Primär ideal
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 augusti 2013; verifiering kräver 1 redigering .I kommutativ algebra kallas en ideal Q för en kommutativ ring A primär om den inte sammanfaller med hela ringen, och för vilket element Q som helst av formen xy är antingen x eller y n för någon n>0 också ett element av F. Till exempel, i ringen av heltal Z , är ett ideal primtal om och endast om det har formen ( p n ), där p är ett primtal .
Primära ideal är viktiga i teorin om kommutativa ringar eftersom alla ideal för en Noether-ring har en primär nedbrytning, det vill säga det kan skrivas som skärningspunkten mellan ett ändligt antal primära ideal. Detta resultat är känt som Lasker-Noether-satsen .
Primära ideal betraktas vanligtvis i teorin om kommutativa ringar, så i följande exempel antas ringen vara kommutativ och med enhet.
Exempel och egenskaper
- Alla prime ideal är primära.
- Ett ideal är primtal om och endast om någon nolldelare i kvotringen med avseende på den är nilpotent .
- Om Q är ett primärt ideal, så är dess radikala P enkel. I detta fall kallas Q P -primär.
- Om P är ett maximalt primideal, så är vilken potens av P som helst ett primärideal. Men inte alla P -primära ideal är potenser av P , till exempel är idealet ( x , y 2 ) P -primärt för P = ( x , y ) i ringen k [ x , y ], men är inte en kraften hos P.
- Om A är en Noether-ring och P är ett primärideal, så är kärnan i avbildningen från A till dess lokalisering av det ideala P skärningspunkten mellan alla P -primära ideal. [ett]
Anteckningar
- ↑ Atiyah-McDonald, följd 10.21