Krökt integral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 juli 2022; verifiering kräver 1 redigering .

En kurvlinjär integral är en integral som beräknas längs en kurva .

Man skiljer på en krökt integral av det första slaget , där skalärfunktionen multipliceras med en oändligt liten längd av kurvområdet, och av den andra slaget , där vektorfunktionen multipliceras skalärt med en oändligt liten vektor som ligger längs med kurvan, som är försedd med en riktning .

Definition

Inledande villkor

Kurva

Låt vara en jämn ( kontinuerligt differentierbar ) kurva utan singulära punkter och självkorsningar (en självskärning är tillåten - fallet med en stängd kurva), given parametriskt : $l$

l\colon ~\mathbf {r} (t),

där r är radievektorn , vars ände beskriver kurvan, och parametern t är riktad från något initialvärde a till slutvärdet b . För en integral av det andra slaget bestämmer riktningen i vilken parametern rör sig riktningen på själva kurvan.Det spelar ingen roll vad som är större - b eller a . [ett] $l.$

Integrerbar funktion

Låt en skalär eller vektorfunktion ges, från vilken integralen längs kurvan eller $l\colon$ $f(\mathbf {r} )$ $\mathbf {f} (\mathbf {r} ).$

Uppdelning

Partitionering av segmentet för parametrisering

Låt en partition av ett segment (eller ) ges, det vill säga en uppsättning där: $[a,b]$ $[b,a]$ $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},$
- $a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b,$ om $a<b;$
- eller om $a={{t}_{0}}>\ldots >{{t}_{n}}=b,$ $a>b.$

Finheten för denna partition är ett tal som anger det maximala möjliga avståndet mellan alla närliggande värden för denna partition. $\max _{k={\överlinje {1,n))}\{|t_{k}-t_{k-1}|\},$

Låt oss introducera en uppsättning mellanliggande partitionspunkter — punkter som var och en ligger mellan och ( ). $\xi _{k},$ ${\displaystyle t_{k-1))$ $t_k$ $k=\överlinje {1,n}$

Bryta en kurva

Låt oss definiera en partition av kurvan som motsvarar partitionen för parameteriseringssegmentet. $\{\mathbf {r} (t_{k})\}_{k=0}^{n},$ ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n))$

För beteckna den del av kurvan från parameterns värde till värdet där ${\displaystyle l_{k))$ $\mathbf {r} (t)$ $t=t_{k-1}$ $t=t_{k},$ $k={\overline {1,n)).$

Låt oss definiera en uppsättning mellanliggande punkter för att dela kurvan - punkter som var och en ligger på ( ). $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ ${\displaystyle l_{k))$ $k=\överlinje {1,n}$

Integral summor

Nedan, för att bestämma integralsummorna, används mellanpunkter, partitionering och sektioner av kurvan . Betrakta två integralsummor : $\mathbf {r} (\xi _{k}),$ ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n))$ ${\displaystyle l_{k))$ $l.$

integralsumman för integralen av det första slaget: $\sum \limits _{k=1}^{n}f{\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot |l_{k}|,$ där | lk | _ — sektionslängd l k ;

integral summa för integralen av det andra slaget: $\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot {\big (}\mathbf {r} (t_{k})-\mathbf {r} (t_{k-1}){\big )},$

där vektorfunktionen f är skalär multiplicerad med inkrementet r ( t k ) − r ( t k −1 ).

Krökt integral

Om i integralen summor n ökas obegränsat så att finheten tenderar till noll, så får vi i gränsen en kurvlinjär integral av funktionen ( ) längs kurvan. Om denna gräns verkligen existerar, så säger vi att funktionen ( ) är Integrerbar längs kurvan . Då är integralerna av den första och andra typen: $f$ $\mathbf {f}$ $l.$ $f$ $\mathbf {f}$ $l.$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |},\quad \int _{l}\mathbf {f(r)\cdot dr} ,

där dr är differentialvektorn längs kurvan. När det gäller en integral av det andra slaget är kurvans riktning viktig: riktningen för själva differentialen dr beror på detta .

Om kurvan är stängd (början sammanfaller med slutet), är det vanligt att skriva istället för ikonen $l$ $\textstyle \int$ $\textstyle \oint .$

Kurvilinjär integral av det första slaget

Egenskaper

Linjäritet: $\int _{l}(\alpha f(\mathbf {r} )+\beta g(\mathbf {r} ))\cdot \mathbf {|dr|} =\alpha \int _{l} f\mathbf {|dr|} +\beta \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Additivitet: om och skär vid en punkt, då $l_{1}$ $l_{2}$ $\int _{l_{1}\cup l_{2}}f\mathbf {|dr|} =\int _{l_{1}}f\mathbf {|dr|} +\int _{l_ {2}}f\mathbf {|dr|} .$
Monotonicitet: om på , då $f\leqslant g$ $l$ $\int _{l}f\mathbf {|dr|} \leqslant \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Medelvärdessatsen: om funktionen på är kontinuerlig , är det möjligt för integralen att välja en punkt så att $f$ $l$ $\textstyle \int _{l}f\mathbf {|dr|}$ $\xi \in l,$ $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =\int _{l}f(\xi )\mathbf {|dr|} ,$ eller, vilket är detsamma, $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =f(\xi )\cdot |l|.$
Att ändra riktningen för att förbigå integrationskurvan påverkar inte integralens tecken: $\int _{AB}f\cdot |\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |{-}\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot | \mathbf {dr} |.$
Den kurvlinjära integralen av det första slaget beror inte på kurvans parametrisering.

