Generaliserad fyrhörning

En generaliserad fyrhörning är en infallsstruktur vars huvudsakliga egenskap är frånvaron av trianglar (strukturen innehåller dock många fyrhörningar). En generaliserad fyrhörning är per definition ett polärt utrymme rang två. Generaliserade fyrkanter är generaliserade polygoner med n = 4 och nästan 2n-goner med n = 2. De är också exakt partiella geometrier pg( s , t ,α) med α = 1.

Definition

En generaliserad fyrkant är en incidensstruktur ( P , B , I), där är en incidensrelation som uppfyller vissa axiom . Elementen i P , per definition, är hörn (punkter) i en generaliserad fyrhörning, elementen i B är raka linjer . Axiomen är: $\mathrm {I} \subseteq P\times B$

Det finns ett tal s ( s ≥ 1) så att det finns exakt s + 1 punkter på vilken linje som helst. Det finns högst en punkt på två distinkta linjer.
Det finns ett tal t ( t ≥ 1) så att exakt t + 1 linjer passerar genom vilken punkt som helst. Det går högst en linje genom två distinkta punkter.
För varje punkt p som inte ligger på linjen L finns det en unik linje M och en unik punkt q så att p ligger på M och q ligger på M och L.

Ett par tal ( s , t ) är parametrarna för den generaliserade fyrhörningen. Alternativen kan vara oändliga. Om antingen antalet s eller t är lika med ett, kallas den generaliserade fyrhörningen trivial . Till exempel är ett 3x3 gitter med P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} och B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} en trivial generaliserad fyrhörning med s = 2 och t = 1. En generaliserad fyrkant med parametrar ( s , t ) betecknas ofta som GQ( s , t ) (från engelskan G eneralized Q uadrangle).

Den minsta icke-triviala generaliserade fyrhörningen är GQ(2,2) , vars representation Stan Payne kallade "servetten" 1973.

Egenskaper

$|P|=(st+1)(s+1)$
$|B|=(st+1)(t+1)$
$(s+t)|st(s+1)(t+1)$
${\displaystyle s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2))$
${\displaystyle t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2))$

Earls

Det finns två intressanta grafer som kan erhållas från en generaliserad fyrhörning.

En kolinjär graf som innehåller alla punkter i en generaliserad fyrhörning som hörn, där de kolinjära punkterna är förbundna med en kant. Denna graf är en starkt regelbunden graf med parametrar ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1), där (s,t) är fyrhörningens ordning.
En infallsgraf vars hörn är alla punkter och linjer i en generaliserad fyrhörning och två hörn ligger intill om en vertex motsvarar en linje och den andra till en punkt på den linjen. Incidensgrafen för en generaliserad fyrhörning är sammankopplad och är en tvådelad graf med diameter fyra och omkrets åtta. Således är en generaliserad fyrhörning ett exempel på en cell . Incidensgraferna för konfigurationer kallas för närvarande Levy-grafer , men den ursprungliga Levy-grafen var incidensgrafen för den generaliserade fyrsidiga GQ(2,2).

Dualitet

Om ( P , B ,I) är en generaliserad fyrhörning med parametrar ( s , t ), så är ( B , P ,I −1 ) också en generaliserad fyrkant (här betyder I −1 det inversa incidensrelationen). Denna fyrhörning kallas den dubbla generaliserade fyrhörningen . Dess parametrar kommer att vara paret ( t , s ). Även för s = t är den dubbla strukturen inte nödvändigtvis isomorf till den ursprungliga strukturen.

Generaliserade fyrhörningar med linjestorlek 3

Det finns exakt fem (degenererade tillåtna) generaliserade fyrhörningar där varje linje har tre punkter som hör ihop med sig

fyrhörning med tomma rader
fyrhörning där alla linjer går genom en fast punkt, som motsvarar väderkvarnen Wd(3,n)
3x3 rutnät
fyrkant W(2)
generaliserad fyrkant GQ(2,4)

Dessa fem fyrhörningar motsvarar de fem rotsystemen i ADE-klasserna A n , D n , E 6 , E 7 och E 8 , d.v.s. entrådiga rotsystem (detta betyder att element i Dynkin-diagram inte har flera länkar) [1] [2] .

