Hermitpolynom

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 november 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Hermitpolynom
allmän information
Formel	$H_{n}(x)=\summa _{{j=0}}^{{[n/2]}}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n -2j)!}}(2x)^{{n-2j}}$
Skalär produkt	$(f,g)=\int _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}f(x)g(x)dx$
Domän	$x\in R$
ytterligare egenskaper
Differentialekvation	$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$
Norm	$\\|H_{n}\\|={\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi ))))$
Döpt efter	Charles Hermite

Hermitpolynom är en viss typ av sekvens av polynom av en reell variabel. Hermitpolynom uppstår i sannolikhetsteorin , i kombinatorik och fysik .

Uppkallad efter den franske matematikern Charles Hermite .

Definition

I sannolikhetsteorin definieras hermitpolynom vanligtvis av:

H_{n}^{\mathrm {math} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx ^{n}}}e^{-x^{2}/2}

;

inom fysiken används vanligtvis en annan definition:

H_{n}^{\mathrm {fys}}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{ n}}}e^{-x^{2}}

De två definitionerna ovan är inte exakt likvärdiga med varandra; var och en är en "skalad" version av den andra

H_{n}^{\mathrm {fys}}(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {math} }({\sqrt {2}}\,x)

Explicita uttryck för de första elva (n = 0,1,…,10) Hermitpolynom ges nedan (probabilistisk definition):

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=x

H_{2}(x)=x^{2}-1

H_{3}(x)=x^{3}-3x

H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3

H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x

H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15

H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x

H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105

H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x

H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945

De första elva (n = 0,1,…,10) hermitpolynomen i den fysiska definitionen definieras på liknande sätt:

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x

H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120

H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x

H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680

H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x

H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240

Den allmänna ekvationen för hermitpolynom är: $H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{(-1)^{j)){\frac {n!}{j!( n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1}}(2x)^{n-2}+ {\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}(2x)^{n-4}-\ldots ,$

Egenskaper

Polynomet innehåller bara medlemmar av samma paritet som själva talet : $H_n(x)$ $n$
Polynomet är jämnt för jämnt och udda för udda : $H_n(x)$ $n$ $n$ $H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),\quad H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),\quad n=0, 1,2,\ldots$ .
Följande relationer är sanna: $x=0$ $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}}),~~H_ { {2n+1}}=0,~~~n=0,1,2,\ldots$ , (i probabilistisk definition) $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H_{{2n+1}}=0,~~~n =0,1,2,\ldots$ . (i fysisk definition)
Ekvationen har reella rötter som är parvis symmetriska med avseende på ursprunget för koordinatsystemet, och modulen för var och en av dem överstiger inte . Polynomrötter alternerar med polynomrötter . $H_{n}(x)=0$ $n$ ${\sqrt {n(n-1)/2))$ $H_{n}(x)=0$ $H_{{n+1}}(x)=0$
Ett polynom kan representeras som en matrisdeterminant : $H_n(x)$ $n\ gånger n$ $H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|$

Tilläggsformel

Följande additionsformel för hermitpolynom gäller:

{\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{{{\frac {\mu }{2))} }}{\mu !}}H_{{\mu }}\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n} }{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2))))}\right]=\summa _{{m_{ 1}+\cdots +m_{n}=\mu }}{\frac {a_{1}^{{m_{1}}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n }^{{m_{n}}}}{m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x_{1})\cdots H_{{m_{n}}}(x_{n} )~.

