Proportionering ( tyska Proportionierung , från latin pro-portio - ratio, dimension) är ett sätt att harmonisera en form som bygger på jämlikheten mellan de kvantitativa förhållandena mellan dess delar. Proportionalitet är likheten (konstansen) av kvoterna mellan två eller flera variabler . I matematik är en andel ett sådant förhållande (beroende) av kvantiteter att när en storhet ökar eller minskar flera gånger (fördubblas, tredubblas, halveras, ...), ökar eller minskar en annan med samma mängd. Till exempel, 1 : 2 = 3 : 6. Förhållandet mellan sådana storheter kallas proportionalitetskoefficienten eller proportionalitetskonstanten [1] .
I teorin om konst och konstnärlig praktik har en stabil definition utvecklats: "Proportion är ett regelbundet förhållande mellan storlekarna på delar av ett konstverk sinsemellan, såväl som varje del med verket som helhet" [2] .
Inom kulturfilosofin betraktas detta begrepp mer allmänt som ett sätt att etablera en optimal och holistisk formell struktur med hjälp av metoden för kvantitativ koordinering av delar och helhet, men särskilj detta begrepp från kategorin meningsfull integritet - komposition [3] .
I arkitekturteorin används tvärtom en snävare definition: proportion är förhållandet mellan längden, bredden och höjden på en byggnad, fasad eller dess delar. Den teoretiska studien av proportioner i arkitektur är känd som teorin om proportioner [4] .
Begreppet proportionering i den klassiska konstens historia
En ganska komplex teori om proportioner fanns i det forntida Egypten , inte bara inom matematiken, utan även inom konsten [5] . Från de egyptiska prästerna ärvde de gamla grekerna och romarna den matematiska teorin om proportioner. Det är allmänt accepterat att det första grekiska ordet "analogi" ( annan grekiska ἀναλογία ), som ordagrant betyder "återförhållande", ersattes av den latinska analogen av lat. proportio romersk talare Cicero .
Pythagoras studier gjorde det möjligt att skilja på innehållet i begreppen "proportionalitet" och "proportionalitet". Den antika romerske arkitekten Vitruvius i avhandlingen " Tio böcker om arkitektur " (13 f.Kr.) kallad "enkel proportionalitet", eller den metriska normen, ordet "symmetri" som symmetri och regelbunden upprepning, rytmisk eller dynamisk, organisation av kompositionen element - proportion [6] . Vitruvius lade till detta begreppet modus ( lat. modus - mått, storlek, utsträckning, position). Modalitet, eller modalitet, är konsistensen av alla delar av formuläret baserat på något element, oftast modulen (den minsta delen tas som en måttenhet). Modalitet ger den proportionella strukturen en känslomässig färgning, en viss tonalitet (i den moderna teorin om harmoni utvidgas dessa begrepp till färg och ljudrelationer).
Praktiska metoder och tekniker för proportionering bygger på distinktionen mellan begreppen "kvot" och "proportion". Förhållandena mellan kvantiteter eller delar av en helhet till varandra är av olika slag. De enklaste är multipler uttryckta som heltal. Till exempel förhållandet mellan sidorna i en kvadrat (1:1) eller en rektangel som består av två kvadrater (1:2). Irrationella relationer uttrycks med en oändlig bråkdel. Proportionering i teorin om harmoni, som i matematik, hänvisar till likheten mellan två eller flera förhållanden. Följaktligen är den bästa proportionen den där förhållandena mellan delarna och varje del till helheten är lika. Det kallas det gyllene snittet , eller gudomlig proportion ( lat. Sectio Aurea; Proportia Divina ).
Den antika grekiske filosofen Platon (ca 427-347 f.Kr.) nämnde den geometriska metoden att fördubbla arean av en kvadrat genom att bygga en större kvadrat på dess diagonal. Den andra kvadraten innehåller fyra "halvor" av den första, därför är dess yta dubbelt så stor [7] . Denna enklaste konstruktion innehåller en viktig regelbundenhet. Diagonalen för en kvadrat är en irrationell storhet. Om vi tar sidan av en kvadrat som 1, så är dess diagonal lika med eller 1,414 ... Ett system av mått baserat på en kvadrat och dess diagonal bär alltså dualitet, en polyfonisk princip för relationer mellan enkla heltal och irrationella tal.
I den antika konstens historia är termen "fyrkantiga figurer" känd (( forngrekiska τετραγωνος ). Den antika romerska författaren Plinius den äldre (23-79 e.Kr.) kallade bronsstatyerna av den argiviska skolan för "ser fyrkantiga" ( lat. signa quadrata ) , i synnerhet de berömda " Dorifor " och " Diadumen " av skulptören Polykleitos... Samtidigt hänvisade han till encyklopedisten Mark Terentius Varro (116-27 f.Kr.), och antydde att ordet "torg" kan inte indikera arten av silhuetten av statyn, men metoden för proportionering, som anges i det teoretiska arbetet av Polykleitos " Canon " (verket har inte bevarats) [8] .
