Multioperatörsgrupp

En multioperatorgrupp är en godtycklig algebra , utrustad med en gruppstruktur, som generaliserar begreppen en grupp , en ring , en kropp , en operatörsgrupp (som i sin tur generaliserar moduler över ringar , i synnerhet vektorrum ) .

Infördes 1956 av den engelske matematikern Philip Higgins [1] [2] som den mest universella strukturen i vilken varje kongruens representeras av en nedbrytning till cosets i ideal , och för vilken begreppet en kommutator kan definieras .

Andra exempel på grupper med flera operatörer är när- och närfält . Vi studerar också speciella universella klasser av multioperatorgrupper - multioperatorringar och multioperatoralgebror .

Definitioner

En multi-operator grupp eller -grupp är en algebra som bildar en grupp , dessutom för varje -är operation , det vill säga bildar ett delsystem i . Det antas att en del av signaturen inte innehåller nolloperationer. Ibland anropas en multioperatorgrupp av sin extra signatur - -grupp. $\Sigma$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $\langle G, +, -, 0$ $n$ $\sigma \in \Sigma$ $\sigma(0, \prickar, 0) = 0$ $\{0\}$ $\mathfrak G$ $\Sigma$ $\Sigma$

En normal undergrupp av en grupp kallas ett ideal för en multioperatorgrupp om för någon -är operation , godtycklig ( ) och alla element i formen: $N$ $\langle G, +, -, 0$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \in \Sigma$ $g_i \i G$ $1 \leqslant i \leqslant n$ $en \i N$

-\sigma(g_1, \dots, g_n) + \sigma(g_1, \dots, g_{i-1}, a+g_i, g_{i+1}, \dots, g_n)

återägda . Notationen kan användas i analogi med notationen för en normal undergrupp och ett ideal för en ring. En multioperatorgrupp kallas enkel om den bara har två ideal - själva gruppen och nollundergruppen. $N$ $N \triangleleft \mathfrak G$

Kommutatorn för element i en grupp med flera operatörer definieras som ett element , betecknat med . $g_{1},g_{2}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $-g_1 - g_2 + g_1 + g_2$ $[g_1, g_2]$

Kommutatorn för en multioperatorgrupp är en ideal som genereras av alla kommutatorer och element i formuläret: $[g, h]$

-\sigma (g_{1},\dots ,g_{n})-\sigma (h_{1},\dots ,h_{n})+\sigma (g_{1}+h_{1},\dots ,g_{n}+h_{n})

för varje -är operation från den extra signaturen för multioperatorgruppen. $n$ $\sigma \in \Sigma$

Egenskaper för ett ideal

För grupper sammanfaller idealet för en multioperatorgrupp med begreppet en normal undergrupp , och för ringar och strukturer baserade på dem, med begreppet ett dubbelsidigt ideal .

Varje ideal för en multioperatorgrupp är dess undersystem . Skärningspunkten mellan vilket system av ideal som helst i multioperatorgruppen är återigen dess ideal, dessutom sammanfaller detta ideal med undergruppen av gruppen som genereras av dessa ideal. $\{N_i \mid i \in I\}$ $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $N = \bigcap N_i$ $\langle G, +, -, 0$

Den huvudsakliga egenskapen hos ett ideal är att varje kongruens på en multioperatorgrupp beskrivs genom expansioner till cosets med avseende på något ideal, med andra ord kan man tala om ett kvotsystem av en multioperatorgrupp (multioperatorkvotgrupp) som en konstruktion som genererar en ny multioperatorgrupp från dess ideal.

Specialklasser av grupper med flera operatörer

En multioperatorring är en multioperatorgrupp vars additivgrupp är Abelian och varje -är operation är distributiv med avseende på gruppaddition: $\mathfrak G = \langle G, +, -, 0, \Sigma \rangle$ $n$ $\sigma \in \Sigma$

\sigma(g_1, \dots, g_i + h_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) + \sigma(g_1, \dots, h_i, \dots, g_n)

för någon . $g_i, h_i \i G$

En multioperatoralgebra är en multioperatorring, alla unära operationer av vars ytterligare signatur bildar ett fält , dessutom är strukturen ett vektorrum över detta fält, och för alla , all -ary operationer av aritet större än en och godtyckliga element , har vi : $\Sigma$ $\Sigma_1$ $\lambda \i \Sigma_1$ $n$ $\sigma \i \Sigma \setminus \Sigma_1$ $g_i \i G$

\lambda \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(\lambda g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) = \sigma(g_1, \dots, \lambda g_i, \dots , g_n) = \sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, \lambda g_n

Liksom andra multioperatorstrukturer identifieras det ofta i texten med en extra signatur: multioperator -algebra $\Sigma$ (i detta fall och för att undvika tvetydighet mellan en algebra över en ring , av vilken det är en speciell generalisering, och en algebra i universell mening ).

Idealen för multioperatorringar och algebror är undergrupper där närvaron av ett element medför innehållet i dem av alla element i formen [3] . $N \triangleleft G$ $g_i \i N$ $\sigma(g_1, \dots, g_i, \dots, g_n) \i N$

Anteckningar

↑ PJ Higgins. Grupper med flera operatörer // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - Vol. 6 , nr. 3 . - s. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh, 1973 , sid. 114.
↑ Allmän Algebra, 1991 , sid. 357.

Litteratur

A.G. Kurosh . Grupper med multioperatorer // Föreläsningar om allmän algebra. - 2:a uppl. - M . : Nauka, 1973. - S. 114-124. — 400 s. — 30 000 exemplar.
Artamonov V. A. . Kapitel VI. Universal Algebras // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referens matematiskt bibliotek). — 25 000 exemplar. — ISBN 5-9221-0400-4 .
I. M. Vinogradov. Multioperatorgrupp // Matematisk uppslagsverk. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska)