Kruskal-Wallis kriterium

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 september 2020; kontroller kräver 3 redigeringar .

Kruskal-Wallis- testet är utformat för att testa jämlikheten mellan medianerna för flera prover . Detta test är en multivariat generalisering av Wilcoxon-Mann-Whitney-testet . Kruskal-Wallis-kriteriet är ett rangordnat , så det är invariant med avseende på alla monotona transformationer av mätskalan .

Även känd som: Kruskal-Wallis H-test, Kruskal -Wallis envägsvariansanalys , Kruskal - Wallis test . Uppkallad efter de amerikanska matematikerna William Kruskal och Allen Wallis .

Problemexempel

VM är igång. Det första urvalet är en undersökning av fans med frågan "Vilka är chanserna att det ukrainska laget vinner?" innan mästerskapet börjar. Det andra provet är efter det första spelet, det tredje är efter den andra matchen, etc. Värdena i proven är Ukrainas chanser att vinna på en tiogradig skala (1 — "inga framtidsutsikter", 10 — "att ta cupen till Ukraina är en tidsfråga"). Det krävs att man kontrollerar om resultaten av omröstningarna beror på mästerskapets gång.

Kriteriebeskrivning

Prover ges: $k$

x_{1}^{n_{1}}=\{x_{11},\;\ldots ,\;x_{1n_{1}}\},\;\ldots ,\;x_{k} ^{n_{k}}=\{x_{k1},\;\ldots ,\;x_{kn_{k}}\}

Det kombinerade urvalet kommer att se ut så här:

x=x_{1}^{n_{1}}\cup x_{2}^{n_{2}}\cup \ldots \cup x_{k}^{n_{k)).

Ytterligare gissningar:

alla prover är enkla, det sammanslagna urvalet är oberoende;
proverna tas från okända kontinuerliga distributioner . $F_{1}(x),\;\ldots ,\;F_{k}(x)$

Nollhypotesen prövas med alternativet . $H_{0}\colon F_{1}(x)=\ldots =F_{k}(x)$ $H_{1}\colon F_{1}(x)=F_{2}(x-\Delta _{1})=\ldots =F_{k}(x-\Delta _{k-1} )$

Låt oss sortera alla element i proverna i stigande ordning och beteckna rangordningen för det -th elementet i det -th samplet i den resulterande variationsserien . $N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}$ $R_{ij}$ $j$ $i$

Statistiken för Kruskal-Wallis-testet för att testa hypotesen om en förändring av positionsparametrarna för de två jämförda proverna har formen:

H=\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {n_{i}}{N}}\right)\left\({\frac {{\bar { R}}_{i}-{\dfrac {N+1}{2}}}{\sqrt {\dfrac {(N-n_{i})(N+1)}{12n_{i}}}} }\right\}^{2}={\frac {12}{N(N+1)}}\summa _{i=1}^{k}n_{i}\left({\bar {R} }_{i}-{\frac {N+1}{2}}\right)^{2}=

={\frac {12}{N(N+1)}}\summa _{i=1}^{k}{\frac {R_{i}^{2}}{n_{i}} }-3(N+1)

var

R_{i}=\sum _{j=1}^{n_{i}}R_{ij}

;

{\bar {R}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}R_{i}

Skifthypotesen förkastas på signifikansnivå om , var är det kritiska värdet, vid och beräknat från tabellerna. För större värden är olika uppskattningar tillämpliga. $\alfa$ ${\displaystyle H\geqslant H_{\alpha ))$ ${\displaystyle H_{\alpha ))$ $k\leqslant 5$ $n_{i}\leqslant 8$

Kruskal-Wallis Approximation

Låta

M={\frac {N^{3}-\displaystyle {\sum _{i=1}^{k}n_{i}^{3}}}{N(N+1)))

;

\nu _{1}=(k-1){\frac {(k-1)(M-k+1)-V}{{\dfrac {1}{2}}MV}}

;

\nu _{2}={\frac {M-k+1}{k-1}}\nu _{1}

;

{\displaystyle V=2(k-1)-{\frac {2\left\{3k^{2}-6k+N(2k^{2}-6k+1)\right\}}{5N(N +1)))-{\frac {6}{5}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i)))))

Då , i avsaknad av en förskjutning, kommer statistiken att ha en -fördelning med och frihetsgrader. Således förkastas nollhypotesen på signifikansnivån om . $F={\frac {H(M-k+1)}{(k-1)(MH)))$ $F$ $\nu _{1}$ $\nu _{2}$ $\alfa$ $F>F_{\alpha }(\nu _{1},\;\nu _{2})$

Iman-Davenport Approximation

Enligt den förkastas nollskiftshypotesen med säkerhet om , där ; , och är de kritiska värdena för Fisher- respektive chi-kvadratstatistiken med motsvarande frihetsgrader. $\alfa$ ${\displaystyle J\geqslant J_{\alpha ))$ $J={\frac {H}{2}}\left(1+{\frac {Nk}{N-1-H}}\right)$ $J_{\alpha }=\left\{(k-1)F_{\alpha }(k-1;\;Nk)+\chi _{\alpha }^{2}(k-1)\ höger\}$ $F_{\alpha }(f_{1};\;f_{2})$ $\chi _{\alpha }^{2}(a)$

Detta är en bättre approximation än Kruskal-Wallis approximation. I närvaro av relaterade rangordningar (det vill säga när värdena för värden från olika prover sammanfaller och de tilldelas samma genomsnittliga rangordningar), är det nödvändigt att använda den modifierade statistiken , där ; är storleken på den e gruppen av identiska element; är antalet grupper av identiska element. Vid är approximationen av statistikfördelningen giltig ; -fördelning med frihetsgrader, det vill säga nollhypotesen förkastas om . $H^{*}=H\left\{1-\left(\sum _{j=1}^{q}{\frac {T_{j}}{N^{3}-N}} \right)\right\}^{-1}$ ${\displaystyle T_{j}=t_{j}^{3}-t_{j))$ $t_{j}$ $j$ $q$ $n_{i}\geqslant 20$ $H$ $\chi ^{2}$ $f=k-1$ $H\geqslant \chi _{\alpha }^{2}(k-1)$

Se även

Cochrans kriterium

Litteratur

Kruskal WH, Wallis WA Användning av rangordningar i ett-kriteriumsvariansanalys. // Journal of the American Statistical Association . - 1952, 47 nr 260. - sid. 583-621.
Likesh I., Lyaga J. Grundläggande tabeller för matematisk statistik. - M .: Finans och statistik, 1985.
Kobzar AI tillämpad matematisk statistik. - M.: Fizmatlit , 2006. - 466-468 sid.

Länkar