A=F_{s}s=Fs\ {\mathrm {cos))(F,s)={\vec F}\cdot {\vec s}

Här betecknar “ ” den skalära produkten , är förskjutningsvektorn . $\,\cdot \,$ ${\vec s}$

Om riktningen för den applicerade kraften är ortogonal mot kroppens förskjutning eller om förskjutningen är noll, är denna krafts arbete noll.

I det allmänna fallet, när kraften inte är konstant och rörelsen inte är rätlinjig, beräknas verket som en krökt integral av det andra slaget längs punktens bana [2] :

A=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}

(summeringen antyds längs kurvan, som är gränsen för en streckad linje som består av förskjutningar , om vi först betraktar dem ändliga och sedan låter längden av varje gå till noll). $d{\vec {s))$

Om det finns ett beroende av kraften på koordinaterna [3] definieras integralen [4] enligt följande:

A=\int \limits _({\vec {r}}_{0}}^({\vec {r}}_{1}}{\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)\cdot d{\vec {r}}

var och är radievektorerna för kroppens initiala och slutliga positioner. Till exempel, om rörelsen sker i planet , och och ( , - orts ), kommer den sista integralen att ta formen , där derivatan tas för kurvan längs vilken punkten rör sig. ${\vec r}_{0}$ ${\vec r}_{1}$ $xy$ ${\vec {F}}=F_{x}{\vec {e}}_{x}+F_{y}{\vec {e}}_{y}$ $d{\vec {r}}=dx{\vec {e}}_{x}+dy{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ $A=\int (F_{x}+F_{y}|dy/dx|)dx$ $dy/dx$ $y(x)$

Om kraften är konservativ (potentiell) , kommer resultatet av beräkningen av arbetet endast att bero på punktens initiala och slutliga position, men inte på banan längs vilken den rörde sig. $\vec{F}$

Fallet med ett system av poäng eller en solid

Krafternas arbete för att flytta systemet från materiella punkter definieras som summan av dessa krafters arbete för att flytta varje punkt (arbetet som utförs på varje punkt i systemet summeras i arbetet med dessa krafter på systemet): $N$

A=\summa A_{n},\quad n=1,2,..,N

Om kroppen inte är ett system av diskreta punkter, kan den delas upp (mentalt) i en uppsättning av oändligt små element (bitar), som var och en kan betraktas som en materiell punkt, och arbetet kan beräknas i enlighet med definitionen ovan. I detta fall ersätts den diskreta summan av en integral:

A=\int \delta A({\vec {r}}')=\iint {\frac {d{\vec {F}}({\vec {r}}')}{dV'} }\cdot d{\vec {r}}({\vec {r}}')dV'

var är arbetet med att flytta ett oändligt litet fragment av kroppsvolymen , lokaliserat nära koordinaten (i kroppens referensram), från den initiala till den slutliga positionen, (N/m 3 ) är densiteten av den verkande kraft, och integrationen utförs över hela kroppens volym. $dA({\vec {r))')$ $dV'$ ${\vec {r))'$ $d{\vec {F}}/dV'$

Dessa formler kan användas både för att beräkna arbetet för en viss kraft eller klass av krafter, och för att beräkna det totala arbetet som utförs av alla krafter som verkar på systemet.

Arbete och kinetisk energi

Kinetisk energi introduceras i mekaniken i direkt anslutning till begreppet arbete.

Med hjälp av Newtons andra lag , som gör det möjligt att uttrycka kraften i form av acceleration som (var är massan av en materiell punkt), såväl som relationerna och , elementärt arbete kan skrivas om som ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ $m$ $d{\vec {s}}=d{\vec {r}}={\vec {v}}dt$ $d(v^{2})/dt=d({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/dt=2{\vec {a}}\cdot {\vec { v}}$

\delta A=m{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}dt={\frac {d}{dt}}\left({\frac {mv^{2}}{ 2}}\right)dt

När vi integrerar från det första till det sista ögonblicket får vi

A=\Delta \left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=\Delta E_{k}

var är den kinetiska energin . För en materialpunkt definieras den som hälften av produkten av denna punkts massa och kvadraten på dess hastighet och uttrycks [5] som . För komplexa föremål som består av många partiklar är kroppens kinetiska energi lika med summan av partiklarnas kinetiska energier. $E_k$ $E_{k}=mv^{2}/2$

Arbete och potentiell energi

En kraft kallas potential om det finns en skalär funktion av koordinater, känd som potentiell energi och betecknad med , så att $E_{p}$

{\vec {F}}=-\nabla E_{p}

Här är nabla-operatören . Om alla krafter som verkar på en partikel är konservativa, och är den totala potentiella energin som erhålls genom att summera de potentiella energierna som motsvarar varje kraft, då $\nabla$ $E_{p}$

{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=-\nabla E_{p}\cdot d{\vec {s}}=-dE_{p}\Rightarrow -dE_{p }=dE_{k}\Högerpil d(E_{k}+E_{p})=0

Detta resultat är känt som lagen om bevarande av mekanisk energi och säger att den totala mekaniska energin

{\displaystyle E=E_{k}+E_{p))

i ett slutet system där konservativa krafter verkar, är konstant i tiden. Denna lag används ofta för att lösa problem med klassisk mekanik .

