Nilpotent grupp
En nilpotent grupp är en naturlig generalisering av begreppet en abelisk grupp .
Nilpotenta grupper förekommer i Galois teori , såväl som i arbeten om klassificering av grupper. De spelar också en framträdande roll i klassificeringen av Lie-grupper . Liknande begrepp definieras för Lie-algebror .
Definition
En nilpotent grupp är en grupp som har en central serie från till ändlig längd.
Relaterade definitioner
- Längden på den kortaste centrala serien i en nilpotent grupp kallas dess nilpotensklass ( eller steg ) .
- Alla nilpotenta grupper i nilpotensklassen bildar inte längre en sort som definieras av identiteten
- Fria grupper av denna sort, det vill säga grupper som endast uppfyller sådana relationer , kallas fria nilpotenta grupper .
![[\ldots [[x_{0},\;x_{1}],\;x_{2}],\;\ldots ,\;x_{n}]=1.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c5e9593a6c007fc648c16f8ae352f2ed63c95e)
Egenskaper
- I vilken nilpotent grupp som helst, slutar den nedre (och även den övre) centrala serien vid identitetsundergruppen och har en längd lika med nilpotensklassen för gruppen.
- Finita nilpotenta grupper uttöms av direkta produkter av -grupper .
- I vilken nilpotent grupp som helst bildar element av ändliga ordningar en undergrupp vars kvotgrupp är torsionsfri .
- Slutligt genererade torsionsfria nilpotenta grupper uttöms av grupperna av heltals triangulära matriser med ettor på huvuddiagonalen och deras undergrupper.
- Ändligt genererade nilpotenta grupper är polycykliska grupper , dessutom har de en central serie med cykliska faktorer .
- Varje ändligt genererad torsionsfri nilpotent grupp är ett gitter i en enkelt ansluten nilpotent Lie - grupp .
