Projektiv modul

En projektiv modul är ett av de grundläggande begreppen i homologisk algebra . Ur kategoriteoretisk synvinkel är projektiva moduler ett specialfall av projektiva objekt .

Definition

En modul över en ring (vanligtvis anses vara associativ med ett identitetselement) kallas projektiv om det för varje homomorfism och epimorfism existerar en homomorfism så att , dvs. det givna diagrammet är kommutativt: $P$ $A$ $g\colon P\to M$ $f\kolon N\till M$ $h\colon P\to N$ $g=fh$

Det enklaste exemplet på en projektiv modul är en gratis modul . Låt oss faktiskt vara delar av grunden för modulen och . Eftersom det är en epimorfism, kan man hitta sådan att . Sedan kan det bestämmas genom att ställa in dess värden på basvektorerna som . $F$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots$ $F$ $g(x_{i})=y_{i}$ $f$ $z_{i}$ $f(z_{i})=y_{i}$ $h$ ${\displaystyle h(x_{i})=z_{i))$

För polynomringar i flera variabler över ett fält är alla projektiva moduler gratis.

I allmänhet är detta inte fallet, även om det är lätt att bevisa satsen att en modul är projektiv om och bara om det finns en modul så att den direkta summan är fri. Faktum är att om det finns en komponent av den direkta summan , som är en fri modul, och är en homomorfism, så är det också en homomorfism ( är projektionen av den direkta summan på den första summan ), och eftersom vi vet att fria moduler är projektiva, finns det en homomorfism så att , därav , var är inkluderingshomomorfismen , därav $P$ $K$ $F=P\oplus K$ $P$ $F$ $g\colon P\to M$ $gp_{1}\colon F\to M$ $p_{1}$ $F$ $P$ $h_{1}\colon F\to N$ ${\displaystyle gp_{1}=fh_{1))$ $gp_{1}i_{1}=fh_{1}i_{1}$ $i_1$ $P\to F$

g=fh_{1}i_{1}\colon P\to M

Omvänt, låt vara en projektiv modul. Varje modul är en homomorf bild av en fri modul. Låt vara motsvarande epimorfism. Då kommer den identiska isomorfismen att vara lika för vissa , eftersom den är projektiv. Vilket element som helst kan sedan representeras som $P$ $g\colon F\to P$ $id\colon P\to P$ $id=gh$ $h\colon P\to F$ $P$ $F$

x=hg(x)+(x-hg(x))\in \mathrm {Im} \,h\oplus \mathrm {Ker} \,g

var är isomorft . $\mathrm {Im} \,h$ $P$

Egenskaper

$P$ är projektiv om och endast om för någon epimorfism den inducerade homomorfismen är en epimorfism. $f\kolon N\till M$ $f_{*}\colon {\text{Hom}}(P,N)\to {\text{Hom}}(P,M)$
$P$ är projektiv om och endast om den mappar en kort exakt sekvens till den exakta sekvensen . $0\to A\to B\to C\to 0$ $0\to {\text{Hom}}(P,A)\to {\text{Hom}}(P,B)\to {\text{Hom}}(P,C)\to 0$
En direkt summa av moduler är projektiv om och endast om varje term är projektiv.

Se även

Litteratur

Kartan A., Eilenberg S. Homologisk algebra. — M. : IL, 1960
McLane S. Homology. - M . : Mir, 1966 ..