Renormaliseringsgrupp

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 oktober 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Renormaliseringsgruppmetoden (även ofta kallad renormaliseringsgruppmetoden , RG-metoden ) i kvantfältteorin är en iterativ renormaliseringsmetod där övergången från regioner med lägre energi till regioner med högre energi orsakas av en förändring i skalan av hänsyn till systemet.

Inom teoretisk fysik avser renormaliseringsgruppmetoden (även renormaliseringsgruppmetoden , RG ) en matematisk apparat som möjliggör systematiska studier av förändringar i ett fysiskt system när systemet betraktas i olika rumsliga skalor. Inom elementär partikelfysik återspeglar det interaktionslagarnas beroende av energiskalan där fysiska processer börjar förändras.

Skalförändringen kallas "skalning", eller skalning . Renormaliseringsgruppen är nära besläktad med " skalinvarians " och "konforminvarians" av symmetri , där systemet ser likadant ut på alla nivåer (så kallad självlikhet ) [1] . (Observera dock att skalningstransformationer ingår i gruppen konforma transformationer i allmänhet: de senare inkluderar ytterligare generatorer relaterade till symmetrin av speciella konforma transformationer).

När skalan ändras ändras också samverkanskraften, som om förstoringen av ett villkorligt mikroskop, under vilket systemet betraktas, förändras. I så kallade renormaliserbara teorier kommer ett system i en skala typiskt sett att bestå av självliknande kopior när det ses i mindre skala, med olika parametrar som beskriver komponenterna i systemet. Komponenterna, eller grundläggande variabler, kan relateras till atomer , elementarpartiklar , atomspinn, etc. Parametrarna i teorin beskriver växelverkan mellan komponenterna. Dessa kan vara variabla anslutningsparametrar, på vilka påverkan av olika krafter eller massor beror på. Systemkomponenterna i sig kan visa sig vara sammansatta av liknande komponenter, men mindre.

Till exempel, inom kvantelektrodynamik (QED), verkar elektronen vara sammansatt av elektroner, positroner och fotoner , när den ses med högre upplösning, över mycket korta avstånd. En elektron på så små avstånd har en något annorlunda elektrisk laddning än en "klädd elektron" på stora avstånd, och denna förändring i elektrisk laddning bestäms av renormaliseringsgruppsekvationen.

Det är värt att notera att två olika tillvägagångssätt för renormaliseringsgruppmetoden har formats: Wilson - metoden och Bogolyubov- metoden . I det första fallet är renormaliseringsgruppen inte en grupp i strikt matematisk mening, eftersom det inte finns något omvänt element med avseende på grupprenormaliseringsoperationen. Grovt sett kan vi betrakta systemet som sammansatt av samma mindre system, men det betyder inte att det initiala "stora" systemet kommer att erhållas genom att blanda "små". Detta är en konsekvens av det faktum att när man överväger system för många kroppar, är vi intresserade av medelvärden, och vid medelvärde går information om samverkan mellan delsystem förlorad. I det andra fallet motsvarar renormaliseringsgruppen redan helt en grupp i strikt mening. Dessa tillvägagångssätt skiljer sig åt i sekvensen av åtgärder: i Wilson-metoden omnormaliserar vi de kvantiteter som är involverade i åtgärden och sedan omedelbart medelvärde för dem, medan vi i Bogolyubov-metoden först letar efter de grönas funktioner och sedan omnormaliserar dem.

Historik

Idén om renormaliseringsgruppen utvecklades ursprungligen inom partikelfysik , men den har nu blivit utbredd inom fasta tillståndets fysik , vätskedynamik , kosmologi och till och med ekonometri . Det första verket om detta ämne skrevs av Stückelberg och Peterman 1953. De märkte att renormalisering bildar en grupp av transformationer. De introducerade h ( e )-funktionen i kvantelektrodynamik, nu kallad beta-funktionen (se nedan).

Murray Gell-Man och Francis Low 1954 blev intresserade av idén om att skala transformationer i kvantelektrodynamik, som är fysiskt de mest betydelsefulla, och fokuserade på det asymptotiska beteendet hos fotonförökaren vid höga energier. De bestämde variationerna av den elektromagnetiska interaktionen i kvantelektrodynamik genom att utvärdera hur lätt det är att skala strukturen för denna teori. Således fann de att kopplingsparametern g (μ) på energiskalan μ beskrivs av gruppekvationen

g(\mu )=G^{-1}{\Big (}(\mu /M)^{d}G{\big (}g(M){\big )}{\Big )}

för viss skalningsfunktion G och en konstant d i termer av en kopplingsparameter g ( M ) beroende på referensskalan M.

