Det minimala polynomet i fältteorin är en konstruktion som definieras för ett algebraiskt element : ett polynom som är en multipel av alla polynom vars rot är det givna elementet.
Minimala polynom används i studiet av fältförlängningar . Givet en förlängning och ett element algebraiskt över , då det minimala delfältet som innehåller och är isomorft till kvotringen , där är ringen av polynom med koefficienter i , och är det huvudsakliga idealet som genereras av det minimala polynomet . Dessutom används begreppet ett minimalt polynom vid bestämning av konjugerade element .
Låta vara en förlängning av fältet , vara ett element algebraiskt över . Betrakta en uppsättning polynom så att . Denna uppsättning bildar ett ideal i polynomringen . Faktum är att om , då , och för alla polynom . Detta ideal är icke-noll, eftersom elementet enligt antagandet är algebraiskt; eftersom är domänen av huvudsakliga ideal , detta ideal är huvudsakliga, det vill säga det genereras av något polynom . Ett sådant polynom definieras fram till multiplikation med ett inverterbart element i fältet; genom att ställa ett ytterligare krav på att den ledande koefficienten är lika med ett, det vill säga att det är ett reducerat polynom , får man en unik mappning till ett godtyckligt algebraiskt element från en given förlängning av polynomet, vilket kallas det minimala polynomet . Det följer av definitionen att alla minimala polynom är irreducible i .
De konjugerade elementen i ett algebraiskt element över ett fält är alla (andra) rötter till det minimala polynomet .
Låta vara en normal förlängning med automorfism grupp , . Sedan för någon - är konjugerat till , eftersom all automorfism tar rötterna av det givna polynomet från tillbaka till rötterna. Omvänt har alla element som konjugerats till följande form: detta betyder att gruppen agerar transitivt på uppsättningen av konjugerade element. Därför, genom irreducerbarheten av det minimala polynomet, är K isomorf . Därför är konjugationsrelationen symmetrisk .
Kroneckers teorem säger att varje algebraiskt heltal så att dess modul och modulen för alla dess konjugat inom komplexa tal är lika med 1 är en rot av enhet .