Renormalisering

Renormalisering i kvantfältteori är en procedur för att eliminera ultravioletta divergenser i en klass av teorier som kallas renormaliserbara. Ur en fysisk synvinkel motsvarar det en förändring i de initiala (initiella) Lagrangianerna för sådana teorier så att den resulterande dynamiken i teorin inte innehåller singulariteter (och sammanfaller med den observerade, om teorin gör anspråk på att beskriva verkligheten) . Med andra ord är renormalisering en förfining av interaktionen Lagrangian så att den inte leder till divergenser. Termer som lagts till i lagrangian för detta kallas mottermer .

I verkliga beräkningar används regulariseringsprocedurer för att utföra renormalisering .

Renormaliserbarhet

Om renormaliseringsproceduren eliminerar alla möjliga typer av ultravioletta divergenser i någon kvantfältteoretisk modell, sägs modellen vara renormaliserbar . Tekniskt sett innebär renormaliserbarheten av modellen att endast en ändlig uppsättning oberoende ultravioletta divergenser kan uppstå i den. Detta innebär i sin tur att alla kan elimineras genom att införa ett ändligt antal mottermer . Efter detta förfarande får teorin en sluten form och kan användas för att förutsäga fenomen .

Renormaliseringsprocedur: tekniska detaljer

För specifika beräkningar utförs renormaliseringen enligt följande. Välj ett av regleringsalternativen . Den nakna Lagrangian, som vanligtvis består av ett litet antal termer med en mycket specifik uppsättning fältfunktioner, kompletteras med flera mottermer . Mottermerna har samma form som termerna för den ursprungliga Lagrangian, endast de koefficienter som är kopplade till dem är några okända konstanter. Baserat på denna nya Lagrangian, beräknas de fysiska storheterna i termer av slingintegraler, som nu är ändliga. För ett godtyckligt värde på koefficienterna vid mottermerna kommer de resulterande fysiska storheterna att tendera till oändligheten när regulariseringen tas bort. Dessa koefficienter kan dock väljas på ett sådant sätt att teorins huvudparametrar förblir ändliga även efter att regulariseringen har tagits bort. Detta krav gör att vi kan fixa den slutliga formen av motvillkoren. Vi betonar att denna form uttryckligen beror på reglerings- och subtraktionsschemat.

Om teorin är renormaliserbar räcker det med ett ändligt antal mottermer för att alla möjliga observerbara värden ska bli ändliga.

Historik

Självhandling i klassisk fysik

Problemet med oändligheter uppstod först i den klassiska elektrodynamiken för punktpartiklar under 1800- och början av 1900-talet.

Massan av en laddad partikel måste inkludera energimassan som finns i partikelns elektrostatiska fält ( elektromagnetisk massa ). Låt en partikel med laddning q vara ett laddat sfäriskt skal med radie . Fältenergin uttrycks som $re$

m_{\mathrm {em} }c^{2}=\int {1 \over 2}\left(\varepsilon _{0}E^{2}\right)\,dV={\frac { \varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{r_{e}}^{\infty }\left({q \over 4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}\ höger)^{2}4\pi r^{2}\,dr={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}{q^{2} \över r_{e}}

och blir oändlig när den närmar sig noll. Detta leder till det faktum att en punktpartikel måste ha oändlig tröghet och därför inte kan vara i accelererad rörelse. Värdet vid vilket är lika med halva elektronmassan kallas den klassiska elektronradien , som (förutsatt att ) visar sig vara lika med $re$ $re$ $m_{{{\mathrm {em}}}}$ $q=e$

r_{e}={e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}m_{\mathrm {e} }c^{2))=\alpha {\hbar \over m_{\ mathrm {e} }c}\approx 2{,}8\times 10^{-15}\

där är finstrukturens konstanta och är Compton-våglängden för elektronen. $\alfa \ca 1/137$ $\hbar /m_{{{\mathrm {e}}}}c$

Den totala massan av en sfärisk laddad partikel måste inkludera den "blotta" massan av det sfäriska skalet (utöver den tidigare nämnda "elektromagnetiska" massan som är associerad med dess elektriska fält). Om den "blotta" massan formellt tillåts ta negativa värden visar det sig vara möjligt att få en elektronmassa som överensstämmer med experiment även inom gränsen noll skalradie. Denna teknik kallades renormalisering . Lorentz och Abraham försökte utveckla den klassiska teorin om elektronen på just detta sätt. Detta tidiga arbete inspirerade senare försök till regularisering och renormalisering inom kvantfältteorin.

