Projektivt objekt

Ett projektivt objekt är en kategoriteoretisk generalisering av begreppet projektiv modul .

Projektiva objekt i Abelska kategorier används i stor utsträckning i homologisk algebra . De dubbla objekten till projektiva är injektiva objekt .

Definition

Ett objekt i en kategori kallas projektivt om det för en godtycklig epimorfism och morfism finns en morfism för vilken , det vill säga ett diagram: $P$ ${\mathcal {C}}$ $e\colon E\twoheadrightarrow X$ $f\colon P\to X$ ${\overline {f}}:P\to E$ $e\circ {\overline {f}}=f$

är kommutativ .

Egenskaper

I en lokalt liten kategori är ett objekt projektivt endast om funktorn ${\mathcal {C}}$ $P$ $\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$

bevarar epimorfismer . [ett]

Låt vara en lokalt liten Abelisk kategori . I det här fallet är ett objekt ett projektivt objekt if ${\mathcal {C}}$ $P\in {\mathcal {C}}$ $\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab}$

är en exakt funktor , där är kategorin abelska grupper .

{\mathbf {Ab))

Samprodukten av två projektiva objekt är ett projektivt objekt. [2]
Ett tillbakadragande av ett projektivt objekt är projektivt. [3]

Exempel

Påståendet att alla mängder är projektiva objekt är ekvivalent med valets axiom .

Projektiva objekt i kategorin Abeliska grupper är fria Abelska grupper.

Låt vara en ring med enhet. Tänk på den (Abeliska) kategorin vänstermoduler . Projektiva objekt i är projektiva vänster R-moduler . I synnerhet är det ett projektivt objekt i $R$ ${\mathcal {M}}_{R}$ $R$ ${\mathcal {M}}_{R}$ $R$ ${\mathcal {M}}_{R}.$

Anteckningar

↑ Mac Lane, Saunders. Kategorier för arbetande matematiker (neopr.) . — För det andra. - New York, NY: Springer New York, 1978. - S. 114. - ISBN 1441931236 .
↑ Awodey, Steve. Kategoriteori (engelska) . — 2:a. - Oxford: Oxford University Press , 2010. - P. 72. - ISBN 9780199237180 .
↑ Awodey, Steve. Kategoriteori (engelska) . — 2:a. - Oxford: Oxford University Press , 2010. - P. 33. - ISBN 9780199237180 .