Gell-Man och Low visade i dessa resultat att den effektiva skalan μ kan väljas godtyckligt och kan varieras för att definiera teorin på vilken annan skala som helst:

g(\varkappa )=G^{-1}{\Big (}(\varkappa /\mu )^{d}G{\big (}g(\mu){\big)}{\Big )}=G^{-1}{\Big (}(\varkappa /M)^{d}G{\big (}g(M){\big )}{\Big )}.

Kärnan i RG är gruppegenskapen: beroende på skalan μ, verkar teorin vara sig självlik, och teorin för vilken skala som helst kan på liknande sätt erhållas från teorin för vilken annan som helst med hjälp av en grupptransformation.

Betafunktionen introducerades av K. Callan och K. Symansik i början av 1970-talet. Eftersom betafunktionen är en enkel funktion av g , tillåter integration av den störda betafunktionen över g oss att i detalj beskriva renormaliseringsbanan för kopplingsparametern, det vill säga dess förändring med energi är ekvivalent med att betrakta den effektiva funktionen G i denna störning approximation. Förutsägelserna från renormaliseringsgruppteorin (Stueckelberg, Peterman och Gell-Mann, Low) bekräftades 40 år senare, i experiment vid LEP : finstrukturkonstanten för QED var cirka 1/127 vid energier runt 200 GeV, i motsats till värdet av lågenergifysik, lika med 1/137. (Tidiga tillämpningar av kvantelektrodynamik diskuterades i Nikolai Bogolyubov och Dmitri Shirkovs framstående bok från 1959).

Renormaliseringsgruppen erhålls genom att renormalisera kvantfältsvariablerna, vilket som regel tar bort problemet med divergenser i kvantfältteorin (även om RG existerar oberoende av divergenser). Detta problem med att systematiskt undvika oändligheter i kvantfältteorin för att erhålla ändliga fysiska kvantiteter löstes för QED av Feynman , Schwinger och Tomonaga , som fick 1965 års Nobelpris för bidrag till kvantfältteorin. De utvecklade en teori om mass- och laddningsrenormalisering, där oändligheten i momentumrepresentationen överförs till en stor regularizer Λ (som i slutändan kan betraktas som oändlig - oändligheten speglar ackumuleringen av bidrag från ett oändligt antal frihetsgrader på en oändligt stor energiskalan). Beroendet av fysiska storheter, såsom den elektriska laddningen eller massan av en elektron, döljs på skalan Λ, som ersätts av en skala med stora avstånd, där de fysiska storheterna är mätbara och, som en konsekvens, alla observerbara kvantiteter är ändliga även för oändliga Λ. Gell-Man och Low visade att den lilla förändringen i g som tillhandahålls av ovanstående RG-ekvation ges av funktionen ψ( g ); självlikhet uttrycks i det faktum att ψ( g ) uttryckligen endast beror på teorins parametrar och inte på skalan μ. Därför kan ovanstående RG-ekvation lösas för g (μ).

En djupare förståelse för den fysiska innebörden och generaliseringen av renormaliseringsmetoden, som går utöver expansionen av gruppen av vanliga renormaliserbara teorier, kom från den kondenserade materiens fysik. Leo Kadanov föreslog i ett papper från 1966 "block-spin"-renormaliseringsgruppen. Idén med blockering är ett sätt att definiera komponenterna i en teori på stora avstånd som en samling komponenter på små avstånd.

Detta tillvägagångssätt användes för att lösa det långvariga Kondo-problemet och beskriva övergångar av det andra slaget av Kenneth Wilson. Han tilldelades 1982 Nobelpriset för "teorin om kritiska fenomen i samband med fasövergångar".

Under tiden omformulerades RG i elementarpartikelfysik av K. Callan och K. Symansik 1970. Betafunktionen som nämnts ovan, som beskriver de löpande kopplingskonstanterna med en förändring i skalparametern, visade sig också vara lika med värdet på den "kanoniska spåranomalien", som är en kvantmekanisk skalbrytning i fältteorin. Tillämpningarna av RG på partikelfysik ledde på 1970-talet till skapandet av standardmodellen.

1973 visade sig teorin om interagerande färgkvarkar , kallad kvantkromodynamik , ha en negativ betafunktion . Detta innebär att det initiala värdet för högenergikopplingsparametern kommer att leda till uppkomsten av en singulär punkt μ, vid vilken kopplingsparametern ökar kraftigt (divergerar). Detta speciella värde är skalan för den starka interaktionen, μ = Λ QCD, och uppträder vid en energi på cirka 200 MeV. Omvänt blir bindningen svag vid mycket höga energier (asymptotisk frihet), och kvarkar blir observerbara som punktpartiklar. Således erhölls QCD som en kvantfältteori som beskriver den starka interaktionen mellan partiklar.