Klassiska generaliserade fyrhörningar

Om vi betraktar olika typer av polära rymder av rang minst tre och extrapolerar dem till rang 2, kan vi hitta dessa (ändliga) generaliserade fyrhörningar:

Den andra ordningens hyperboliska ytan (kvadrisk) , parabolisk kvadrisk och elliptisk kvadrik är de enda möjliga kvadriken i projektiva utrymmen över ändliga fält med projektivt index 1. Parametrarna för dessa kvadriker är: $Q^{+}(3,q)$ $Q(4,q)$ $Q^{-}(5,q)$

Q(3,q):\ s=q,t=1

(det är bara ett rutnät)

Q(4,q):\ s=q,t=q

{\displaystyle Q(5,q):\ s=q,t=q^{2))

Ett hermitiskt grenrör har projektivt index 1 om och endast om n är 3 eller 4. Vi har: $H(n,q^{2})$

H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q

{\displaystyle H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3))

Den symplektiska polariteten i har ett maximalt isotropt delrum av dimension 1 om och endast om . Här har vi en generaliserad fyrhörning , med parametrar . $PG(2d+1,q)$ $d=1$ $W(3,q)$ $s=q,t=q$

Den generaliserade fyrkanten som härrör från är alltid isomorf till den dubbla strukturen till , båda strukturerna är självduella och är därför isomorfa till varandra om och bara om är jämn. $Q(4,q)$ $W(3,q)$ $q$

Icke-klassiska exempel

Låt O vara en hyperoval in med q lika med en jämn potens av ett primtal , och en inbäddning av detta projektiva (Desarguesian) plan i . Tänk nu på incidensstrukturen , där alla punkter är punkter som inte ligger på . Linjerna i denna struktur är punkter som inte ligger i och skär varandra i punkten O , och incidensen definieras på ett naturligt sätt. Detta är en (q-1,q+1) -generaliserad fyrhörning. $PG(2,q)$ $\pi$ $PG(3,q)$ $T_{2}^{*}(O)$ $\pi$ $\pi$ $\pi$
Låt q vara en potens av ett primtal (udda eller jämnt). Tänk på den symboliska polariteten i . Vi väljer en slumpmässig punkt p och bestämmer . Låt linjerna i vår infallsstruktur vara alla absoluta linjer [3] som inte ligger i , tillsammans med alla linjer som går genom punkten p , men inte ligger på , och punkterna - alla punkter som inte ligger på . Incidensrelationen kommer att vara den naturliga incidensen. Vi fick igen (q-1,q+1) -generaliserad fyrhörning. $\theta$ $PG(3,q)$ ${\displaystyle \pi =p^{\theta ))$ $\pi$ $\pi$ $PG(3,q)$ $\pi$

Parameterbegränsningar

För gitter och dubbla gitter, för alla heltal z , z ≥ 1, finns det generaliserade fyrhörningar med parametrarna (1, z ) och ( z ,1). Bortsett från detta fall har endast följande parametrar visat sig vara tillåtna (här är q en godtycklig potens av ett primtal ):

(q,q)

(q,q^{2})

och

(q^{2},q)

(q^{2},q^{3})

och

(q^{3},q^{2})

(q-1,q+1)

och

(q+1,q-1)

Anteckningar

↑ Cameron, Goethals, Seidel, Shult, 1976 , sid. 305-327.
↑ Webbläsare .
↑ Låt utrymmet utrustas med polaritet (en kartläggning av punkter till ordningslinjer två med bevarande av infall). I det här fallet kan punkten ligga på sin bild (på linjen), men detta är inte nödvändigt. En punkt är absolut om den ligger på sin bild, och en linje är absolut om den passerar genom sin bild (punkt).

Litteratur

Payne SE, Thas JA Finita generaliserade quadrangles . - Boston, MA: Pitman (Advanced Publishing Program), 1984. - V. 110. - P. vi+312. — (Research Notes in Mathematics). - ISBN 0-273-08655-3 .
- Payne SE, Thas JA Finita generaliserade fyrkanter. - European Mathematical Society, 2009. - (EMS Series of Lectures in Mathematics). - ISBN 978-3-03719-066-1 .

Cameron PJ, Goethals JM, Seidel JJ, Shult EE Linjediagram, rotsystem och elliptisk geometri // Journal of Algebra. - Academic Press, 1976. - V. 43 , nr. 1 .
Brouwer A.E. Algebra and Geometry . – Kurs 2WF02 / 2WF05. (obestämd)