En parametergrupp

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 september 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Definitionen av en enparametergrupp ( eng. Enparametergrupp ) eller enparametersundergrupp är associerad med en kontinuerlig homomorfism av gruppen

\varphi :\mathbb {R} \rightarrow G

från den verkliga linjen (som en additiv grupp) till någon topologisk grupp . Om det är en injektion kommer bilden att vara en undergrupp som är isomorf till . $\mathbb {R}$ $G$ $\varphi$ $\varphi (\mathbb {R} )$ $G$ $\mathbb {R}$

Enparametergrupper introducerades av Sophus Lie 1893 för att definiera infinitesimala transformationer. [1] Sådana oändliga transformationer skapar en Lie-algebra , som används för att beskriva en Lie-grupp med godtycklig dimension.

Funktionen av en enparametersgrupp på en uppsättning kallas ett flöde . Ett jämnt vektorfält på ett grenrör skapar ett lokalt flöde , en enparameters grupp av lokala diffeomorfismer som flyttar punkter längs vektorfältets integralkurvor . Det lokala flödet av ett vektorfält används för att bestämma Lie-derivatan för tensorfält längs ett vektorfält.

Exempel

Sådana enparametergrupper spelar en viktig roll i teorin om Lie-grupper, där varje element i den associerade Lie-algebra definierar en homomorfism. I fallet med matrisgrupper ges homomorfismen av matrisexponenten .

Ett annat viktigt fall finns i funktionsanalys , där är gruppen av enhetliga operatorer i ett Hilbert-rum . $G$

I en monografi från 1957 av Lee Group, P.M. Kohn ger följande teorem:

Varje ansluten endimensionell Lie-grupp är analytiskt isomorf antingen till den additiva gruppen av reella tal eller till den additiva gruppen av reella tal . I synnerhet är varje endimensionell Lie-grupp lokalt isomorf .

\mathfrak{R}

{\mathfrak {T}}

\mod 1

\mathbb {R}

Fysik

Inom fysiken används enparametergrupper för att beskriva dynamiska system . [2] Om en uppsättning fysikaliska lagar överensstämmer med en enparametersgrupp av differentierbara symmetrier, så har den en bevarad kvantitet, enligt Noethers sats .

I studiet av rum-tid har användningen av en enda hyperbel för att kalibrera rum-tidsmätningar blivit vanligt sedan Hermann Minkowskis arbete 1908. Om vi använder parametriseringen av en hyperbel med hjälp av en hyperbolisk vinkel, kan man i den speciella relativitetsteorin beräkna den relativa rörelsen med hjälp av en enparametersgrupp som kännetecknas av snabbhet . Inom relativistisk kinematik och dynamik ersätter hastighet begreppet hastighet. Eftersom hastigheten inte har någon övre gräns är gruppen som bildas av den inte kompakt. Begreppet hastighet introducerades av Edmund Whittaker 1910, och ett år senare dök konceptet upp i Alfred Robbs verk . Hastighetsparametern motsvarar längden på den hyperboliska versorn , vars koncept introducerades på 1800-talet. Matematiska fysiker James Cockle, William Clifford och Alexander McFerlane använde den kartesiska planbilden i sina arbeten med operatorn , där är en hyperbolisk vinkel, och . $(\cosh {a}+r\sinh {a})$ $a$ $r^{2}=+1$

I GL(n,ℂ)

Ett viktigt exempel i Lie-transformationsgruppen uppstår om är , gruppen av inverterbara storleksmatriser med komplexa poster. I detta fall kan huvudresultatet anges enligt följande: [3] $G$ $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$ $n\ gånger n$

Sats : Låt vara en enparametergrupp. Sedan finns det en unik matris av storlek sådan att

\varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )

X

n\ gånger n

\varphi (t)=e^{tX}

för alla .

t\in \mathbb {R}

Av detta resultat följer att det är differentierbart, även om ett sådant antagande inte används i satsen. Matrisen kan rekonstrueras som $\varphi$ $X$ $\varphi$

\left.{\frac {d\varphi (t)}{dt))\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt))\right|_{t =0}e^{tX}=\vänster.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X

. Detta resultat kan till exempel användas för att visa att varje kontinuerlig homomorfism mellan Lie-grupper av matriser är jämn. [fyra]

Anteckningar

↑ Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen Arkiverad 1 februari 2014 på Wayback Machine , engelsk översättning av D. H. Delphenich, §8, länk från Neo-classical Physics
↑ Zeidler, E. (1995) Tillämpad funktionsanalys: huvudprinciper och deras tillämpningar Springer-Verlag
↑ Hall, 2015 sats 2.14
↑ Hall, 2015 Resultat 3.50

Länkar

Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , vol. 222 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666 .