RG i momentumrymden har också blivit ett högt utvecklat verktyg inom fasta tillståndets fysik, men dess framgång har hämmats av den utbredda användningen av störningsteori, vilket har förhindrat framgång i teorin om starkt korrelerade system. För att studera starkt korrelerade system visade sig variationsprincipen vara det bästa alternativet. På 1980-talet utvecklades flera RG-tekniker för applikationer i verkliga rymden, varvid metoden Density Matrix Renormalization Group (DMRG) utvecklad av C. R. White och R. M. Noack 1992 var den mest framgångsrika.

Konform symmetri är associerad med att betafunktionen försvinner. Detta kan hända om kopplingskonstanten attraheras till en fast punkt där β( g ) = 0. I QCD uppträder den fixerade punkten på små avstånd, där g → 0, och kallas den (triviala) ultravioletta fixpunkten. För tunga kvarkar, såsom toppkvarken , har man beräknat att bindningen med den massgivande Higgs-bosonen tenderar till en fast infraröd fixpunkt som inte är noll.

Ett exempel på en beräkning enligt Wilson-schemat

Låt oss överväga teorin i det euklidiska d - dimensionella rummet . Låt oss komma överens om att använda samma beteckningar för funktioner och deras Fourier-transformer , och ändrar endast argumentet för funktionen: x för koordinatrepresentationen, p för impulsrepresentationen. När man tar integraler används koordinatrepresentationen. Lagrangian i denna teori skrivs som $\phi^4$

{\mathcal {L}}(\phi )={\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _ {\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.

Partitionsfunktionen i detta fall representeras som en funktionell integral

Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2}}{2}}\ phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda }{4!)}}\phi ^{4 } \right)\right].

Det är känt att i en renormaliserbar kvantteori påverkar frihetsgraderna med energi processer med energi ~ M endast indirekt: genom renormaliseringen av teorikonstanterna. Därför är det tillrådligt att "klippa av" impulsen med något värde : $\Lambda \gg M$ $\lambda$

[D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)

Då kan den reguljära partitionsfunktionen skrivas som

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac { m^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda } {4!}}\phi ^{4}\right)\right].

Vi delar in integrationsvariablerna i två grupper ( ): $0<b<1$

{\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda ,\\0,&|p|<b\ Lambda .\end{cases}}

\phi (p)={\begin{cases}0,&b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda ,\\\phi (p),&|p|<b\Lambda .\end{cases }}

Och ersätt i uttrycket den reguljära partitionsfunktionen:

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[ -\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2}}{2}}(\phi +{\hat {\phi}})^{2}+{\frac { 1}{2}}(\partial _{\mu }\phi +\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\frac {\lambda }{4!)} } (\phi +{\hat {\phi )))^{4}\right)\right].

Vi öppnar parenteserna och omgrupperar termerna, med hänsyn till att bidragen från försvinner på grund av Fourier-transformernas egenskaper (innan vi tar handlingsintegralen är det värt att gå över till momentumrummet) och vår definition av funktionerna och i momentum form. $\phi {\hat {\phi ))$ $\phi$ ${\hat {\phi ))$

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}( \phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2)) {2}}{\hat {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\ lambda ({\frac {1}{6}}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{\frac {1}{4}}\phi ^{2}{\hat {\phi} }^{2}+{\frac {1}{6}}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{\frac {1}{4!)}}{\hat {\phi } } ^{4})\right)\right].

Här har Lagrangian samma form som den initiala Lagrangianen. Låt oss integrera över fältet : ${\mathcal {L}}(\phi )$ ${\hat {\phi ))$

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L }}_{\text{eff}}(\phi )\right]},

där skiljer sig från genom korrektioner proportionella mot potenser och deras derivator. Rättelser kan presenteras i diagramform. Låt oss studera den resulterande effektiva åtgärden genom renormaliseringsgruppmetoden. För att göra detta ändrar vi skalan för avstånd och impulser enligt regeln . ${\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )$ ${\mathcal {L}}(\phi )$ $\lambda ,\phi$ $\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )$ $x'=bx,\ p'=p/b,\ |p|<\Lambda$

\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d} \left[{\frac {1}{2}}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{\frac {1}{2 }}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{\frac {1}{4!}}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4} +\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+\ldots \right].

Låt oss göra ersättningar, där åtgärden kommer att ta sin ursprungliga form:

\phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi ,

m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2},

\lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4},

B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d},

C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}.