Det är lätt att se att följande formler är dess specialfall:

$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$ , . Sedan $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

n^{{{\frac {\mu }{2}}}}H_{{\mu }}({\sqrt {n}}x)=\summa _{{m_{1}+\cdots +m_{ n}=\mu }}{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x)\cdots H_{{m_{n }}}(x)

$n=2$ , , . Sedan $a_{1}=a_{2}=1$ $x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y$

2^{\mu }H_{{\mu }}(x+y)=\summa _{{p+q+r+s=\mu }}{\frac {\mu !}{p!~q! ~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)

Differentiering och återkommande relationer

th -ordningens derivata av ett hermitpolynom är också ett hermitpolynom (för den fysiska definitionen): Detta ger relationen för den första derivatan (för den fysiska definitionen) och återkommande relationen mellan tre på varandra följande polynom: För den fysiska definitionen, återkommande relation mellan tre på varandra följande polynom är: $k$ $H_n(x)$ $n\geq k$
${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}H_{n}(x)=2^{k}n(n-1)\cdots (n-k+1)H_ {nk}(x)~,$

$H'_{n}(x)={\frac {dH_{n}(x)}{dx))=2nH_{n-1}(x)$

$H_{n}(x)-xH_{{n-1}}(x)+(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

$H_{n}(x)-2xH_{{n-1}}(x)+2(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

Ortogonalitet

Hermitpolynom bildar ett komplett ortogonalt system på ett intervall med vikt eller beroende på definitionen: $(-\infty,+\infty)$ $e^{-x^{2}/2}$ $e^{-x^{2}}$

\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}/2}}\,dx=n !{\sqrt {2\pi }}~\delta _{{{\mathit {nm}}}}

, (i probabilistisk definition)

\int _{{-\infty }}^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}}}\,dx=2^{ n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{({\mathit {nm))))

, (i den fysiska definitionen)

var är Kronecker deltasymbolen . $\delta _{{mn}}$

En viktig konsekvens av ortogonaliteten hos hermitpolynom är möjligheten att expandera olika funktioner till serier i termer av hermitpolynom. För alla icke-negativa heltal , notationen $sid$

${\frac {x^{p}}{p!}}=\summa _{{k=0}}^{{k\leq p/2}}{\frac {1}{2^{k}} }{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{{p-2k}}(x).$

Ur detta framgår ett samband mellan expansionskoefficienterna för en funktion i Maclaurin-serien och koefficienterna för expansionen av samma funktion i termer av hermitpolynom, som kallas Niels Nielsen-relationerna: $f(x)=\summa _{{n=0}}^{\infty }a_{n}x^{n}$ $f(x)=\summa _{{n=0}}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)$

$A_{n}={\frac {1}{n!}}\summa _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {( n+2k)!}{k!}}a_{{n+2k}},~~~a_{n}={\frac {1}{n!)}}\summa _{{k=0}} ^ {\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!)}}A_{{n+2k} }$

Till exempel kommer expansionen av Kummer-funktionen att se ut så här:

${}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\summa _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2)),{\frac {\alpha +n+1}{2 ));{\frac {\gamma +n}{2)),{\frac {\gamma +n+1}{2));{\frac {1}{2))\right)H_{n} (x),~~~(a,b)\ekvivalent {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a))),$

där är en generaliserad hypergeometrisk funktion av andra ordningen, är gammafunktionen . ${}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)$ $\gamma (x)$

Nedbrytning av funktioner där det finns en exponent .

För vilken funktion som helst som är skriven som en superposition av exponenten kan man skriva följande expansion i termer av hermitpolynom: $f(x)=\summa _{{k=1}}^{{p}}c_{k}e^{{\alpha _{k}x}},$
$f(x)=\summa _{{n=0}}^{{\infty }}A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{ n!}}\summa _{{k=1}}^{{p}}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{({\frac {\alpha _{k}^{ 2}}{2}}}}~.$

Expansioner av kända hyperboliska och trigonometriska funktioner har formen

{\mathrm {ch}}\,{tx}=e^{({\frac {t^{2}}{2}}}}\summa _{{n=0}}^{\infty }{\ frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~{\mathrm {sh}}\,{tx}=e^{{{\frac {t^{2}}{2}}}}\summa _{{n=0}}^{\infty }{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+1)!} }H_{{2n+1}}(x),

\cos {tx}=e^{{-{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~\sin {tx}=e^{{-{\frac {t^{ 2}}{2}}}}\summa _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+ 1 )!}}H_{{2n+1}}(x),

