Paracompact utrymme

Ett parakompakt utrymme är ett topologiskt utrymme där varje öppet lock kan inskrivas med ett lokalt ändligt öppet lock.

Samtidigt: en familj av mängder som ligger i ett topologiskt utrymme kallas lokalt ändligt i om varje punkt har en grannskap i som skär endast en ändlig mängd element i familjen ; en familj av mängder är inskriven i en familj av mängder om varje element i familjen ingår i något element av familjen .) ${\mathcal {U}}$ $X$ $X$ $x\i X$ $X$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$

Ett paracompact utrymme kallas ett paracompact Hausdorff utrymme . Parakompakthet är ett av de första kraven i mångfaldig teori .

Varje Hausdorff paracompact utrymme är normalt . Detta tillåter oss att konstruera enhetliga partitioner på parakompakta utrymmen som är föremål för ett godtyckligt givet öppet lock.

Egenskaper

I närvaro av parakompakthet syntetiseras vissa lokala egenskaper hos utrymmet och implementeras globalt. Särskilt,
- om ett parakompakt utrymme är lokalt mätbart, då är det mätbart ;
- om ett Hausdorff-utrymme är lokalt Cech komplett och parakompakt, då är det Cech komplett .
Parakompakthet ärvs inte av godtyckliga delrum, men varje slutet delrum i ett parakompakt utrymme är ett parakompakt utrymme.
Produkten av två parakompakta utrymmen kanske inte är ett parakompakt utrymme.
I klassen Hausdorff-utrymmen
- Den omvända bilden av ett parakompakt utrymme under en perfekt kartläggning är ett parakompakt utrymme,
- Bilden av ett parakompakt utrymme under en kontinuerlig sluten kartläggning är ett parakompakt utrymme.
Paracompact-utrymmen inkluderar i synnerhet Lindelöf-utrymmen . För utrymmet för alla kontinuerliga reella funktioner på ett godtyckligt Tikhonov-rum försett med topologin för punktvis konvergens, är parakompakthet ekvivalent med Lindolöf.
Om ett Banach-utrymme i den svaga topologin genereras topologiskt av någon kompakt uppsättning som ligger i det, så är det parakompakt.
Alla mätbara utrymmen är parakompakta (Stones teorem).
- Ett parakompakt utrymme är mätbart om och endast om det har en bas av räknebar ordning, det vill säga en bas av vilken avtagande sekvens av element som innehåller någon punkt , nödvändigtvis bildar en bas vid den punkten. $x\i X$
Alla compacta är parakompakta, men
- Men inte varje lokalt kompakt Hausdorff-utrymme är parakompakt.

Relaterade definitioner

Ett räknebart parakompakt utrymme är ett topologiskt utrymme i vilket varje räknebart öppet lock kan inskrivas med ett lokalt ändligt öppet lock.

Ett svagt parakompakt utrymme (metakompakt, punktvis parakompakt) är ett topologiskt utrymme där vilket öppet lock som helst kan inskrivas med ett punktvis ändligt öppet lock.

Ett starkt parakompakt (hypokompakt) utrymme är ett topologiskt utrymme där vilket öppet lock som helst kan inskrivas med ett stjärnändligt öppet lock.

Ett subparakompakt utrymme (F σ -siktat) är ett topologiskt utrymme där vilket öppet lock som helst kan inskrivas med ett stängt σ-lokalt ändligt lock

Litteratur

Engelking, R. Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid.