Minsta polynom för ett algebraiskt element

Det minimala polynomet i fältteorin är en konstruktion som definieras för ett algebraiskt element : ett polynom som är en multipel av alla polynom vars rot är det givna elementet.

Minimala polynom används i studiet av fältförlängningar . Givet en förlängning och ett element algebraiskt över , då det minimala delfältet som innehåller och är isomorft till kvotringen , där är ringen av polynom med koefficienter i , och är det huvudsakliga idealet som genereras av det minimala polynomet . Dessutom används begreppet ett minimalt polynom vid bestämning av konjugerade element . $E\supsetneq K$ $\alfa \i E$ $K$ $E$ $K$ $\alfa$ $K[x]/(f(x))$ $K[x]$ $K$ $(f(x))$ $\alfa$

Definition

Låta vara en förlängning av fältet , vara ett element algebraiskt över . Betrakta en uppsättning polynom så att . Denna uppsättning bildar ett ideal i polynomringen . Faktum är att om , då , och för alla polynom . Detta ideal är icke-noll, eftersom elementet enligt antagandet är algebraiskt; eftersom är domänen av huvudsakliga ideal , detta ideal är huvudsakliga, det vill säga det genereras av något polynom . Ett sådant polynom definieras fram till multiplikation med ett inverterbart element i fältet; genom att ställa ett ytterligare krav på att den ledande koefficienten är lika med ett, det vill säga att det är ett reducerat polynom , får man en unik mappning till ett godtyckligt algebraiskt element från en given förlängning av polynomet, vilket kallas det minimala polynomet . Det följer av definitionen att alla minimala polynom är irreducible i . $E\supsetneq K$ $\alfa \i E$ $K$ $f(x)\i K[x]$ $f(\alfa)=0$ $K[x]$ $f(\alpha)=0, g(\alpha)=0$ $(f+g)(\alfa)=0$ $h(x)\i K[x]$ $(f\cdot h)(\alpha)=0$ $\alfa$ $K[x]$ $f(x)$ $f(x)$ $f(x)$ $\alfa$ $\alfa$ $K[x]$

Exempel

Låt . Då är det minimala polynomet för ett tal . Om vi tar är det minimala polynomet lika med . $K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2$ $\alfa$ $x^{2}-2$ $K={\mathbb R}$ $x-\sqrt 2$
$K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2+\sqrt 3$ . Det minsta polynomet är . $\alfa$ $x^4-10x^2+1$
$K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))+{\sqrt[{3} ]{1-{\sqrt {2}}}}.$ Det minimala polynomet är $\alfa$ $x^{3}+3x-2.$
Det analoga för polynomet är $\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2))))$ $(x^{3}-3x-2{\sqrt {2)))(x^{3}-3x+2{\sqrt {2)))=x^{6}-6x^{4 }+9x^{2}-8.$

Konjugerade element

De konjugerade elementen i ett algebraiskt element över ett fält är alla (andra) rötter till det minimala polynomet . $\alfa$ $K$ $\alfa$

Egenskaper

Låta vara en normal förlängning med automorfism grupp , . Sedan för någon - är konjugerat till , eftersom all automorfism tar rötterna av det givna polynomet från tillbaka till rötterna. Omvänt har alla element som konjugerats till följande form: detta betyder att gruppen agerar transitivt på uppsättningen av konjugerade element. Därför, genom irreducerbarheten av det minimala polynomet, är K isomorf . Därför är konjugationsrelationen symmetrisk . $E\supsetneq K$ $G$ $\alfa \i E$ $g\in G$ $g(\alfa)$ $\alfa$ $K[x]$ $\beta$ $\alfa$ $G$ $K(\alfa)$ $K(\beta)$

Kroneckers teorem säger att varje algebraiskt heltal så att dess modul och modulen för alla dess konjugat inom komplexa tal är lika med 1 är en rot av enhet .

Anteckningar

Minimalt polynom (engelska) på PlanetMath-webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Conjugate Elements på Wolfram MathWorld .
Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover böcker om matematik-serien. Dover Publications, 2010, sid. 270-273. — ISBN 978-0-486-47417-5