Ptolemaios ojämlikhet

Ptolemaios ojämlikhet är en ojämlikhet för 6 avstånd mellan fyra punkter på ett plan.

Uppkallad efter den sena hellenistiska matematikern Claudius Ptolemaios .

Formulering

För alla punkter på planet, ojämlikheten $A,B,C,D$

AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,

dessutom uppnås jämlikhet om och endast om är en konvex inskriven fyrhörning , eller om punkterna ligger på en rak linje. $ABCD$ $A,B,C,D$

En version av beviset för ojämlikheten är baserad på användningen av inversion kring en cirkel centrerad vid punkten ; detta reducerar Ptolemaios olikhet till triangelolikheten för bilderna av punkterna , , . [ett] $A$ $B$ $C$ $D$
Det finns ett sätt att bevisa det med Simsons linje .
Ptolemaios teorem kan bevisas på följande sätt (nära beviset för Ptolemaios själv, som ges av honom i boken Almagest ) - införa en punkt sådan att , och sedan genom likheten mellan trianglar . $E$ $\angle ABE=\angle DBC$
Satsen är också en följd av Bretschneiders relation .

Pompeys teorem . [2] Betrakta en punktoch en regelbunden triangel . Sedan från segmenten,ochdet är möjligt att göra en triangel, och denna triangel är degenererad om och endast om punktenligger på den omskrivna cirkeln av triangeln. $X$ $ABC$ $XA$ $XB$ $XC$ $X$ $ABC$

Om AC är cirkelns diameter , så övergår satsen till sinusumregeln . Det var denna konsekvens som Ptolemaios använde för att sammanställa en sinustabell.

Bretschneider-förhållande
Ptolemaios ojämlikheter kan utökas till sex punkter: om godtyckliga punkter i planet (denna generalisering kallas Ptolemaios sats för en hexagon och i utländsk litteratur Fuhrmanns sats [3] ), då $A_{1},A_{2},\dots A_{6}$

A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6 }\cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+

+A_{2}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5 }\cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{1}A_{6},

där jämlikhet uppnås om och endast om är en inskriven hexagon.

A_{1}\dots A_{6}

Caseys sats ( generaliserad Ptolemaios sats ): Betrakta cirklarochtill en given cirkel vid hörnenochkonvex fyrhörning. Låta vara längden på den gemensamma tangenten till cirklarnaoch(extern, om båda beröringarna är interna eller externa samtidigt, och intern, om en beröring är intern och den andra är extern); etc. definieras på liknande sätt. Sedan $\alfa ,\beta ,\gamma$ $\delta$ $A,B,C$ $D$ $ABCD$ $t_{{\alpha \beta ))$ $\alfa$ $\beta$ $t_{{\beta \gamma }},t_{{\gamma \delta }}$

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

↑ Ett bevis på Ptolemaios teorem med inversion Arkiverad 26 maj 2009 på Wayback Machine . Fjärrkonsultationsställe för matematik MCNMO .
↑ Om D. Pompeius teorem Arkiverad 17 december 2004 på Wayback Machine . Fjärrkonsultationsställe för matematik MCNMO .
↑ Ptolemaios sats . Hämtad 17 maj 2011. Arkiverad från originalet 26 maj 2009. (obestämd)
↑ Howorka, Edward (1981), A characterization of Ptolemaic graphs , Journal of Graph Theory vol. 5 (3): 323–331 , DOI 10.1002/jgt.3190050314 .

Valbar kurs i matematik. 7-9 / Jämf. I. L. Nikolskaya. - M . : Education , 1991. - S. 328-329. — 383 sid. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. I 2 volymer - M . : MTSNMO , 2004. - S. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0 .