Följaktligen

\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{\frac {1}{2}}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{\frac {1}{2}}m'^{2}\phi '^{2}+{ \frac {1}{4!}}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{ 6}+\ldots\right].

Som du kan se har beroendet av dimensionen överförts till modellparametrarna. Låt oss analysera dem. I ett litet område av den fasta punkten kan inkrement av parametrar försummas . Inom statistisk fysik motsvarar detta att betrakta dynamiken i ett system nära en kritisk punkt. $\Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda$

m'^{2}=m^{2}b^{-2},\ \lambda '=\lambda b^{d-4},\ B'=Bb^{d},\ C' =Cb^{2d-6}.

Sedan växer parametrarna som multipliceras med negativa potenser , och vice versa. $b<1$ $b$

Modellparametrarna som ökar under det beskrivna förfarandet kallas väsentliga .
Modellparametrarna som reduceras med det beskrivna förfarandet kallas insignifikanta .
Modellparametrar som inte ändras under det beskrivna förfarandet kallas marginella .

Det är uppenbart att de två sista parametrarna är oväsentliga, och teorin på är renormaliserbar. Denna bild är naturligtvis giltig så länge massoperatören inte blir dominerande. $\phi^4$ $d=4$

Renormaliseringsgrupp i fasta tillståndets fysik

I fasta tillståndets fysik används renormaliseringsgruppen för att bygga matematiska modeller av fasövergångar. Låt oss utöka energiökningen i en Taylor-serie beroende på den lokala magnetiseringen . I det kritiska området spelar koefficienten b en viktig roll eftersom a tenderar mot noll. Den lokala magnetiseringen expanderas i en Fourier-serie som summan av ett oändligt antal sinusformade vågor med olika vågvektorer och frekvenser. Kvanta av magnetiseringsvågor kallas fluktuoner . Liksom fotoner av ljusvågor har fluktuoner energi och momentum . Fluktuationer i en ferromagnet samverkar genom att spridas på varandra. Det är bekvämt att beräkna fluktuonspridningsprocesser med hjälp av Feynman-diagram . I dessa diagram motsvarar linjerna rörliga partiklar (fluktuoner), och punkterna motsvarar deras kollisioner. Den verkliga kraften för samverkan mellan fluktuationer kallas den effektiva kopplingskonstanten g. Vi skär Feynman-diagrammet över två-till-två spridningsprocesser på den plats där två mellanliggande partiklar passerar. Låt oss överväga till höger alla möjliga block som skildrar två-till-två spridningsprocesser. Efter summering är den högra sidan summan med ett oändligt antal termer som representerar konstanten g. Låt oss överväga till vänster alla möjliga block som skildrar två-till-två spridningsprocesser. Efter summeringen är den vänstra sidan summan med ett oändligt antal termer som representerar konstanten g. Som ett resultat, istället för en oändlig uppsättning termer, som var och en beror på kopplingskonstanten b, kommer vi fram till en term beroende på konstanten g. Denna procedur att ersätta en kopplingskonstant med en annan kallas renormalisering. Renormaliseringsgruppmetoden gör det möjligt att förklara oberoendet av typen av kritiska asymptotik från fasövergångens materiella och fysiska natur. $\Delta E=a{\bar {m^{2}}}+b{\bar {m^{4}}}$ $\omega$ $\hbar {\bar {k))$

Renormaliseringsgrupp i statistisk fysik

Renormaliseringsgruppmetoden är ett allmänt erkänt verktyg för att studera andra ordningens fasövergångar och kritiska fenomen. Problem med statistisk fysik inkluderar problem med ett oändligt antal frihetsgrader. Till exempel: problem med teorin om kritiskt beteende eller stokastisk dynamik med tidsberoende klassiska slumpmässiga fält. Följaktligen ges systemet av en oändlig familj av Greens funktioner. Som regel finns det ingen exakt lösning på sådana problem. Därför måste vi prata om asymptotik i domäner. RG-tekniken kommer bara att visa förekomsten av motsvarande skalning. Och, om det finns, kommer vi att få explicita formler för att beräkna kritiska exponenter genom ε-expansionen ( d = 4 − ε). Kritiska exponenter beskriver anomalier i olika termodynamiska egenskaper hos systemet i fluktuationsområdet, det vill säga i närheten av fasövergångspunkten.