Differentialekvationer

Hermitpolynom är lösningar på den linjära differentialekvationen : $H_n(x)$

$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$

Om är ett heltal, skrivs den allmänna lösningen av ovanstående ekvation som $n$

$y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)$ ,

där är godtyckliga konstanter, och funktionerna kallas hermitfunktioner av det andra slaget . Dessa funktioner reduceras inte till polynom och kan endast uttryckas med de transcendentala funktionerna och . $A,B$ $h_{n}(x)$ $e^{{x^{2}/2}}$ $\int _{0}^{x}e^{{z^{2}/2}}dz$

Visningar

Hermitpolynomen antar följande representationer:

$H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{{zx-z^{2}/2}}}{ z^{{n+1}}}}\,dz$

var är konturen som omsluter origo. $\Gamma$

En annan representation ser ut så här:

$H_{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}(x+iy)^ {n}e^{{-{\frac {y^{2}}{2}}}}dy$ .

Relation till andra specialfunktioner

Relation med Kummer-funktionen: $H_{{2n}}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{ 1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H_{{2n+ 1 }}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!)}}x~{}_{ 1}F_{1}\left(-n;{\frac {3}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\right)$
Anslutning till Laguerre polynom : $H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\ !,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2} /2)$

Applikation

Inom kvantmekaniken anger hermitpolynom uttrycket för vågfunktionen hos en kvantharmonisk oscillator . I dimensionslösa variabler har Schrödinger-ekvationen , som beskriver tillståndet för en kvantharmonisk oscillator, formen:

\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+x^{2}\right)\psi _{n}(x)=\lambda _{n}\psi _ {n}(x)

. Lösningarna på denna ekvation är oscillatorns egenfunktioner, som motsvarar egenvärdena . Normaliserade till ett skrivs de som

\lambda _{n}=2n+1

\psi _{n}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2 ^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}^{*}(x)~,~~n=0,1,2,\dots

. I detta uttryck är det de "fysiska" hermitpolynomen som används .

H_{n}^{*}(x)

Hermitpolynom används för att lösa den endimensionella värmeekvationen på ett oändligt intervall. Denna ekvation har en lösning i form av en exponentialfunktion . Eftersom en sådan funktion kan representeras som en expansion i termer av hermitpolynom, och å andra sidan kan den expanderas i en Taylor-serie i termer av : $u_{t}-u_{{xx}}=0$ $u(x,t)=e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t))$ $\alfa$

e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t}}=\summa _{{n=0}}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!)}}P_ { n}(x,t)

, sedan funktionerna , som är lösningen av värmeekvationen och uppfyller det initiala villkoret , uttrycks i termer av hermitpolynomen enligt följande:

P_{n}(x,t)

P_{n}(x,t=0)=x^{n}

P_{n}(x,t)=(i{\sqrt {2t)))^{n}H_{n}\vänster({\frac {x}{i{\sqrt {2t))))\höger )={\frac {1}{{\sqrt {4\pi t))))\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-{\frac {(xy )^{2}}{4t}}}}y^{n}dy

. För att erhålla den sista likheten användes Poisson -Fourier- integralen .

I laserfysik, eller snarare, i teorin om öppna (optiska) resonatorer , ingår hermitpolynomen i uttrycket som beskriver amplitudfördelningen i tvärsnittet av motsvarande tvärgående Hermite-Gauss-mod (faktiskt produkten av en av de Hermitpolynom och den Gaussiska funktionen ), karakteristisk för optiska resonatorer med en rektangulär form av resonatorspeglarna.

Länkar

Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Modul för Hermite Polynomial Interpolation av John H. Mathews

Ortogonala polynom
Bessel polynom Gegenbauer polynom Kravchuk polynom Laguerre polynom Legendre polynom Polachek polynom Rogers polynom Zernike polynom Chebyshev polynom Charlier polynom Hermitpolynom Jacobi polynom