Antal sekvensgräns

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Gränsen för en numerisk sekvens är gränsen för en sekvens av element i ett numeriskt utrymme. Ett talutrymme är ett metriskt utrymme , där avståndet definieras som modulen för skillnaden mellan element. Därför kallas ett tal gränsen för en sekvens om det för någon finns ett nummer beroende på , så att ojämlikheten gäller för någon . $a$ $\{x_n\}$ $\varepsilon > 0$ $N_\varepsilon$ $\varepsilon$ $n > N_\varepsilon$ $\ |x_n - a| < \varepsilon$

När det gäller komplexa tal är förekomsten av en gräns för en sekvens ekvivalent med förekomsten av gränser för motsvarande sekvenser av reella och imaginära delar av komplexa tal.

Gränsen (för en numerisk sekvens) är ett av de grundläggande begreppen för matematisk analys . Varje reellt tal kan representeras som gränsen för en sekvens av approximationer till det önskade värdet. Nummersystemet tillhandahåller en sådan sekvens av förfinningar. Heltal och rationella tal beskrivs av periodiska sekvenser av approximationer, medan irrationella tal beskrivs av icke-periodiska sekvenser av approximationer. [1] I numeriska metoder , där representationen av tal med ett ändligt antal tecken används, spelar valet av approximationssystemet en speciell roll. Kriteriet för kvaliteten på systemet med approximationer är konvergenshastigheten. I detta avseende visar sig fortsatta bråkrepresentationer av tal vara effektiva .

Historik

Begreppet gränsen för en sekvens användes av Newton under andra hälften av 1600-talet och av matematiker från 1700-talet , som Euler och Lagrange , men de förstod gränsen intuitivt. De första rigorösa definitionerna av gränsen för en sekvens gavs av Bolzano 1816 och av Cauchy 1821 .

Definition

Ett tal kallas gränsen för en numerisk sekvens om sekvensen är oändligt liten, det vill säga alla dess element, med början från några, är mindre än något föruttaget positivt tal i absolut värde. $a\in \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_{n}-a\}$

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon

(för alla små epsiloner finns det ett nummer från vilket elementen i sekvensen kommer att skilja sig från gränsen med mindre än epsilon)

Om ett tal är gränsen för en numerisk sekvens sägs sekvensen också konvergera till . Om inget reellt tal är gränsen för sekvensen kallas det divergent . $a\in \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_n\}$ $a$ $\{x_n\}$

För vissa sekvenser antas gränsen vara oändlig . De säger nämligen att sekvensen tenderar till oändligheten , om för något reellt tal alla medlemmar i sekvensen, med början från några, visar sig vara större än detta tal i absolut värde. Formellt, $\{x_n\}$

\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| > E

Dessutom, om alla element i en sekvens som tenderar till oändlighet, med början från ett visst tal, har ett positivt tecken, så säger de att gränsen för en sådan sekvens är plus oändlighet .

\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n > E

Om elementen i en sekvens som tenderar till oändlighet, med början från ett visst tal, har ett negativt tecken, säger de att gränsen för en sådan sekvens är lika med minus oändlighet .

\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n < -E

Varje sekvens som tenderar mot oändligheten är obegränsad . Det omvända är dock inte sant.

Den partiella gränsen för en sekvens är gränsen för en av dessundersekvenser.

Den övre gränsen för en sekvens är den största av dess gränspunkter (vilket motsvarar den största delgränsen).

Den nedre gränsen för en sekvens är den minsta av dess gränspunkter.

Notation

Det faktum att en sekvens konvergerar till ett tal indikeras på något av följande sätt: $\{x_n\}$ $a$

$\lim_{n \to \infty} x_n = a$

eller

$x_n ~ \xrightarrow[n \to \infty]{} ~ a$

Egenskaper

Det finns vissa funktioner för gränsen för sekvenser av reella tal . [2]

Alternativa definitioner av gränsen för en sekvens kan ges. Till exempel att anropa en gräns för ett nummer i vilket område som helst där det finns oändligt många element i sekvensen, medan det utanför sådana områden bara finns ett ändligt antal element. Således kan gränsen för en sekvens endast vara gränspunkten för uppsättningen av dess element. Denna definition överensstämmer med den allmänna definitionen av en gräns för topologiska utrymmen.

Denna definition har en oundviklig brist: den förklarar vad en gräns är, men ger inte ett sätt att beräkna den, inte heller information om dess existens. Allt detta härleds från följande (bevisbara per definition) egenskaper hos gränsen.

