Johnson cirklar

Mängden Johnson-cirklar består av tre cirklar med samma radie r som har en gemensam skärningspunkt H . I denna konfiguration har cirklarna vanligtvis fyra skärningspunkter (punkter genom vilka minst två cirklar passerar) - detta är den gemensamma skärningspunkten H , genom vilken alla tre cirklar passerar, och en extra punkt för varje par cirklar (vi kommer att prata om om dem som parvisa korsningar). Om två cirklar inte skär varandra (men bara berör), har de bara en gemensam punkt - H , i vilket fall det anses att H också är deras parvisa skärningspunkt. Om cirklarna sammanfaller, tas punkten diametralt motsatt punkten H som en parvis skärningspunkt . Tre punkter med parvisa skärningspunkter för Johnson-cirklarna bildar stödtriangeln Δ ABC i figuren. Konfigurationen är uppkallad efter Roger Arthur Johnson [1] [2] .

Notera

Om den ursprungliga stödtriangeln ABC är spetsig vinklad och förutbestämd, så är dess tre Johnson-cirklar med lika radier, i kraft av Hamiltons sats, helt enkelt tre omskrivna cirklar av tre Hamiltontrianglar med två hörn av den givna stödtriangeln ABC som två hörn, och stödtriangelns ortocentrum H som den tredje vertextriangeln .

Egenskaper

Centrum för Johnson-cirklarna ligger på en cirkel med samma radie R som Johnson-cirkeln, och denna cirkel har punkten H som sitt centrum . Själva cirklarnas centrum bildar Johnson-triangeln ΔJ A J B J C .
En cirkel med radien 2 R centrerad i punkten H , känd som den antikomplementära cirkeln, är tangent till alla tre Johnson-cirklarna ( R är radien för den omskrivna cirkeln av triangeln ABC ). De tre tangentpunkterna är reflektionerna av punkt H med avseende på hörnen på Johnson-triangeln .
Tangentpunkterna för Johnson-cirklarna och den antikomplementära cirkeln bildar en triangel, som kallas den " antikomplementära triangeln " eller " antikomplementära triangeln " av referenstriangeln (ursprunglig) ABC . Denna triangel liknar och homotetisk till Johnsons triangel med faktor 2 och likhetscentrum H .
Johnsons sats : De parvisa skärningspunkterna för Johnsons cirklar (triangel ABC ) ligger på en cirkel med samma radie R som Johnsons cirklar. Denna fastighet är välkänd i Rumänien som Gheorghe Ciceica femmyntsproblemet .
Stödtriangeln är lika med Johnson-triangeln och är homotetisk mot den med en faktor −1. Det vill säga, Johnson-triangeln går in i referenstriangeln genom att vrida en av dem i en vinkel på 180 grader i förhållande till deras likhetscentrum.
Punkt H är ortocentrum av referenstriangeln och circumcenter av Johnson-triangeln .
Likhetscentrumet för Johnsontriangeln och referenstriangeln är deras gemensamma centrum av nio punkter . Det vill säga, Johnson-triangeln och referenstriangeln har en niopunktscirkel gemensamt .
Kommentar. Johnson-triangelns hörn betecknas med J A , J B och J C , det vill säga samma som mittpunkterna för referenstriangelns excirklar. De är inte. I kraft av tretandsatsen, för mitten av excirkeltangenten till sidan , har vi , där centrum för den inskrivna cirkeln i referenstriangeln är skärningspunkten för vinkelns bisektur med triangelns omskrivna cirkel . Vi har ett liknande förhållande . Punkten ligger dock inte på triangelns omskrivna cirkel (det vill säga den är inte en analog till punkten ), och ortocentrum är inte mitten av referenstriangelns inskrivna cirkel. $J_{B}$ $AC$ $|DI|=|DA|=|DC|=|DJ_{B}|$ $jag$ $D$ $A$ $ABC$ $|J_{A}H|=|J_{A}C|=|J_{A}B|=|J_{A}P_{A}|$ $J_{A}$ $ABC$ $D$ $H$ $jag$

Notera

H är ortocentrum för triangeln ABC (då, i kraft av Hamiltons sats, är radierna för Johnson-cirklarna lika). O är mitten av den omskrivna cirkeln av triangeln ABC . Liksom Hamiltons sats är Johnsons sats bara meningsfull för spetsiga trianglar. Punkterna JA , J B och J C betecknas med den första bokstaven i namnet Johnson , och är inte mittpunkten för triangelns ABC , som betecknas med liknande bokstäver.

Bevis

Fastighet 1 framgår av definitionen.

Egenskap 2 är också tydlig - för varje cirkel med radie r och vilken punkt P som helst på den, rör cirkeln med radie 2 r och centrum vid P cirkeln i punkten mitt emot punkten P . I synnerhet gäller detta även för P = H , där cirkeln med radien 2 r är den antikomplementära cirkeln C .

Fastighet 3 följer omedelbart av definitionen av likhet.

