Transformation av geodetiska koordinatsystem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 september 2020; kontroller kräver 8 redigeringar .

Inom geodesi uppstår uppgiften att övergå mellan olika koordinatsystem från förekomsten av flera koordinatsystem som har uppstått över hela världen över tiden. Användningen av olika koordinatsystem för att lösa praktiska problem inom geodesi , kartografi , navigering och i geografiska informationssystem är oundviklig. Det finns flera typer av koordinattransformationer: övergång mellan olika koordinatformat , övergång mellan olika koordinatsystem och kartprojektioner och datumtransformation . Alla dessa typer av transformation kommer att diskuteras i den här artikeln. [ett]

Ändra format och enheter

Att ange en geografisk plats innebär vanligtvis att förmedla platsens latitud och longitud . Numeriska värden för latitud och longitud kan representeras i flera olika typer av enheter och format: [2]

sexagesimal : grader, minuter och sekunder: 40° 26′ 46″ N 79° 58′ 56″ W

grader och decimalminuter: 40° 26.767′ N 79° 58.933′ W

decimalgrader : 40,446° N 79,982° W

Det är 60 minuter i en grad och 60 sekunder i en minut. Därför kan du använda formeln för att konvertera från grader/minuter/sekunder till decimalgrader:

decimalgrader=grader+minuter/60+sekunder/3600.

För att konvertera tillbaka från formatet decimalgrader till formatet grader/minuter/sekunder, kan du använda formlerna:

grader = [decimalgrader]

minuter =[60*(decimalgrader-grader)]

sekunder =3600*(decimalgrader-grader)-60*minuter

där notationen [ x ] betyder att du måste ta heltalsdelen av x och hänvisa till " hyllfunktionen ".

Övergång mellan olika koordinatsystem

En transformation av koordinatsystem är en övergång från ett koordinatsystem till ett annat, med båda koordinatsystemen baserade på samma geodetiska datum. Ofta är transformationsuppgiften att byta från ett geodetiskt koordinatsystem till rektangulära koordinater, eller att ändra från en kartprojektion till en annan.

Från ett geodetiskt koordinatsystem till ett rektangulärt

De rektangulära koordinaterna för punkter i rymden kan beräknas från de kända geodetiska koordinaterna för dessa punkter (latitud B, longitud L, höjd H) med hjälp av formlerna: [3]

{\begin{aligned}X&=\left(N(B)+H\right)\cos {B}\cos {L}\\Y&=\left(N(B)+H\right)\ cos {B}\sin {L}\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(B)+H\right)\sin {B}\end {Justerat}}

var

N(B)={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}B+b^{2}\sin ^{2}B}}} ={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}B}}},

där och är ekvatorial (halvstor axel) respektive polär radie (halv axel). är kvadraten på ellipsoidens första excentricitet . krökningsradien för den första vertikalen är avståndet längs normalen till ellipsoiden från skärningspunkten mellan ellipsoidens yta och normalen till oZ-axeln (fig. 1). $a$ $b$ ${\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2))))$ $\,N(B)$

Från kartesisk till geodesisk

När man flyttar från rektangulära rumsliga koordinater till ett geodetiskt koordinatsystem (som WGS84 ), behöver geodetiska latituder B och höjder H ofta beräknas iterativt, det vill säga genom att utföra successiva approximationer. Vad gäller longituderna L så beräknas de på vanligt sätt.

Det finns flera metoder för att beräkna geodetiska breddgrader och höjder, vi kommer att överväga två av dem.

Newton-Raphson-metoden

Följande irrationella Bowring-ekvation [4] för geodetisk latitud löses med den iterativa metoden Newton-Raphson : [5] [6]

$\kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+(1-e^{2})Z^{2}\kappa ^{2 }}}}=0,$

var , ${\displaystyle p={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$

Latitud B kan hittas från ekvationen . $\kappa ={\frac {p}{Z}}\tan(B)$

Höjd H beräknas som:

$H=e^{-2}(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\ kappa ^{2}}}.$

En iteration kan konverteras till följande form:

$\kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3)) {c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i} ^{3}}{c_{i}-p^{2}}},$

var $c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\ höger)^{3/2}}{ae^{2}}},$ $\kappa _{0}=\left(1-e^{2}\right)^{-1}.$

En konstant är ett bra startvärde för en iteration när . Bowring visade att i sådana fall ger den första iterationen redan en tillräckligt exakt lösning. Han använde ytterligare trigonometriska funktioner i sin ursprungliga formulering. $\,\kappa _{0}$ $H\approx 0$