När man beräknar de elektromagnetiska interaktionerna mellan laddade partiklar, finns det en frestelse att försumma självverkan - partikelfältets verkan på sig själv. Men självverkan behövs för att förklara strålningsfriktion : draget av laddade partiklar när de avger strålning. Om vi betraktar elektronen som en punkt, så divergerar självkraftvärdet av samma skäl som den elektromagnetiska massan divergerar, eftersom fältet är omvänt proportionellt mot kvadraten på avståndet från källan.

Abraham-Lorentz-teorin inkluderar icke-kausal (som bryter mot kausalitetsprincipen ) "föracceleration": det finns en lösning på rörelseekvationerna, enligt vilken en fri elektron kan börja accelerera utan att applicera någon kraft på den. Detta är ett tecken på att poänggränsen är oförenlig med verkligheten.

Problemet med oändligheter i kvantelektrodynamik

Efter konstruktionen av den relativistiska kvantmekaniken i slutet av 1920 -talet och de första framgångsrika beräkningarna inom denna teori, gjordes försök att beräkna och renormalisera sådana parametrar som elektronens massa och laddning. Men de snubblade omedelbart på en allvarlig svårighet: enligt formlerna för kvantfältteorin förändras både laddningen och massan av en elektron när den interagerar med ett elektromagnetiskt fält i oändlig mängd .

Inom kvantfältteorin är problemet med divergens mindre uttalat än i klassisk fältteori, eftersom en laddad partikel i kvantfältsteorin svänger runt en medelposition (den så kallade Zitterbewegung ) på grund av interferens med virtuella partikel-antipartikelpar (dvs. , mellan tillstånd med positiv och negativ energi), som ett resultat, smetas laddningen effektivt ut över ett område som är jämförbart i storlek med Comptons våglängd. Därför, i kvantteorin, divergerar den elektromagnetiska massan endast som logaritmen för partikelradien.

Detta problem mötte fysiker i cirka 20 år, och först i slutet av 1940-talet , genom ansträngningar från Feynman , Schwinger och Tomonaga , lyckades de förstå vad som var fel i inställningen till renormaliseringar. De byggde en teori fri från oändligheter - kvantelektrodynamik (QED), och beräkningarna inom ramen för denna teori bekräftades senare experimentellt.

Renormaliseringar utanför partikelfysik

Som ofta är fallet har begreppet renormaliseringar, myntat i partikelfysiken, visat sig vara utomordentligt fruktbart inom andra områden av fysiken, särskilt inom den kondenserade materiens fysik , där renormaliseringar har en särskilt grafisk tolkning. Mer specifikt används renormaliseringar för att beskriva fasövergångar , Kondo-effekten , etc. I fallet med en ferromagnet - paramagnet fasövergång , följer renormaliseringsgruppen naturligtvis från Kadanovs konstruktion och den termodynamiska likhetshypotesen .

Se även

Litteratur

Renormalisering // Fysisk uppslagsverk : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3: Magnetoplasmic - Poyntings teorem. — 672 sid. - 48 000 exemplar. — ISBN 5-85270-019-3 .
Feynman R. QED är en märklig teori om ljus och materia . — M.: Nauka, 1988. — 144 sid.
Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Introduktion till teorin om kvantiserade fält. (otillgänglig länk) - 4:e upplagan. — M.: Nauka, 1984. — 600 sid.