För egenskaperna 4 och 5, notera först att två av de tre Johnson-cirklarna är symmetriska kring linjen som går genom punkten H och punkten för parvis skärningspunkt för dessa cirklar (eller ungefär den gemensamma tangenten i H , om dessa punkter sammanfaller) och denna symmetri byter ut de två hörnen av de antikomplementära trianglarna som ligger på dessa cirklar. Således är de parvisa skärningspunkterna mittpunkterna i en antikomplementär triangel, och H ligger vinkelrät mot mittpunkten på denna sida. Mittpunkterna på sidorna i en triangel är bilderna av triangelns hörn under homoteti med faktorn −1 och centrum som sammanfaller med triangelns tyngdpunkt . Om man applicerar denna egenskap på en anti-komplementär triangel, som i sig erhålls från en Johnson-triangel av en homotet med faktorn 2, från homoteternas sammansättning får vi att den stödjande triangeln liknar Johnson-triangeln med en faktor − 1. Eftersom en sådan homothety är en kongruens , ger detta egenskap 5 och bevisar också Johnsons sats, eftersom kongruenta trianglar har samma omskrivna radier .

Egenskap 6. Det har redan fastställts att vinkelräta mot mittpunkterna på sidorna i en antikomplementär triangel passerar genom punkten H . Eftersom dessa sidor är parallella med referenstriangelns sidor, är dessa vinkelräta även referenstriangelns höjder .

Egenskap 7 följer omedelbart av egenskap 6, eftersom likhetscentrum med faktorn -1 måste ligga i mitten mellan centrum av referenstriangelns omskrivna cirkel O och punkten H . Punkten H är ortocentrum för den stödjande triangeln, och dess niopunktscentrum är känt för att vara denna mittpunkt. Med tanke på den centrala symmetrin som kartlägger referenstriangelns ortocentrum till Johnsontriangelns ortocentrum, är likhetscentrum också centrum för Johnsontriangelns nio punkter.

Det finns också ett algebraiskt bevis för Johnsons sats om cirklar med enkla vektorformler. Det finns vektorer , och , alla längder r , och Johnson-cirklar har centra vid , och , respektive. Då är de parvisa skärningspunkterna , respektive , och det är tydligt att punkten har ett avstånd r till valfri parvis skärningspunkt. ${\vec {u}}$ $\vec{v}$ $\vec{w}$ $H+{\vec {u))$ $H+{\vec {v))$ $H+{\vec {w))$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {v}}+{\vec {w}}$ $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}$

Ytterligare egenskaper

Johnsons tre cirklar kan betraktas som reflektioner av en cirkel omskriven runt referenstriangeln med avseende på dess tre sidor. Dessutom, när det reflekteras, går ortocentret H till tre punkter på cirkeln omskriven runt stödtriangeln, och bildar hörnen på den ortocirkeltriangeln , centrum av den omslutna cirkeln O mappas till hörnen på Johnsontriangeln, och dess Eulerlinje ( linjen som går genom O , N och H ) bildar tre linjer som skär varandra i punkt X (110).

Johnsontriangeln och dess referenstriangel har samma niopunktscentrum, samma Eulerlinje och samma niopunktscirklar . Sex punkter - hörn av referenstriangeln och hörn av dess Johnson-triangel - ligger på Johnson-ellipsen , som har ett centrum i mitten av nio punkter och punkten X (216) i referenstriangeln är dess perspektivpunkt . Den omskrivna ellipsen och den omskrivna cirkeln har fyra gemensamma punkter - tre hörn av referenstriangeln och punkten X (110).

Och slutligen finns det två intressanta kubiska kurvor som beskrivs i litteraturen, som passerar genom hörn av stödtriangeln och dess Johnson-triangel, såväl som genom mitten av den omskrivna cirkeln, ortocentret och mitten av nio cirklar. Den första kurvan är känd som Musselmann-kurvan - K 026. Denna kurva passerar också genom toppen av mediantriangeln och mediantriangeln i Johnson-triangeln. Den andra kurvan är känd som Euler-kurvan för centra - K 044. Denna kurva går också genom sex punkter - baserna för höjderna och baserna för höjderna i Johnson-triangeln.

Punktnotationen X ( i ) tillhör Clark Kimberlings klassificering i Encyclopedia of Triangle Points .

Anteckningar

↑ Johnson, 1929 .
↑ Johnson, 1916 , sid. 161-162.

Litteratur

Roger Arthur Johnson. Modern Geometry: En elementär avhandling om triangelns och cirkelns geometri. - Houghton: Mifflin Company, 1929.
Roger Arthur Johnson. A Circle Theorem // American Mathematical Monthly . - 1916. - Utgåva. 23 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Johnson Theorem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
FM Jackson och Weisstein, Eric W. Johnson Circles (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
F. M. Jackson och Weisstein, Eric W. Johnson Triangle (engelska) på Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Johnson Circumconic (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Circum-Orthic Triangle (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Bernard Gibert Circumcubic K026 Arkiverad 19 mars 2007 på Wayback Machine
Bernard Gibert Circumcubic K044
Clark Kimberling, " Encyclopedia of triangle centers Archived April 19, 2012 at the Wayback Machine ". (Listar cirka 3000 intressanta punkter som är associerade med en triangel.)