Ferrari beslut

Ovanstående ekvation för kan lösas med Ferrari-metoden : [7] [8] $\kappa$

${\begin{aligned}\zeta &=(1-e^{2})z^{2}/a^{2},\\[6pt]\rho &=(p^{2}/ a^{2}+\zeta -e^{4})/6,\\[6pt]s&=e^{4}\zeta p^{2}/(4\rho ^{3}a^{2 }),\\[6pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2))))),\\[6pt]u&=\rho (1+t +1/t),\\[6pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta )),\\[6pt]w&=e^{2}(u+v- \zeta )/(2v),\\[6pt]\kappa &=1+e^{2}({\sqrt {u+v+w^{2}}}+w)/(u+v). \end{aligned}}$

Tillämpar Ferraris beslut

Det finns ett antal metoder och algoritmer, men den mest exakta, enligt Zhu [9] , är följande sekvens etablerad av Heikkinen [10] . Det antas att de geodetiska parametrarna är kända.

${\begin{matrix}r&=&{\sqrt {X^{2}+Y^{2))}\\e'^{2}&=&(a^{2}-b^{ 2})/b^{2}\\F&=&54b^{2}Z^{2}\\G&=&r^{2}+(1-e^{2})Z^{2}-e^ {2}(a^{2}-b^{2})\\c&=&{\frac {e^{4}Fr^{2}}{G^{3}}}\\s&=&{ \sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c))))\\P&=&{\frac {F}{3\left(s+{\frac {1}{ s}}+1\höger)^{2}G^{2}}}\\Q&=&{\sqrt {1+2e^{4}P}}\\r_{0}&=&{\frac {-(Pe^{2}r)}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+1/Q\right)-{ \frac {P(1-e^{2})Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pr^{2}}}\\U&= &{\sqrt {(re^{2}r_{0})^{2}+Z^{2))}\\V&=&{\sqrt {(re^{2}r_{0})^{ 2}+(1-e^{2})Z^{2}}}\\z_{0}&=&{\frac {b^{2}Z}{aV}}\\H&=&U\vänster (1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\B&=&\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{r} }\right]\\L&=&\arctan 2[Y,X]\end{matris}}$

Notera: arctan2 [Y, X] är den bakre tangenten till de fyra kvadranterna.

Power series

För liten e 2 utgår kraftserien från ${\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i))$

\alpha _{0}=1;

\alpha _{1}={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2))));

\alpha _{2}={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2))}+2a^{2}p^{2)){2 (Z^{2}+p^{2})^{2}}}.

Övergång från geodetiskt koordinatsystem till ENU och vice versa

Omvandlingen från geodetiska koordinater till ENU topocentriska koordinater består av två steg:

Konvertera koordinater från ett geodetiskt system till ett rektangulärt.
Koordinatkonvertering från rektangulärt till topocentriskt ENU-koordinatsystem.

Konvertera koordinater från rektangulära till topocentriska ENU-koordinater

För att omvandla rektangulära koordinater till topocentriska koordinater behöver du känna till startpunkten för det topocentriska koordinatsystemet, vanligtvis ligger den vid någon observationspunkt. Om observationen görs vid punkten , och det observerade objektet är vid , har radievektorn för denna riktning i ENU-koordinatsystemet formen: $\{X_{r},Y_{r},Z_{r}\}$ $\{X_{p},Y_{p},Z_{p}\}$

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin L_{r}&\cos L_{r}&0\\-\ sin B_{r}\cos L_{r}&-\sin B_{r}\sin L_{r}&\cos B_{r}\\\cos B_{r}\cos L_{r}&\cos B_ {r}\sin L_{r}&\sin B_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\ Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}

Transformation av koordinater från ENU topocentriskt koordinatsystem till rektangulärt.

