Radonomvandling

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 30 maj 2019; kontroller kräver 3 redigeringar .

Radontransformen är en integrerad transformation av en funktion av många variabler, besläktad med Fouriertransformen . Först introducerades i den österrikiske matematikern Johann Radons arbete 1917 [1] .

Radontransformens viktigaste egenskap är reversibilitet , det vill säga förmågan att återställa den ursprungliga funktionen från dess Radontransform.

2D Radon transform

Övervägande av Radontransformen är bekvämt att börja med det enklaste fallet av en funktion av två variabler, dessutom är det detta fall som är viktigast i praktiken.

Låt en funktion av två reella variabler, definierade på hela planet och avklinga tillräckligt snabbt i oändligheten (så att motsvarande felaktiga integraler konvergerar). Då är Radontransformen av en funktion funktionen $f(x,y)$ $f(x,y)$

R(s,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \ alfa )dz

(ett)

Radontransformen har en enkel geometrisk betydelse - det är integralen av en funktion längs en rät linje vinkelrät mot vektorn och passerar på ett avstånd (mätt längs vektorn , med motsvarande tecken) från ursprunget. ${\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ $s$ ${\vec {n}}$

Förhållandet mellan Radontransformen och Fouriertransformen. Konverteringsformeln

Betrakta den tvådimensionella Fouriertransformen av funktionen $f(x,y)$

F(k_{x},k_{y})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x, y)e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}dxdy

(2)

Det kan ses att exponenten i denna integral inte förändras om vi rör oss längs en rät linje vinkelrät mot vektorn , och ändras snabbast om vi rör oss längs denna vektor. Därför är det bekvämt att övergå till nya variabler. Beteckna , vi väljer nya variabler . Genom att göra en förändring av variabler i integralen får vi ${\vec {k}}=(k_{x},k_{y})$ ${\vec {k}}=(k_{x},k_{y})=\omega (\cos \alpha ,\sin \alpha )$ $s=x\cos \alpha +y\sin \alpha ,$ $z=-x\sin \alpha +y\cos \alpha$

F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{ \infty }f(s\cos \alpha -z\sin \alpha ,s\sin \alpha +z\cos \alpha )e^{-i\omega s}dz\right)ds

det är

F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}R(s,\alpha )ds

(3)

Således är den endimensionella Fouriertransformen av Radontransformen för en funktion inget annat än en $f(x,y)$ tvådimensionell Fouriertransform av funktionen . $f(x,y)$

Eftersom Fouriertransformen av funktionen existerar (detta är ett nödvändigt initialt antagande), så existerar även den inversa Fouriertransformen av funktionen . Med hänsyn till (3) kan vi dra slutsatsen att den omvända radontransformen också måste existera. $f(x,y)$ $F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )$

Inversionsformeln för den tvådimensionella Fouriertransformen är känd för att vara följande

f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2))}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{- \infty }^{\infty }F(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}.

Det är bekvämt att skriva om denna formel i polära koordinater :

f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2))}\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{0}^ {2\pi }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )\omega d\alpha d\omega

som, givet (3), ger formeln för den omvända radontransformen :

f(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0} ^{\infty }e^{i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}\ {\tilde {R))(\omega ,\alpha )\omega d\omega d\alpha

(fyra),

var . ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds$

Uttryck (4), förutom att vara ett av alternativen för att skriva den omvända radontransformen, bestämmer också metoden för rekonstruktion från dess projektioner , kallad av experter Fouriersyntesmetoden. I Fouriersyntesmetoden är det alltså först nödvändigt att bilda ett tvådimensionellt spektrum från ett stort antal endimensionella Fourierbilder av projektioner över ett polärt rutnät (i detta fall används centralsektionssatsen), och sedan utför den inversa tvådimensionella Fouriertransformen i det polära koordinatsystemet från . Det finns andra rekonstruktionsmetoder från [2] $f(x,y)$ $R(s,\alpha _{i})$ ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha _{i})$ ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )$ ${\tilde {R}}(\omega ,\alpha )$ $f(x,y)$ $R(s,\alpha )$

Central sektionssats

Låt oss tillämpa operationen av den direkta Fouriertransformen på Radontransformen av : $f(x,y)$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (sx\cos \alpha -y\sin \alpha )dxdy\right)e^{-i\omega s}ds$

Omorganisering av integrationsordningen och tillämpning av filtreringsegenskapen för deltafunktionen leder till formuleringen av centralsektionssatsen: $\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}\delta (sx\cos \alpha -y\sin \alpha )ds\right)f(x,y)dxdy=\int \limits _{-\infty }^{\ infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}dxdy$

Av den sista jämlikheten, i synnerhet, följer att Fouriertransformen av projektionen är spektrumet av funktionen längs den räta linjen som passerar genom origo i frekvensplanet i en vinkel . Fouriertransformen av projektionen är således den centrala delen av den tvådimensionella Fouriertransformen av funktionen . I litteraturen kallas denna egenskap för centralskiktet eller centralsektionssatsen. $R(s,\alpha )$ $f(x,y)$ $\alpha +\pi /2$ $f(x,y)$