En krafts arbete i teoretisk mekanik

Låt en materialpunkt röra sig längs en kontinuerligt differentierbar kurva , där s är en variabel båglängd, och en kraft verkar på den som är riktad tangentiellt mot banan i rörelseriktningen (om kraften inte är riktad tangentiellt, så kommer vi att förstå projektion av kraften på kurvans positiva tangent, vilket reducerar detta fall till det som beskrivs nedan). $M$ $G=\{r=r(s)\}$ $0\leq s\leq S$ $F(s)$ $F(s)$

Värdet kallas det elementära arbetet av kraften på platsen och tas som ett ungefärligt värde av det arbete som kraften producerar , som verkar på en materiell punkt när den senare passerar kurvan . Summan av alla elementära verk är Riemann-integralsumman av funktionen . $F(\xi _{i})\triangel s_{i},\triangel s_{i}=s_{i}-s_{{i-1}},i=1,2,...,i_{{ \tau}}$ $F$ $G_{i}$ $F$ $G_{i}$ $\sum _{{i=1}}^{{i_{{\tau }}}}F(\xi _{i})\triangel s_{i}$ $F(s)$

I enlighet med definitionen av Riemann-integralen kan vi definiera arbete:

Gränsen till vilken summan av alla elementära verk tenderar när finheten hos skiljeväggen tenderar till noll kallas arbetet med kraften längs kurvan . $\sum _{{i=1}}^{{i_{{\tau }}}}F(\xi _{i})\triangel s_{i}$ $|\tau |$ $\tau$ $F$ $G$

Således, om vi betecknar detta verk med bokstaven , då, i kraft av denna definition, $A$

A=\lim _{|\tau |\högerpil 0}\summa _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangel s_{i}=\ int \limits _{0}^{s}F(s)ds

Om positionen för en punkt på banan för dess rörelse beskrivs med någon annan parameter (till exempel tid) och om den tillryggalagda sträckan är en kontinuerligt differentierbar funktion, kommer den sista formeln att ge $t$ $s=s(t)$ $a\leq t\leq b$

A=\int \limits _{a}^{b}F[s(t)]s'(t)dt

Arbeta i termodynamik

Inom termodynamik beräknas arbetet som utförs av en gas under expansion [6] som integralen av tryck över volym:

A_{1\rightarrow 2}=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}PdV

Arbetet med gasen sammanfaller med detta uttryck i absolut värde, men är motsatt i tecken.

Den naturliga generaliseringen av denna formel är tillämplig inte bara på processer där trycket är en funktion av enstaka värden av volym, utan också på vilken process som helst (avbildad av valfri kurva i planet ), i synnerhet på cykliska processer. $PV$
I princip är formeln tillämpbar inte bara på gas, utan också på allt som kan utöva tryck (det är bara nödvändigt att trycket i kärlet är detsamma överallt, vilket implicit antyds i formeln).

Denna formel är direkt relaterad till mekaniskt arbete, även om det verkar som om det tillhör en annan del av fysiken. Gastryckkraften riktas ortogonalt mot varje elementärt område och är lika med produkten av trycket och arean av området. När kärlet expanderar kommer det arbete som gasen gör för att förskjuta ett sådant elementärt område att vara $P$ $dS$ $h$

dA=PdSh

Detta är produkten av tryck- och volymökning nära det elementära området. Efter att ha summerat allt kommer resultatet att erhållas, där det redan kommer att ske en full volymökning, som i huvudformeln i avsnittet. $dS$

Se även

Anteckningar

↑ Targ S. M. Kraftverk // Physical Encyclopedia / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 sid. - 40 000 exemplar. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Detta görs utifrån att det är möjligt att bryta den totala slutliga förskjutningen i små successiva förskjutningar , på vilka kraften kommer att vara nästan konstant, vilket innebär att det kommer att vara möjligt att använda definitionen för en konstant kraft införd ovan . Sedan summeras arbetet med alla dessa rörelser , vilket ger integralen som ett resultat . $d{\vec {s))$ $d{\vec {s))$
↑ Som ofta är fallet. Till exempel, i fallet med ett Coulomb-fält, en sträckande fjäder, gravitationskraften hos en planet, etc.
↑ I huvudsak genom den föregående, eftersom här ; den lilla förskjutningsvektorn sammanfaller med . ${\vec F}(t)={\vec F}({\vec r}(t))$ $d{\vec {s))$ $d{\vec {r}}$
↑ Targ S. M. Kinetisk energi // Physical Encyclopedia / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1990. - T. 2. - S. 360. - 704 sid. — 100 000 exemplar. — ISBN 5-85270-061-4 .
↑ Arbetet som utförs av en gas när den komprimeras är uppenbarligen negativt, men beräknas med samma formel. Arbetet som utförs av en gas (eller på en gas) utan att expandera eller komprimera den (till exempel i processen att blanda med en omrörare) kan i princip uttryckas med en liknande formel, men ändå inte direkt med denna, eftersom den kräver generalisering: faktum är att i formel , antas trycket vara detsamma i hela volymen (vilket ofta görs inom termodynamiken, eftersom det ofta handlar om processer nära jämvikt), vilket leder till den enklaste formeln (i fallet för en roterande omrörare, till exempel, kommer trycket att vara olika på fram- och baksidan av bladet, vilket kommer att leda till den nödvändiga komplikationen av formeln om vi vill tillämpa den i ett sådant fall; dessa överväganden gäller för alla andra icke-jämviktsfall när trycket inte är detsamma i olika delar av systemet). $\int PDF$

Litteratur

Mekanikens historia från antiken till slutet av 1700-talet. I 2 vol. M.: Nauka, 1972.
Kirpichev VL Samtal om mekanik. M.-L.: Gostekhizdat, 1950.
Gliozzi M. Fysikens historia. M.: Mir, 1970.
Mach, E. Principen för arbete bevarande: en historia och dess rot. SPb., 1909.
Mach E. Mekanik. Historisk-kritisk skiss över dess utveckling. Izhevsk: RHD, 2000.
Tyulina I. A. Mekanikens historia och metodik. M.: Moscow State Universitys förlag, 1979.