Flervärdig funktion

En funktion med flera värden är en generalisering av begreppet en funktion som tillåter flera funktionsvärden för ett argument [1] .

Definition

En funktion som associerar varje element i mängden med en viss delmängd av mängden kallas en funktion med flera värden [2] om värdet åtminstone för en innehåller mer än ett element $F$ $X$ $Y,$ $x\i X$ $F(x)$ $Y.$

Vanliga (enkelvärdiga) funktioner kan betraktas som ett specialfall av flervärdiga, där värdet består av exakt ett element.

Exempel

Det enklaste exemplet är en tvåvärdig kvadratrotsfunktion av ett positivt tal, den har två värden som skiljer sig åt i tecken. Till exempel har kvadratroten ur 16 två betydelser - och $+4$ $-4.$

Ett annat exempel är inversa trigonometriska funktioner (till exempel arcsine ) - eftersom värdena för direkta trigonometriska funktioner upprepas med en punkt , eller då är värdena för de inversa funktionerna flervärdiga ("oändliga") , de har alla formen eller där är ett godtyckligt heltal. $2\pi$ $\pi ,$ $\varphi +2k\pi$ $\varphi +k\pi ,$ $k$

Flervärdiga funktioner är obekväma att använda i formler, därför pekas ofta ut ett av deras värden, vilket kallas det huvudsakliga . För en kvadratrot är detta ett icke-negativt värde, för en båge, ett värde som faller inom intervallet , och så vidare. $\left[-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2))\right]$

Antiderivatfunktionen ( obestämd integral ) kan också betraktas som en funktion med oändligt värde, eftersom den är definierad upp till en integrationskonstant .

I komplex analys och algebra

Ett typiskt exempel på flervärdiga funktioner är några analytiska funktioner i komplex analys . Tvetydigheten uppstår från analytisk fortsättning längs olika vägar . Också ofta flervärdiga funktioner erhålls genom att ta inversa funktioner .

Till exempel får den n:te roten av ett komplext tal som inte är noll exakt värden. Den komplexa logaritmen har ett oändligt antal värden, en av dem förklaras som den viktigaste. $n$

I komplex analys är begreppet en flervärdig funktion nära besläktat med begreppet en Riemann-yta — en yta i ett flerdimensionellt komplext utrymme på vilket en given funktion blir enkelvärdig.

Se även

Flervärdesdisplay

Notera

↑ G. Korn, T. Korn . Handbok i matematik. För vetenskapsmän och ingenjörer. M., 1973 Kapitel 4. Funktioner och gränser, differential- och integralkalkyl. 4.2. Funktioner. 4,2-2. Funktioner med speciella egenskaper . ( a ), s.99. . Datum för åtkomst: 26 januari 2012. Arkiverad från originalet 19 januari 2015. (obestämd)
↑ Kudryavtsev L. D. Multi-valued function // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 720.

Litteratur

Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metoder för teorin om funktioner för en komplex variabel. - 4:e upplagan - M .: Nauka , 1972 .
Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969 . — 577 sid.