Beräkning

Låta vara en jämn, likriktbar (av ändlig längd) kurva ges parametriskt (som i definitionen av ). Låt funktionen vara definierad och integrerbar längs kurvan , då i det allmänna fallet $l$ $f(\mathbf {r} )$ $l.$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|=\int _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|,

eller, om vi expanderar modulen för differentialen d t ,

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}={\begin{cases}\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf { r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot { r}} (t)|(-dt),&{\text{if}}~a<b,\\\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot | \mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt)=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt,&{\text{if}}~a>b.\end{cases}}

där punkten anger derivatan med avseende på t .

Krökt integral av det andra slaget

Egenskaper

1. Linjäritet:

\int _{l}(\alpha \mathbf {f} +\beta \mathbf {g} )\cdot \mathbf {dr} =\alpha \int _{l}\mathbf {f\cdot dr} +\beta \int _{l}\mathbf {g\cdot dr} .

2. Additivitet:

\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} +\int _{BC}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{ABC}\mathbf {f\cdot dr} .

3. $\int _{BA}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{AB}\mathbf {f} \cdot (-\mathbf {dr} )=-\int _{AB}\mathbf { f\cdot dr} .$

Kommentar. För kurvlinjära integraler av det andra slaget är monotoniegenskapen, moduluppskattningen och medelvärdessatsen inte giltiga.

Beräkning

Låt AB vara en jämn kurva given parametriskt (som i definitionen av ) och försedd med en riktning från A till B . Låt funktionen vara definierad och integrerbar längs kurvan $\mathbf {f}$ $l.$

\int _{AB}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t )dt,

och när du ändrar genomgången av kurvan:

\int _{BA}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{b}^{a}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t )dt=-\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t)dt.

Relationen mellan kurvlinjära integraler

Om vi betecknar som en enhetsvektor tangenten till kurvan som har samma riktning som själva kurvan parametriseras, så är förhållandet mellan de kurvlinjära integralerna följande: ${{\vec {\tau}}}$ $l,$

\mathbf {\color {Grön}dr} ={\vec {\tau }}\mathbf {\color {Grön}|dr|} .

När det gäller själva integralerna ser det ut så här:

\int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Grön}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Grön} |dr|} ,

där är en jämn, likriktbar kurva utrustad med en riktning, och vektorfunktionen är integrerbar på den. $l$ $\mathbf {f}$

Tredimensionellt euklidiskt rum

I det tredimensionella euklidiska rummet uttrycks skillnaderna mellan koordinaterna för en vektor riktad längs en riktad kurva i termer av riktningscosinus , med hjälp av definitionen av en punktprodukt :

dx=\cos \angle ({\vec {i)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dy=\cos \angle ({\vec {j)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dz=\cos \angle ({\vec {k)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |.

Sedan expanderar den skalära produkten i koordinater, förhållandet mellan krökta integraler kan uttryckas på följande sätt: $\textstyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Grön}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color { Grön}|dr|}$

\int _{l}f_{x}(x,y,z)dx=\int _{l}f_{x}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {i} },{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

\int _{l}f_{y}(x,y,z)dy=\int _{l}f_{y}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {j} },{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

\int _{l}f_{z}(x,y,z)dz=\int _{l}f_{z}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {k} },{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |.

Mekaniska applikationer

Arbetet A för att flytta en materialpunkt längs en riktad kurva l under inverkan av en kraft F är

A=\int _{l}\mathbf {F\cdot dr} .

Massan m för en krökt (oändligt tunn) kropp l , vars linjära densitet längs kurvan l är lika med μ ( r ), uttrycks av integralen

m=\int _{l}\mathbf {\mu (r)|dr|} .

Massans centrum (tyngdpunkten) för en krökt kropp l med linjär densitet μ ( r ) uttrycks i termer av radievektorn r c som

\mathbf {r} _{c}={\frac {1}{m}}\int _{l}\mu (\mathbf {r} )\mathbf {r|dr|} ,

där m är massan av kurvan l .

Tröghetsmoment för kurvan l under dess rotation runt koordinataxlarna i det tredimensionella rummet:

I_{x}=\int _{l}(y^{2}+z^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,

I_{y}=\int _{l}(z^{2}+x^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,

I_{z}=\int _{l}(x^{2}+y^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} .

Attraktionskraften för en punktmassa m 0 vid origo med en krökt kropp l är lika med

\mathbf {F} =\gamma m_{0}\int _{l}{\frac {\mu (\mathbf {r} )}{r^{3}}}|\mathbf {dr} | ,

där μ ( r ) är den linjära densiteten för kurvan l , γ är gravitationskonstanten .

Se även

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4166227-1 NKC : ph122154

Anteckningar

↑ Fikhtengolts, Grigory Mikhailovich . Kurs för differential- och integralkalkyl, kapitel 9, stycke 2 "Egenskaper hos bestämda integraler". . Hämtad 8 juni 2021. Arkiverad från originalet 19 juli 2020. (obestämd)

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler