Linjär funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 september 2021; kontroller kräver 6 redigeringar .

Linjär funktion - formens funktion

y=kx+b

(för funktioner av en variabel).

Den huvudsakliga egenskapen hos linjära funktioner är att ökningen av funktionen är proportionell mot ökningen av argumentet. Det vill säga, funktionen är en generalisering av direkt proportionalitet .

Grafen för en linjär funktion är en rät linje , varför dess namn hänger ihop. Detta gäller en reell funktion av en reell variabel.

I fall kallas linjära funktioner homogena (detta är i huvudsak en synonym för direkt proportionalitet), i motsats till icke - homogena linjära funktioner . $b=0$ $b\neq 0$

Egenskaper

$k$ ( linjens lutning ) är tangenten till vinkeln som linjen gör med x - axelns positiva riktning och kan hittas från formeln . $\alpha \in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi}{2));\pi \right),$ $k=\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{1} -y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$
När , bildar linjen en spetsig vinkel med x -axelns positiva riktning . $k>0$
När , bildar linjen en trubbig vinkel med x -axelns positiva riktning . $k<0$
Vid är den räta linjen parallell med x- axeln . $k=0$

Vinkeln mellan två räta linjer som ges av ekvationerna och bestäms av likheten: där , det vill säga linjerna är inte inbördes vinkelräta; för och linjerna är parallella. $y=k_{1}x+b_{1},$ $y=k_{2}x+b_{2},$ ${\mathrm {tg}}\,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,$ $k_{1}k_{2}\neq -1,$ $k_{1}=k_{2},~\alpha =0$

$b$ är indexet på ordinatan för skärningspunkten mellan linjen och y- axeln .
För , går linjen genom origo. $b=0$

En linjär funktion är monoton och icke- konvex över hela definitionsdomänen , derivatan och antiderivatan av funktionen kommer att skrivas: $(\mathbb {R} )$ $f'(x)$ $F(x)$ $f(x)=kx+b$

$f'(x)=k$
$F(x)={\frac {kx^{2}}{2}}+bx+C$

Invertera funktionen till : $f(x)$ $f^{-1}(x)={\frac {1}{k}}\,x-{\frac {b}{k}}$

Linjär funktion av flera variabler

Linjär funktion av variabler - funktion av formen $n$ $x=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$

f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}

var finns några fasta nummer. Definitionsdomänen för en linjär funktion är det alldimensionella rummet av reella eller komplexa variabler . När en linjär funktion kallas homogen , eller linjär form . $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $n$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $a_{0}=0$

Om alla variabler och koefficienter är reella tal, så är grafen för en linjär funktion i -dimensionellt utrymme för variabler ett -dimensionellt hyperplan $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $(n+1)$ $x_{1},x_{2},\dots,x_{n},y$ $n$

y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}

i synnerhet vid är en rak linje i planet. $n=1$

Abstrakt algebra

Termen "linjär funktion", eller mer exakt, "linjär homogen funktion", används ofta för en linjär mappning av ett vektorrum över något fält in i detta fält, det vill säga för en sådan mappning som för alla element och alla likheter $X$ $K$ $f:X\to K$ $x,y\i X$ $\alpha ,\beta \in K$

f(\alfa x+\beta y)=\alfa f(x)+\beta f(y)

dessutom används i detta fall, istället för termen "linjär funktion", termerna linjär funktionell och linjär form - vilket också betyder en linjär homogen funktion av en viss klass.

Algebra för logik

En boolesk funktion kallas linjär om det finns sådan , där , att för någon av likheten äger rum: $f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ $a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $a_{i}\in \{0,1\},\forall i=\overline {1,n}$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\ oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}

Icke-linjära funktioner

För funktioner som inte är linjära, använd termen icke-linjära funktioner . Detsamma gäller användningen av ordet icke-linjär i förhållande till andra objekt som inte har egenskapen linjäritet, till exempel icke- linjära differentialekvationer . Vanligtvis används termen när det funktionella beroendet först uppskattas till att vara linjärt, och sedan går man vidare till studiet av ett mer generellt fall, ofta med utgångspunkt från lägre potenser, till exempel med tanke på kvadratiska korrigeringar.

Icke-linjära ekvationer är ganska godtyckliga. Till exempel är funktionen icke-linjär . $y=x^2$

I vissa fall kan denna term också tillämpas på beroenden , där , det vill säga till icke-homogena linjära funktioner, eftersom de inte har linjäritetsegenskapen, nämligen i detta fall och . Till exempel övervägs ett olinjärt samband för ett material med härdning (se plasticitetsteori ). $f=kx+b$ $b\neq 0$ $f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})$ $f(cx)\neq cf(x)$ $\sigma (\tau )$

Se även

Litteratur

Handbok i matematik för ingenjörer och universitetsstudenter. Bronstein I. N., Semendyaev K. A. - M .: Nauka, 1981. - 720 s., ill.