Halvenkel modul

Semienkla moduler ( helt reducerbara moduler ) är allmänna algebraiska moduler som enkelt kan återställas från sina delar. En ring som är en halvenkel modul över sig själv kallas en artinisk halvenkel ring . Ett viktigt exempel på en halvenkel ring är gruppringen av en ändlig grupp över ett fält med karakteristisk noll. Strukturen av halvenkla ringar beskrivs av Wedderburn-Artin-satsen : alla sådana ringar är direkta produkter av matrisringar .

Definition

Tre ekvivalenta [1] definitioner av en halvenkel (helt reducerbar) modul ges: en modul M är halvenkel om

1. M är isomorft till en direkt summa av enkla moduler (även kallade irreducerbara).
2. M kan delas upp i en direkt summa av enkla submoduler av M .
3. För varje N  submodul M finns ett komplement P så att M = N ⊕ P .

Fullständig reducerbarhet är ett starkare villkor än helt nedbrytbart: en helt nedbrytbar modul  är en modul som bryts ned till en direkt summa av oupplöslig . Till exempel är ringen av heltal helt nedbrytbar (detta följer av dess oupplöslighet), men den är inte helt reducerbar, eftersom den har undermoduler (till exempel uppsättningen av jämna tal).

Egenskaper

• Om M är semisimpla och N  är dess submodul , då är N och M / N också semisimpla.
• Om alla  är semisimpla moduler är den direkta summan också semisimpla.
• Modulen M är ändligt genererad och halvenkel om och endast om den är artinisk och dess radikal är noll.

Halvenkla ringar

En ring sägs vara halvenkel (vänster) om den är halvenkel som en (vänster) modul över sig själv. Det visar sig att vänster halvenkla ringar är höger semisimpla och vice versa, så vi kan tala om halvenkla ringar.

Halvenkla ringar kan karakteriseras i termer av homologisk algebra : en ring R är halvenkel om och endast om varje kort exakt sekvens av (vänster) R -moduler delar sig . I synnerhet är en modul över en halvenkel ring injektiv och projektiv .

Halvenkla ringar är både Artinian och Noetherian . Om det finns en homomorfism från ett fält till en halvenkel ring kallas det en halvenkel algebra .

Exempel

• En kommutativ halvenkel ring är isomorf till en direkt produkt av fält.
• Om k  är ett fält och G  är en ändlig grupp av ordningen n , så är gruppringen k [ G ] halvenkel om och endast om fältets egenskap inte delar n . Detta resultat är känt som Maschkes teorem och är viktigt i grupprepresentationsteori .

Wedderburn-Artins sats

Wedderburn-Artin-satsen säger att varje halvenkel ring är isomorf till den direkta produkten av matrisringar n i by n i med element i kroppen D i , och talen n i är unikt definierade, och kropparna är unika upp till isomorfism. I synnerhet är en enkel ring isomorf till en matrisring över en delningsring.

Wedderburns ursprungliga resultat var att en enkel ring, som är en ändlig dimensionell enkel algebra över en divisionsring, är isomorf till en matrisring. Emil Artin generaliserade teoremet till fallet med halvenkla (artinska) ringar.

Exempel på fall där Wedderburn-Artin-satsen kan tillämpas: varje finitdimensionell enkel algebra över R är en matrisring över R , C eller H ( quaternions ), varje finitdimensionell enkel algebra över C är en matrisring över C .

Anteckningar

1. ↑ Nathan Jacobson, Basic Algebra II (andra upplagan), s.120

Litteratur

• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2:a upplagan), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5 
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0 
• RS Pierce. Associativa algebror . Graduate Texts in Mathematics vol 88.