Egenskaper

Det unika med gränsen.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b$

Aritmetiska egenskaper

att ta gränsen för en numerisk sekvens är linjär , det vill säga den uppvisar två egenskaper hos linjära mappningar.
- Additivitet . Gränsen för summan av numeriska sekvenser är summan av deras gränser, om var och en av dem finns. $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n$
- Enhetlighet . Konstanten kan tas ut under gränstecknet. $\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n$
Gränsen för en produkt av numeriska sekvenser faktoriseras av produkten av gränserna, om var och en av dem existerar. $\lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n$
Gränsen för förhållandet mellan numeriska sekvenser är förhållandet mellan deras gränser om dessa gränser finns och divisorsekvensen inte är oändlig. $\lim _{{n\to \infty }}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{{n\to \infty }}x_{n }}{\lim \limits _{{n\to \infty }}y_{n}}}$

Beställningsbevarande egenskaper

Om alla element i en konvergent sekvens, utgående från ett antal, inte överstiger ett antal, överstiger gränsen för denna sekvens inte heller detta antal. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Om ett antal inte överstiger alla element i en konvergent sekvens, med utgångspunkt från ett antal, så överskrider det inte heller gränsen för denna sekvens. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Om ett antal strikt överskrider alla element i en konvergent sekvens, med utgångspunkt från ett antal, överstiger inte gränsen för denna sekvens detta antal. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Om alla element i en konvergent sekvens, med början från ett antal, strikt överstiger ett antal, så överskrider detta antal inte gränsen för denna sekvens. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Om, med utgångspunkt från ett antal, alla element i en konvergent sekvens inte överskrider motsvarande element i en annan konvergent sekvens, så överskrider inte gränsen för den första sekvensen gränsen för den andra. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$
För numeriska sekvenser är satsen om två poliser (principen om dubbelsidig begränsning) giltig. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} z_n \ leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$

Andra egenskaper

En konvergent nummersekvens har bara en gräns. $\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Rightarrow ~ a = b$

Stängning . Om alla element i en konvergent numerisk sekvens ligger på ett visst segment , så ligger dess gräns också på samma segment. $\forall n \in \N \colon x_n \in [a,~b] ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \i [a,~b]$

Gränsen för en sekvens med samma nummer är lika med detta nummer. $\lim_{n \to \infty} x = x$

Att ersätta eller ta bort ett ändligt antal element i en konvergent numerisk sekvens påverkar inte dess gräns.

En stigande sekvens avgränsad från ovan har en gräns. Detsamma gäller för en minskande sekvens som avgränsas nedan.
Produkten av en oändligt stor sekvens avgränsad nedan är en oändligt stor sekvens.

Stolz sats håller .

Om en sekvens har en gräns, så har sekvensen av aritmetiska medelvärden samma gräns (en följd av Stolz sats). $x_n$ $\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$

Om en talföljd har en gräns , och om en funktion är given , definierad för varje och kontinuerlig vid punkten , $\{x_n\}$ $x$ $f(x)$ $x_{n}$ $x$ $\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)$

Exempel

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$

$\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

$\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a))))_ {n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}$

$\lim_{n \to \infty} x_n = x ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x$

$\forall n \in \N \colon x_n > 0 ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt [n]{x_n}$

$\lim_{n \to \infty} n = +\infty$

$\nfinns \lim_{n \to \infty} (-1)^n$

Fallet med komplexa tal

Ett komplext tal kallas gränsen för en sekvens om det för något positivt tal är möjligt att ange ett sådant tal , med början från vilket alla element i denna sekvens uppfyller olikheten för $a$ $\{z_n\}$ $\varepsilon$ $N=N(\varepsilon)$ $z_n$
$|z_n - a|< \varepsilon$ $n\geqslant N(\varepsilon )$

En sekvens som har en gräns sägs konvergera till ett tal , som skrivs som . $\{z_n\}$ $a$ $a$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}z_{n}=a$

Exempel

Inte varje avgränsad sekvens har en gräns. Om vi till exempel tar uppsättningen av reella tal med standardtopologi som ett mellanslag och som en sekvens , så kommer den inte att ha en gräns (dock kan den hitta övre och nedre gränser , det vill säga gränserna för dess undersekvenser - partiella gränser ). $x_n$ $x_n = (-1)^n$ $elva$

Se även

Anteckningar

↑ Detta innebär upprepning av siffror i notationen av ett tal i något system med fasta tal.
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 3. Theory of Limits // Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68-105. — 672 sid. — ISBN 5-482-00445-7 .