Paraboloid

Paraboloid är en typ av andra ordningens yta i tredimensionellt euklidiskt utrymme .

En paraboloid kan karakteriseras som en icke-sluten icke-central (det vill säga utan symmetricentrum ) andra ordningens yta.

Kanoniska ekvationer för en paraboloid i kartesiska koordinater :

z=tx^{2}+uy^{2},

där och är reella tal som inte är lika med noll samtidigt.

t

u

Vart i:

om och av samma tecken, då kallas paraboloiden elliptisk , ett specialfall av en elliptisk paraboloid i detta fall, ytan brukar kallas en rotationsparaboloid ; $t$ $u$ $t=u,$
om och av ett annat tecken, så kallas paraboloiden hyperbolisk ; $t$ $u$
om en av koefficienterna är noll, då kallas paraboloiden en parabolisk cylinder .

Sektioner av en paraboloid genom vertikala (parallellt med axeln ) plan av godtyckliga positioner - paraboler . $z$

Sektioner av en paraboloid av horisontella plan parallella med planet för en elliptisk paraboloid är ellipser , för en paraboloid av rotation är dessa skärningar cirklar när en sådan korsning finns. $x,\ y$

Skärningspunkter för en hyperbolisk paraboloid är hyperboler .

I särskilda fall av skärning kan sektionen visa sig vara en linje eller ett par linjer (för en hyperbolisk paraboloid eller ett par parallella linjer för en parabolisk cylinder) eller degenerera till en punkt (för en elliptisk paraboloid).

Elliptisk paraboloid

En elliptisk paraboloid är en yta definierad av en funktion av formen:

z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.

En elliptisk paraboloid kan beskrivas som en familj av parallella paraboler med uppåtgående grenar vars hörn beskriver en parabel, med grenar också uppåt (se figur).

Om , då är den elliptiska paraboloiden en rotationsyta som bildas av parabelns rotation runt sin symmetriaxel. $a=b$

Hyperbolisk paraboloid

Hyperbolisk paraboloid (kallad "gipar" i konstruktionen) - sadelyta , beskriven i ett rektangulärt koordinatsystem med en formekvation

z = \frac {x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2}

eller

z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.

En hyperbolisk paraboloid kan också bildas genom att flytta en parabel vars grenar är riktade nedåt längs en parabel vars grenar är riktade uppåt (se figur).

En hyperbolisk paraboloid är en reglerad yta .

Ytan som genereras av bilinjär interpolation av någon funktion över 4 punkter är en hyperbolisk paraboloid.

Intressanta fakta

Ytan på en vätska i ett likformigt roterande kärl är en rotationsparaboloid (vilket inte är den direkta orsaken till dess namn).
Egenskapen för en rotationsparaboloid används ofta för att samla in en strålstråle parallellt med huvudaxeln vid en punkt - fokus , eller, omvänt, för att bilda en parallell strålning från en källa i fokus. Driften av parabolantenner , reflekterande teleskop med parabolspegel, spotlights , bilstrålkastare etc. bygger på denna princip . För mer information, se reflektor (spegel) .

Se även

En hyperboloid är en annan typ av andra ordningens yta.
Ytor av andra ordningen .
Fyrkantig form .

Litteratur

Delaunay B. N., Raikov D. A. Analytisk geometri, i två volymer. — M., L.: Gostekhizdat , 1948, 1949.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytisk geometri. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 sid.
Kanatnikov A. N., Krishchenko A. P. Analytisk geometri. - M . : Förlag av MSTU im. N. E. Bauman, 2002. - 388 sid. — ISBN 5-7038-1671-8 .