Semigrupp

En semigrupp i allmän algebra är en mängd med en associativ binär operation definierad på den . Det råder kontroverser om huruvida kravet på icke-tomhet ska inkluderas i definitionen av en halvgrupp; vissa författare insisterar till och med på behovet av ett neutralt element ("ett"). Det vanligaste tillvägagångssättet är dock att en halvgrupp inte nödvändigtvis är tom och inte nödvändigtvis innehåller ett neutralt element. En halvgrupp med ett neutralt element kallas en monoid ; vilken semigrupp som helst som inte innehåller ett neutralt element kan förvandlas till en monoid genom att lägga till något element till det och definiera $(S,\cdot )$ $S$ $e\inte \i S$ $es=s=se\ \forall s\in S\cup \{e\};$ den resulterande monoiden betecknas vanligtvis som . $S^{1}$

Exempel på semigrupper: naturliga tal med additionsoperationen , mängden av alla mappningar av en mängd till sig själv med kompositionsoperationen , mängden av alla ord över något alfabet med sammanlänkningsoperationen . Vilken grupp som helst är också en halvgrupp; Ett ideal för en ring är alltid en halvgrupp under driften av multiplikation.

Definition

En semigroup är en (icke-tom) uppsättning , i vilken för vilket par av element som helst som tas i en viss ordning ett nytt element definieras, kallat deras produkt , och för alla alltid [1] . ${\mathfrak {U}}$ $X,Y\in {\mathfrak {U}}$ $U=XY\in {\mathfrak {U}}$ $X,Y,Z\in {\mathfrak {U}}$ $(XY)Z=X(YZ)$

Typer av semigrupper

En halvgrupp kallas kommutativ (eller abelisk ) om den alltid gäller för någon . ${\mathfrak {U}}$ $A,B\in {\mathfrak {U}}$ $AB=BA$

Viktiga klasser bildar semigrupper med reduktion [2] :

med vänsterkontraktion om någon av alltid innebär ; $X,A,B\in {\mathfrak {U}}$ $XA=XB$ $A=B$
med rätt sammandragning om någon eller alltid innebär ; $Y,A,B\in {\mathfrak {U}}$ $AY=BY$ $A=B$
med bilateral annullering , om det är en halvgrupp med både vänster och höger annullering samtidigt.

Ett element i en halvgrupp kallas regelbundet om det finns ett element i en sådan . En halvgrupp vars alla element är reguljära kallas en vanlig semigrupp . $A$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X$ $AXA=A$

Ett element i en halvgrupp sägs vara helt regelbundet om det finns ett element i en sådan och . En helt vanlig halvgrupp är en halvgrupp vars alla element är helt regelbundna [3] . $A$ ${\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X$ $AXA=A$ $AX=XA$

En semigrupp i vilken det för någon i det alltid existerar sådan att och , är en grupp . ${\mathfrak {U}}$ $A,B\in {\mathfrak {U}}$ ${\mathfrak {U}}$ $X,Y$ $XA=B$ $AY=B$

Halvgruppsstruktur

Om , då är det vanligt att beteckna . $A,B\delmängd S$ $AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}$

En delmängd av en halvgrupp kallas en delgrupp om den själv är en halvgrupp med avseende på begränsningen av operationen till en delmängd. För detta räcker det att för två valfria element från deras produkt också tillhör . $A$ $S$ $A$ $A$

Om delmängden är icke-tom och (respektive ) ligger i , då kallas den för det högra (respektive vänster) idealet för . Om är både ett vänster- och ett högerideal, så kallas det ett dubbelsidigt ideal, eller helt enkelt ett ideal. $A$ $AS$ $SA$ $A$ $A$ $A$

Skärningen och föreningen av någon familj av underhalvgrupper är också en underhalvgrupp; det följer att undersemigrupperna bildar ett komplett gitter . Ett exempel på en halvgrupp där det inte finns något minimalt ideal är positiva heltal med additionsoperationen. Om det finns ett minst ideal och halvgruppen är kommutativ, så är det en grupp.

På grund av associativitet kan man korrekt definiera den naturliga graden av ett element i en halvgrupp som:

a^{n}={\overset {n}{\overbrace {a\cdot a\cdot \dots \cdot a)) }}

För graden av ett element är förhållandet sant . $a^{{m+n}}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{{nm}},\forall n,m\in {\mathbb N}$

Ett specialfall av semigrupper är semigrupper med division , där för vartannat element och höger och vänster kvot definieras. $a$ $b$ $(a/b)$ $(b/a)$

En finit halvgrupp har alltid en idempotent (ett element för vilket ). $aa=a$

En semigroup homomorphism är en kartläggning som bevarar strukturen av en semigroup. En mappning från en halvgrupp till en halvgrupp kallas nämligen en homomorfism om . Två semigrupper och sägs vara isomorfa om det finns en bijektiv homomorfism . $f$ $R$ $S$ $\forall a,b\in S\ f(ab)=f(a)f(b)$ $S$ $T$ $f\kolon S\till T$

Greens relationer

1951 introducerade James Green fem grundläggande ekvivalensrelationer på en semigrupp. De visade sig vara väsentliga för att förstå semigruppen både lokalt och globalt. Greens relationer på en halvgrupp definieras av följande formler: $S$

aRb\Leftrightarrow aS^{1}=bS^{1}

aLb\Leftrightarrow S^{1}a=S^{1}b

aJb\Leftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}

H=L\cap R

D=R\vee L

Det följer direkt av definitionen att är en högerkongruens och är en vänsterkongruens. Det är också känt att . Ett av de mest grundläggande påståendena i teorin om semigrupper är Greens lemma, som säger att om element och är R-ekvivalenta, , så att , och är motsvarande högerskift, så är de ömsesidigt inversa bijektioner på respektive vice versa. De behåller även H-klasser. $R$ $L$ $D=R\cirkel L=L\cirkel R$ $a$ $b$ $u$ $v$ $au=b$ $bv=a$ $p_{u},p_{v}$ $p_{u},p_{v}$ $La}$ $L_{b}$

Anteckningar

↑ Lyapin, 1960 , sid. 28.
↑ Lyapin, 1960 , sid. 29.
↑ Lyapin, 1960 , sid. 104.

Litteratur

Shevrin L. N. . Kapitel IV. Semigrupper // Allmän Algebra / Under det allmänna. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. — 480 s. — (Referens matematiskt bibliotek). — 25 000 exemplar. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Lyapin E. S. Semigroups. - M. : Fizmatlit, 1960. - 592 sid.