Genom invers transformation av koordinater från ett rektangulärt system får vi ett topocentriskt koordinatsystem:

${\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \ phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \end{bmatrix}}{\ start{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}$

Växla till en annan kartprojektion

Att konvertera koordinater och positioner på kartan mellan olika kartprojektioner , bundna till samma geodetiska yta , kan göras antingen med formler för direkt övergång från en projektion till en annan, eller först omvandlas projektionen till ett mellanliggande koordinatsystem, som rektangulärt, och redan från det in i projektionen . Formlerna som används kan vara komplexa, i vissa fall har transformationen inte en sluten formlösning, och ungefärliga metoder måste användas. Vanligtvis används datorprogram för att utföra koordinattransformationsuppgifter, till exempel med programmet GEOTRANS som stöds av DoD och NGA. [elva] $A$ $B$

Datumtransformationer

Transformationer mellan datum kan göras på olika sätt. Det finns transformationer som låter dig göra en direkt övergång från de geodetiska koordinaterna för en datum till de geodetiska koordinaterna för en annan datum. Det finns mindre direkta övergångar som konverterar geodetiska koordinater till geocentriska (ECEF), konverterar geocentriska koordinater från en datum till en annan, och sedan konverterar en annan datums geocentriska koordinater tillbaka till geodetiska. Det finns också projektionstransformationer som låter dig göra en direkt övergång från ett (datum, projektion) par till ett annat (datum, projektion) par.

Projektionstransformationer

Projektionstransformationer gör att du kan göra en direkt övergång från koordinaterna på kartan för ett (kartprojektion, datum) par till koordinaterna på kartan för ett annat (kartprojektion, datum) par. Ett exempel är NADCON-metoden för att konvertera från 1927 års nordamerikanska datum (NAD) till 1983 års NAD datum [12] . High Accuracy Reference Network (HARN), en högprecisionsversion av NADCON-transformerna, har en noggrannhet på cirka 5 centimeter. National Transformation version 2 ( NTv2 ) är den kanadensiska versionen av NADCON till övergång mellan NAD 1927 och NAD 1983 . HARN-metoder är också kända som NAD 83/91 och High Precision Grid Networks (HPGN) [13] . Därefter antog Australien och Nya Zeeland själva NTv2-formatet för att skapa projektionstransformationsmetoder för övergångar mellan sina egna lokala datum.

Liksom transformationer med multipla regressionsekvationer använder projektionsmetoder lågordningsinterpolation för att transformera kartkoordinater, men i två utrymmen istället för tre. NOAA tillhandahåller programvara (som en del av NGS Geodetic Toolkit) för att producera NADCON-transformationer. [14] [15]

Molodenskys förvandling

Molodensky-transformationen låter dig göra en direkt övergång mellan de geodetiska koordinaterna för olika datum utan att behöva en mellanliggande övergång till geocentriska koordinater. [16] Det kräver tre förskjutningar mellan koordinatsystemens centra och skillnader mellan halvstoraxlarna och kompressionsparametrarna för referensellipsoiderna.

Molodensky-transformen används av National Geospatial-Intelligence Agency (NGA) i deras vitbok TR8350.2, såväl som i det NGA-stödda GEOTRANS-programmet. [17] Molodensky-transformationen var populär före tillkomsten av moderna datorer, och metoden är en del av många geodetiska program.

Flera regressionsekvationer

Datumtransformationer med empiriska multipla regressionsmetoder utformades för att uppnå större noggrannhet för små geografiska regioner än de vanliga Molodensky-transformationerna. Transformationsdata används för att omvandla lokala datum som genereras för kontinenter eller mindre regioner till globala datum som WGS 84 . [18] NIMA TM 8350.2, Appendix D [19] listar transformationer som använder multipla regressionsekvationer från flera lokala datum till WGS 84 , med en noggrannhet på cirka 2 meter. [tjugo]

Metoden med multipla regressionsekvationer tillåter direkt transformation av geodetiska koordinater utan mellanliggande konvertering till geocentriska koordinater. De geodetiska koordinaterna i den nya datum B modelleras som polynom upp till nionde graden i de geodetiska koordinaterna för den ursprungliga datum A. Till exempel kan inkrementet dekomponeras som (endast kvadratisk expansion visas): $\phi _{B},\lambda _{B},h_{B}$ $\phi _{A},\lambda _{A},h_{A}$ $\phi _{B}$

$\Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2} +\cdots$

var

${\begin{aligned}a_{i}&={\mbox{parametrar anpassade av multipel regression}}\\U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&= K (\lambda _{A}-\lambda _{m})\\K&={\mbox{skalfaktor}}\\\phi _{m},\lambda _{m}&={\mbox{datum start }}A\\\end{aligned}}$

för och liknande ekvationer byggs. Med ett tillräckligt antal koordinatpar (A, B) för punkter i båda datumen, för bra statistik, används multipla regressionsmetoder för att passa parametrarna för dessa polynom. Polynomen, tillsammans med de anpassade koefficienterna, bildar de multipla regressionsekvationerna. $\Delta \lambda$ $\Delta h$

