Inoue yta

Inoue-ytan är en komplex Kodaira-yta av klass VII . Ytorna är uppkallade efter Masahita Inoue, som gav de första icke-triviala exemplen på Kodaira klass VII ytor 1974 [1] .

Inoue-ytor är inte Kählers grenrör .

Inoue ytor med b 2 = 0

Inoue gav tre familjer av ytor, S 0 , S + och S − , som är kompakta faktorer (produkter av ett komplext plan och ett halvplan). Dessa Inoue-ytor är lösbara grenrör . De erhålls som en faktor över en lösbar diskret grupp som verkar holomorft på . ${\mathbb {C} }\ gånger H$ ${\mathbb {C} }\ gånger H$ ${\mathbb {C} }\ gånger H$

Alla lösbara ytor som Inoue konstruerat har ett andra Betti-nummer . Dessa ytor är Kodaira-ytor av klass VII , vilket betyder att för dem är Kodaira- dimensionen lika med . Som bevisats av Bogomolov [2] , Li- Yau [3] och Telemann [4] är varje yta av klass VII med b 2 = 0 en Hopf-yta eller ett lösligt grenrör av Inoue-typ. $b_{2}=0$ $b_{1}=1$ $-\infty$

Dessa ytor har inte meromorfa funktioner och inte heller kurvor.

K. Hasegawa [5] gav en lista över alla komplexa tvådimensionella lösbara varianter. Dessa är komplex torus , hyperelliptisk yta , Kodaira yta och Inoue ytor S 0 , S + och S − .

Inoue-ytor är konstruerade explicit enligt beskrivningen nedan [5] .

Ytor av typ S 0

Låt vara en heltal 3 × 3 matris med två komplexa egenvärden och ett reellt egenvärde c>1 , och . Sedan är den inverterbar i heltal och bestämmer verkan av gruppen av heltal på . Låt . Denna grupp är ett gitter i en lösbar Lie-grupp $\phi$ $\alpha ,{\bar {\alpha ))$ $|\alpha |^{2}c=1$ $\phi$ ${\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{3))$ $\Gamma :={\mathbb {Z} }^{3}\r gånger {\mathbb {Z} }$

{\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }

agerar på , medan gruppen agerar på -delen genom överföringar och på -delen som . ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} ))$ $({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ $(z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)$

Vi utökar denna åtgärd till att ställa in , där t är parametern -part för gruppen . Handlingen är trivial på faktorn i . Denna verkan är uppenbarligen holomorf och faktorn kallas en Inoue-yta av typ S 0 . ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0))$ $v\mapsto e^{\log ct}v$ $\rtimes {\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} ))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0))$ ${\mathbb {C} }\times H/\Gamma$

Inoue-ytan So definieras av valet av en heltalsmatris , med ovanstående begränsningar. Det finns ett oräkneligt antal sådana ytor. $\phi$

Ytor av typ S +

Låt n vara ett positivt heltal och vara gruppen av övre triangulära matriser $\Lambda _{n}$

{\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix)),

där x, y, z är heltal. Betrakta en automorfism , som vi betecknar med . Faktorn för en grupp i dess centrum C är . Antag att det fungerar som en matris med två positiva reella egenvärden a, b , med ab = 1. $\Lambda _{n}$ $\phi$ $\Lambda _{n}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2))$ $\phi$ $\Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2}$

Betrakta en lösbar grupp med , agerar som . Genom att identifiera gruppen av övre triangulära matriser med får vi en åtgärd på . Vi definierar en handling på med att agera trivialt på -delen och fungerar som . Samma argument som för Inoue-ytor av typen visar att denna handling är holomorf. Faktorn kallas ytan av Inoue-typ . $\Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtider {\mathbb {Z} }$ ${\mathbb {Z} }$ $\Lambda _{n}$ $\phi$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3))$ ${\displaystyle \Gamma _{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} ))$ ${\displaystyle \Gamma _{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0))$ $\Lambda _{n}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0))$ ${\mathbb {Z} }$ $v\mapsto e^{t\log b}v$ $S^{0}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H/\Gamma _{n))$ $S^{+}$

Ytor av typ S −

Inoue ytor av typen $S^{-}$ definieras på samma sätt som S + , men de två egenvärdena a, b av den automorfism som verkar på har motsatta tecken, och likheten ab = −1 gäller. Eftersom kvadraten på en sådan endomorfism definierar en Inoue-yta av typ S + , har en Inoue-yta av typ S- ett oförgrenat dubbelt täcke av typ S + . $\phi$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2))$

Paraboliska och hyperboliska Inoue-ytor

Paraboliska och hyperboliska Inoue-ytor är klass VII Kodaira-ytor definierade av Iku Nakamura 1984 [6] . De är inte lösbara sorter. Dessa ytor har ett positivt andra Betti-tal. Ytor har sfäriska skal och kan deformeras till en Hopf - ytsprängning .

Paraboliska Inoue-ytor innehåller en cykel av rationella kurvor med 0 självkorsningar och en elliptisk kurva. De är ett specialfall av Enoki-ytor som har en cykel av rationella kurvor med noll självskärningar men ingen elliptisk kurva. Inoue-halvytan innehåller en cykel C av rationella kurvor och är en faktor för en hyperbolisk Inoue-yta med två cykler av rationella kurvor.

Hyperboliska Inoue-ytor är ytor av klass VII 0 med två cykler av rationella kurvor [7] .

Anteckningar

↑ Inoue, 1974 , sid. 269-310.
↑ Bogomolov, 1976 , sid. 273–288.
↑ Li, Yau, 1987 , sid. 560-573.
↑ Teleman, 1994 , sid. 253-264.
↑ 12 Hasegawa , 2005 , sid. 749-767.
↑ Nakamura, 1984 , sid. 393-443.
↑ Nakamura, 2008 .

Litteratur

Keizo Hasegawa. Complex and Kahler structures on Compact Solvmanifolds // J. Symplectic Geom.. - 2005. - Vol. 3 , nr. 4 . - S. 749-767 .
Bogomolov, F.A., Klassificering av ytor av klass VII 0 med b 2 = 0 , Izv. USSR:s vetenskapsakademi. - 1976. - T. 40 , nr. 2 .
Li J., Yau S., T. Hermitian Yang-Mills-anslutningar på icke-Kahler-grenrör // Math. aspekter av strängteorin (San Diego, Kalifornien, 1986). — Adv. Ser. Matematik. Phys.. - World Scientific Publishing, 1987. - Vol. 1.
Nakamura I. På ytor av klass VII 0 med kurvor // Inventiones math.. - 1984. - T. 78 .
Inoue M. På ytor av klass VII 0 // Inventiones math.. - 1974. - T. 24 .
Teleman A. Projektivt plana ytor och Bogomolovs sats om klass VII 0 -ytor // Int. J. Math .. - 1994. - V. 5 , nr. 2 .
Nakamura I. Undersökning av VII 0 - ytor // Senaste utvecklingen inom NonKaehler Geometry . — Sapporo, 2008.