Tillämpa Radon-transformen

I datorröntgentomografi mäter en rad detektorer absorptionen av en parallell stråle av strålning av föremålet som studeras (till exempel röntgenstrålar i medicinsk tomografi, seismiska vågor i geofysisk tomografi). I enlighet med Bouguer-Lambert-Beers lag är strålningsintensiteten som mäts av detektorn vid punkten s av stapeln proportionell mot , där absorptionskoefficienten för objektets substans för en given typ av strålning, och integralen tas med den räta linjen som går genom denna detektor och vinkelrätt mot detektorstången ( z är koordinaten på denna raka). Följaktligen ger logaritmen för intensiteten, tagen med motsatt tecken, radontransformen från absorptionsindexet. Genom att rotera systemet med strålningskälla och detektor runt objektet (medan det förblir i samma plan), eller genom att rotera själva objektet runt en axel vinkelrät mot planet som visas i figuren, erhålls en uppsättning strålsummor i den valda skivan av objektet. Sedan, med hjälp av en av rekonstruktionsmetoderna, är det möjligt att återställa fördelningen av absorptionsindex vid vilken punkt som helst av det undersökta objektplanet. ${\displaystyle \exp \left\{-\int \limits _{AA'}\rho (x,y)dz\right\))$ $\rho (x,y)$ $AA'$

Radontransformationer används på liknande sätt vid magnetisk resonanstomografi [3] .

Radontransform för en funktion av ett godtyckligt antal variabler

Radontransformen för en funktion av två variabler kan enkelt skrivas om i termer av en integral över hela utrymmet med hjälp av Dirac delta-funktionen :

R(s,{\vec {n)))=\int \delta ({\vec {n}}{\vec {r}}-s)f({\vec {r}})d{ \vec{r}}

(2)

Här är radievektorn från origo, är det tvådimensionella volymelementet och är enhetsvektorn, som kan parametreras som . Med hjälp av ändringen av variabler är det lätt att verifiera att definitionerna av radontransformen (1) och (2) är helt identiska. ${\vec {r}}=(x,y)$ $d{\vec {r}}=dxdy$ ${\vec {n}}$ ${\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$

Formel (2) är generaliserad till fallet med ett godtyckligt antal dimensioner, för detta behöver den inte ens skrivas om, det räcker för respektive förstå dimensionsradievektorn från origo, volymelementet i dimensionsutrymme och dimensionsenhetsvektorn. I princip kan en vektor parametriseras med vinklar i ett utrymme med valfritt antal dimensioner. Till exempel, i tredimensionellt rymden finns en parametrisering . ${\vec {r))$ $dV$ ${\vec {n}}$ $N$ $N$ $N$ ${\vec {n}}$ ${\vec {n}}=(\sin \theta \cos \alpha ,\sin \theta \sin \alpha ,\cos \theta )$

Den geometriska betydelsen av Radontransformen i det flerdimensionella fallet: integralen av funktionen längs hyperplanet , vinkelrät mot vektorn och passerar på avstånd från origo (tagen med ett minustecken om vinkelrät från origo till planet är motsatt riktad med vektorn ). ${\vec {n}}$ $s$ ${\vec {n}}$

Omkastning av den flerdimensionella radontransformen

I det flerdimensionella fallet är radontransformationen av en tillräckligt bra funktion också reversibel. Betrakta Fouriertransformen av med avseende på variabeln , dvs. $R(s,{\vec {n)))$ $s$

\int R(s,{\vec {n)))e^{-is\omega }ds

Med hjälp av formel (2) och egenskaperna för deltafunktionen får vi:

\int R(s,{\vec {n)))e^{-is\omega }ds=\int f({\vec {r)))e^{-i{\vec {r} }{\vec {n}}\omega }d{\vec {r}}

Notera nu att det finns en integral över hela det dimensionella rummet (här betyder integralen integralen över den dimensionella sfären, i synnerhet för , för ). Det följer att $\int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{N-1}d\omega \int d{\vec {n))$ $N$ $\int d{\vec {n))$ $(N-1)$ $N=2$ $\int d{\vec {n}}=\int \limits d\alpha$ $N=3$ $\int d{\vec {n}}=\int \limits d\phi \cos \theta d\theta$

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1}d\omega }{(2\pi )^{N))}\int d{\vec {n}}e^{i({\vec {r}}'-{\vec {r}})\omega {\vec {n}}}=\delta ({\vec {r}}-{\ vec{r}}')

Med hjälp av denna representation av vektordelta-funktionen får vi inversionsformeln:

f({\vec {r}}')=\int d{\vec {n}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega ^{N-1} d\omega }{(2\pi )^{N}}}e^{i{\vec {r}}'{\vec {n}}\omega }\int dse^{-is\omega }R( s,{\vec {n)))

Se även

Anteckningar

↑ J. Radon. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten // Berichte Sächsische Akademie der Wissenschaften , Bande 29, s. 262-277, Leipzig, 1917.
↑ Kapitel 1 (nedlänk) . Hämtad 15 oktober 2012. Arkiverad från originalet 18 september 2010. (obestämd)
↑ Deans SR, Roderick S. Radontransformen och några av dess tillämpningar. — New York: John Wiley & Sons, 1983. — 289 sid. — ISBN 047189804X .

Litteratur

Gruzman I. S. Matematiska problem med datortomografi // Soros Educational Journal nr 5, 2001.
Deans SR Radontransformen och några av dess tillämpningar. — New York: John Wiley & Sons, 1983.
Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32). - Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. - ISBN 0-89871-493-1 .
Natterer F., Wubbeling F. Mathematical Methods in Image Reconstruction. - Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. - ISBN 0-89871-472-9 .

Integrerade transformationer
Abel förvandla Bessel förvandlas Bushman förvandla Gegenbauer transformation Hilbert förvandla Kontorovich-Lebedev förvandling Laplace transformation Meyer förvandla Mehler-Fock förvandling Mellin transform Nerain transformation Radonomvandling Stieltjes förvandlas Fouriertransform Hankel transformation Hartley transformation