Helmert transformation

Att använda Helmert-transformen när man går från geodetiska koordinater för ett datum till geodetiska koordinater för ett datum sker i tre steg: $A$ $B$

1 Konvertera geodetiska koordinater för datumet till geocentriska; $A$

2 Tillämpa Helmert-transformen, med lämpliga transformationsparametrar för , för att gå från geocentriska datumkoordinater till geocentriska datumkoordinater ; $A till B$ $A$ $B$

3 Konvertera geocentriska koordinater till geodetiska koordinater för ett datum . $B$

För geocentriska XYZ-koordinater har Helmert-transformen formen: [21]

${\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\ c_{z}\end{bmatrix}}+(1+s\ gånger 10^{-6})\cdot {\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&- r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix} }}.$

Helmert-transformen är en transform med sju element med tre offsetparametrar , tre rotationsparametrar och en skalparameter . Helmert-transformen är en ungefärlig metod som endast kan anses korrekt när transformationsparametrarna är små jämfört med värdena för vektorerna i det geocentriska koordinatsystemet. Under dessa förhållanden kan omvandlingen anses reversibel. [22] ${\displaystyle c_{x},c_{y},c_{z))$ ${\displaystyle r_{x},r_{y},r_{z))$ $s$

Helmert-transformen med fjorton parametrar, med ett linjärt tidsberoende för varje parameter, kan användas för att observera tidsvariationer av geografiska koordinater på grund av geomorfologiska processer såsom kontinentaldrift [23] och jordbävningar . [24] Den har konverterats till programvara som HTDP-verktyget (Horizontal Time Dependent Positioning) i US NGS-programvaran. [25]

Molodensky-Badekas transformation

För att frikoppla Helmert-transformens offset och rotationer kan ytterligare tre parametrar användas för att få ett nytt XYZ-rotationscentrum närmare koordinaterna som transformeras. Denna transformation med tio parametrar kallas Molodensky-Badekas-transformationen och bör inte förväxlas med den enklare Molodensky- transformationen .

Som när du använder Helmert-transformen, består användningen av Molodensky-Badekas-transformen av tre steg:

Konvertering av de geodetiska koordinaterna för ett datum till geocentriskt. $A$
Att tillämpa Molodensky-Badekas-transformationen, med lämpliga transformationsparametrar för , för att gå från geocentriska datumkoordinater till geocentriska datumkoordinater . $A till B$ $A$ $B$
Konvertera geocentriska koordinater till geodetiska koordinater för ett datum . $B$

Transformationen har formen [26] :

{\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\ Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{ bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix} X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+ \Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{ 0}\end{bmatrix}}.

var är ursprunget för omkastningen och skaltransformationen, och är skalfaktorn.

(X_{A}^{0},~Y_{A}^{0},~Z_{A}^{0})

\Delta S

Molodensky-Badekas-transformationen används för att konvertera lokala geodetiska datum till globala datum såsom WGS 84 . Till skillnad från Helmert-transformationen är Molodensky-Badekas-transformationen irreversibel på grund av att ursprunget för omkastningen hänvisar till det ursprungliga datumet.