Det vill säga, RG-tekniken är en metod för att beräkna asymptotiken för Greenens funktion i området för stora (UV) och små (IR) momenta. Vi betraktar icke-triviala asymptotik: det finns termer i störningsserien med en singularitet i momenta. I sådana fall räcker det alltså inte att vi summerar en del av serien. Det är nödvändigt att summera hela serien. Sådana operationer utförs med RG-teknik. Som ett resultat får vi en linjär partiell differentialekvation för Greenens funktion. Men, som sagt tidigare, vi har två områden. Och den resulterande lösningen är endast korrekt i en av dem. Hur kan vi hitta detta tillämplighetsområde? Betrakta β-funktionen, koefficienten för derivatan i RG-operatorn. Det brukar se ut som $\partial _{g}$

\beta (g)=\alpha g+\beta g^{2}+\gamma g^{3}+\delta g^{4}+\epsilon g^{5}+\phi g^{6 }\ldots ,

\beta (g^{*})=0\quad \Rightarrow \quad g^{*}

är en fast punkt.

Det finns alltid en trivial lösning g * = 0. Beroende på beteendet hos funktionen β( g ) i närheten av g * = 0, särskiljs alltså de UV-attraktiva och IR-attraktiva fixpunkterna.

Det är också värt att nämna universaliteten och likhetshypotesen.

System tillhör samma klass om de kritiska exponenterna och normaliserade skalningsfunktioner för dessa system sammanfaller. Till exempel hör systemen "gas-vätskeövergång" och "ferromagneter" till samma klass.
Likhetshypotesen är att asymptotiken för de termodynamiska funktionerna av intresse för oss i närheten av den kritiska punkten har egenskapen homogenitet.

Överväg RG-analysschemat för vilken modell som helst.

Det är värt att upprepa att uppgiften med RG-analys är att motivera kritisk skalning och beräkna kritiska index. Vi är intresserade av intressanta resultat som inte beror på godtyckligheten i den finita renormaliseringen. Därefter kommer vi bara att överväga beräkningsschemat.

Bestämningen av dimensionerna för alla kvantiteter i funktionsfunktionen och avvisandet av IR är obetydliga i jämförelse med huvudinteraktionen.
Att bestämma divergenserna för diagrammen för alla 1-irreducerbara funktioner (för d = d * ) och strukturerna för de nödvändiga mottermerna.
Erhålla RG-ekvationer för renormaliserade objekt och formler som uttrycker RG-funktioner i termer av renormaliseringskonstanter Z .
Beräkning från diagram av renormaliseringskonstanter Z i form av initiala segment av serier i laddning g .
Beräkning av RG-funktionerna β och γ i form av initiala segment av serier i g med hjälp av formler som uttrycker dem i termer av Z . β är funktioner av alla laddningar, γ är anomala dimensioner.
Beräkning med β-funktioner av koordinaterna för fixpunkter g * och motsvarande index ω i form av initiala segment av ε-expansionen. Om det inte finns några IR-stabila punkter bland g * punkter, kommer det inte att finnas någon kritisk skalning. Om det finns sådana punkter tar vi nästa steg.
För varje g * γ( g * ) och motsvarande kritiska exponenter beräknas. I komplexa modeller är det möjligt att beräkna 1–2 ordningar av ε-expansionen av index och förstå den allmänna bilden av beteendet hos fasbanor.
Beräkning av de initiala segmenten av ε-expansionen av olika skalningsfunktioner.
Analys av deras singulariteter utanför ramen för ε-expansionen med hjälp av RG-tekniken och Wilsons operatörsexpansion.
Analys av renormalisering och beräkning av kritiska dimensioner för olika system av sammansatta operatörer.

Se även

Anteckningar

↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Renormaliseringsgrupp? Det är väldigt enkelt // Naturen . - 1984, nr 8. - S. 3-13.

Länkar

Renormaliseringsgrupp på arxiv.org
Vergeles S. N. Föreläsningar om kvantelektrodynamik. - M. : Fizmatlit, 2006. - ISBN 5-9221-0634-1
Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Introduktion till teorin om kvantiserade fält. 7 upplagor på 4 språk. 4:e uppl. — M .: Nauka, 1984.
Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Kvantfält. (3:e upplagan) - M. : Fizmatlit, 2005. - ISBN 5-9221-0580-9 .
Shirkov DV Bogoliubov Renormalization Group. (engelska) .
Vasiliev AN Kvantfältsrenormaliseringsgrupp i teorin om kritiskt beteende och stokastisk dynamik. - St Petersburg. : PNPI förlag, 1998.(översatt till engelska)
Sokolov A. I. Kritiska fluktuationer och renormaliseringsgruppen // Soros Educational Journal , 2000, nr 12. - S. 98.
Sokolov A.I. Renormaliseringsgrupp i teorin om fasövergångar // School of PNPI FKS-2011