En skiftmatris (även en skiftmatris ) är en binär matris med ettor endast på den huvudsakliga superdiagonalen eller subdiagonalen och nollor på andra ställen. En skiftmatris U med enheter på superdiagonalen kallas en övre skiftmatris . Den motsvarande subdiagonala matrisen L kallas en lägre skiftmatris . Komponenterna i matriserna U och L med index ( i , j ) har formen
var är Kronecker deltasymbolen .
Till exempel en skift 5×5 -matris
Uppenbarligen resulterar transponering av en lägre skiftmatris i en övre skiftmatris och vice versa. Multiplikation från vänster om en godtycklig matris A med en matris med lägre skift leder till en förskjutning av elementen i matris A ned med en position, och den översta raden i den resulterande matrisen är fylld med nollor. Högermultiplicering av en godtycklig matris A med en matris med lägre skiftning resulterar i en förskjutning åt vänster med en position, och fyller den högra kolumnen med nollor. Liknande operationer som involverar den övre skiftmatrisen leder till motsatta skift.
Alla skiftmatriser är nilpotenta : skiftningen n×n matrisen S till makten lika med dess dimension n är lika med nollmatrisen .
Låt L och U vara n×n skiftmatriser, nedre respektive övre. Följande egenskaper gäller för både matriserna U och L (så vi listar dem bara för U ):
Följande egenskaper visar hur U- och L -matriserna är relaterade:
Båda dessa matriser är idempotenta , symmetriska och har samma rang som U och L.
Sedan:
Uppenbarligen finns det många olika permutationer. Till exempel motsvarar matrisen förskjutningen av matris A uppåt och till vänster längs huvuddiagonalen.