Se även

Litteraturreferenser

↑ Roger Foster Dan Mullaney Grundläggande geodesi Artikel 018: Omvandlingar och transformationer (4 mars 2014). Hämtad 9 december 2019. Arkiverad från originalet 27 november 2020. (obestämd)
↑ Great Britain Ordnance Survey. koordinattransformator . Hämtad 9 december 2019. Arkiverad från originalet 12 augusti 2013. (obestämd)
↑ B. Hofmann-Wellenhof H. Lichtenegger J. Collins. GPS - teori och praktik. — 282 sid. — ISBN 3-211-82839-7 .
↑ Bowring BR Transformation från rumsliga till geografiska koordinater // Surv. Rev.. - 1976. - V. 23 , nr 181 . - S. 323-327 . - doi : 10.1179/003962676791280626 .
↑ Fukushima, T. Snabb transformation från geocentriska till geodetiska koordinater // J. Geod. : journal. - 1999. - Vol. 73 , nr. 11 . - s. 603-610 . - doi : 10.1007/s001900050271 . (Bilaga B)
↑ Sudano, JJ (1997). "En exakt omvandling från ett jordcentrerat koordinatsystem till latitud, longitud och höjd". doi:10.1109/NAECON.1997.622711
↑ Direkt transformation från geocentriska till geodetiska koordinater // Vermeille, HH J. Geod .. - 2002. - T. 76 . - S. 451-454 . - doi : 10.1007/s00190-002-0273-6 .
↑ Irene PoloBlanco Gonzalez-Vega. En symbolisk analys av Vermeille och Borkowski polynom för att transformera 3D kartesiska till geodetiska koordinater // J. Geod.. - 2009. - V. 83 . - S. 1071-1081 . - doi : 10.1007/s00190-009-0325-2 .
↑ J.Zhu. Konvertering av jordcentrerade jordfixerade koordinater till geodetiska koordinater // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. - 1994. - T. 30 . - S. 957-961 . - doi : 10.1109/7.303772 .
↑ M.Heikkinen. Geschlossene formeln zur berechnung räumlicher geodätischer koordinaten aus rechtwinkligen koordinaten // Z. Vermess .. - 1982. - T. 107 . - S. 207-211 .
↑ MSP GEOTRANS 3.3 (Geografisk översättare) (nedlänk) . NGA: Branch Coordinate Systems Analysis. Hämtad 9 december 2019. Arkiverad från originalet 15 mars 2014. (obestämd)
↑ ArcGIS Hjälp 10.1: Grid-baserade metoder . ESRI. Hämtad 9 december 2019. Arkiverad från originalet 4 december 2019. (obestämd)
↑ NADCON/HARN Datum ShiftMethod . bluemarblegeo.com. Datum för åtkomst: 9 december 2019. Arkiverad från originalet den 6 mars 2014. (obestämd)
↑ NADCON - Version 4.2 . NOAA. Hämtad 9 december 2019. Arkiverad från originalet 6 maj 2021. (obestämd)
↑ Donald M. Mulcare. NGS Toolkit, del 8: The National Geodetic Survey NADCON Tool (inte tillgänglig länk) . Professional Surveyor Magazine. Arkiverad från originalet den 6 mars 2014. (obestämd)
↑ ArcGIS Hjälp 10.1: Ekvationsbaserade metoder . ESRI. Hämtad 9 december 2019. Arkiverad från originalet 4 december 2019. (obestämd)
↑ Datumomvandlingar . National Geospatial-Intelligence Agency. Hämtad 9 december 2019. Arkiverad från originalet 9 oktober 2014. (obestämd)
↑ Användarhandbok om datumtransformationer som involverar WGS 84(3:e uppl.), Specialpublikation nr. 60, Monaco: International Hydrographic Bureau, augusti 2008 , < https://web.archive.org/web/20160412230130/http://www.iho.int/iho_pubs/standard/S60_Ed3Eng.pdf > . Hämtad 10 januari 2017. .
↑ AVDELNING AV FÖRSVARSVÄRLDENS GEODETISKA SYSTEM 1984 Dess definition och relationer med lokala geodetiska system . National Imagery and Mapping Agency (NIMA). Hämtad 9 december 2019. Arkiverad från originalet 11 april 2014. (obestämd)
↑ Taylor Chuck. Datumtransformationer med hög noggrannhet . Datum för åtkomst: 9 december 2019. Arkiverad från originalet 4 januari 2013. (obestämd)
↑ Ekvationer som används för datumtransformationer . Landinformation Nya Zeeland (LINZ). Datum för åtkomst: 9 december 2019. Arkiverad från originalet den 6 mars 2014. (obestämd)
↑ Geomatics Guidance Note Number 7, del 2 Koordinatomvandlingar och -transformationer inklusive formler (länk ej tillgänglig) . International Association of Oil and Gas Producers (OGP). Arkiverad från originalet den 6 mars 2014. (obestämd)
↑ Paul Bolstad. GIS Fundamentals, 4:e upplagan . — Atlasböcker. — 93 sid. - ISBN 978-0-9717647-3-6 .
↑ Tillägg till NIMA TR 8350.2: Implementering av World Geodetic System 1984 (WGS 84) Referensram G1150 . National Geospatial-Intelligence Agency. Hämtad 9 december 2019. Arkiverad från originalet 11 maj 2012. (obestämd)
↑ HDDP - Horisontell tidsberoende positionering . US National Geodetic Survey (NGS). Hämtad 9 december 2019. Arkiverad från originalet 25 november 2019. (obestämd)
↑ Molodensky-Badekas (7+3) Transformationer . National Geospatial Intelligence Agency (NGA). Hämtad 9 december 2019. Arkiverad från originalet 19 juli 2013. (obestämd)