Statyerna av idrottare i bilden av Polykleitos ser verkligen "fyrkantiga" ut (i en annan översättning, "vida proportioner"). När man analyserar deras proportioner visar det sig att modulen i figuren är sidan av torget, vars diagonal i sin tur fungerar som sidan av den större torget, etc. Som ett resultat, alla delar av statylinjen upp proportionellt i systemet med "parmått": rationella och irrationella relationer. Så höjden på hela figuren är uppdelad i två, fyra och åtta delar (huvudet på figuren är 1/8 av höjden). Men under plastisk rörelse (atleten vilar på ett ben, det andra benet är böjt i knäet och bakåt), uppstår irrationella relationer. Om vi tar som en enhet (sidan av en liten kvadrat) den övre delen av figuren (oavsett dess faktiska storlek) - huvudet och bålen upp till höftbenskammen (på vilken de sneda musklerna ligger) - som en enhet, då blir den nedre delen av figuren (bäckengördel och stödben) lika med 1,618 (sidan av den större kvadraten). Följaktligen är hela höjden på figuren 2,618. Dessa relationer är förbundna med mönstret av "det gyllene snittet ", upptäckt av de gamla egyptierna och som är universellt [9] .
Det bör noteras att referenser till påstått oföränderliga, mest harmoniska kanoniska värden som ofta finns i populärlitteraturen inte har tillräckliga vetenskapliga motiveringar. Mätningarna av forntida statyer, på vilka sådana teorier är baserade, särskilt de som ges i de klassiska studierna av A. Zeising : "Om människokroppens proportioner ..." (1854) [10] och "Estetisk forskning" (1854 ) ) [11] , har en slumpmässig, föränderlig karaktär och gjorda "mycket slarvigt" [12]
Slutsatser om de absoluta och oföränderliga övertonstalen som antas finnas i framstående konstverk är värdelösa av flera skäl. För det första är de mest framstående forntida statyerna inte kopior, utan de senaste och ungefärliga kopiorna av originalen som inte har överlevt, som skiljer sig mycket i detaljer, eftersom mästarna i de romerska och neo- attiska skolorna inte såg originalen och endast förlitade sig på ungefärliga litterära beskrivningar och andra repliker i andra material och storlekar. För det andra ges alla skulpturer i olika rörelser: huvudlutningar, bålvarv, armar och benpositioner. I sådana fall är det inte klart vilka mätpunkter som anses vara korrekta: anatomiska eller visuella, uppfattade i verkliga perspektiv. För det tredje, proportionella kanoner , även om de var fasta, förändrades avsevärt under århundraden och till och med decennier, de berodde på era, manér, tid och plats för mästare och skolor . Till exempel i skulpturerna från de klassiska perioderna, Polykleitos och Phidias tidsålder, och hellenismen , i verk av Lysippus och Praxiteles. Detsamma gäller arkitektur. Det är uppenbart att hemligheten med proportionernas harmoni inte ligger i "ideala tal", utan i lagarna för mobila, dynamiska proportionella relationer [13] .
Det är också karakteristiskt att teorin om proportionering utvecklades intensivt under perioder av den mest rationella inställningen till natur och konst. Så sedan 1496 i Milano försökte konstnären Leonardo da Vinci och matematikern Luca Pacioli tillsammans skapa en liknande teori i avhandlingen " Divine Proportion " ( lat. De Divina Proportione ). Huvudtexten och de matematiska beräkningarna, samt utgivningen av boken, utfördes av L. Pacioli. Två manuskript av denna avhandling har bevarats - ett i det offentliga biblioteket i Genève, det andra - i det Ambrosiska biblioteket i Milano. Leonardo avslutade illustrationerna, möjligen inklusive den som är känd som Vitruvian Man . Avhandlingen avslutades den 14 december 1498. Träsnitt gjordes efter Leonardos teckningar. Avhandlingen publicerades i Venedig 1509 [14] [15] .
Teorin om proportioner utvecklades av många renässanskonstnärer: Lorenzo Ghiberti , Leon Battista Alberti , Albrecht Dürer , senare I. D. Preisler .
Sätt att proportionera i arkitekturens historia
I praktiken av konstruktion följde arkitekter från olika tider före framväxten av den vetenskapliga teorin om harmoni som regel intuitivt formharmoniseringens lagar. Dessa färdigheter överfördes från far till son av många generationer av mästare i ambulerande byggnadsarteller ("frimurare" - murare ). I motsats till kreativitetens irrationella djup är de numeriska lagarna för kvantitetsförhållandena föremål för exakt beräkning, analys, fixering, och därför är de lättare att överföra från en generation av mästare till en annan, från lärare till lärlingar som " mästerskapshemligheter".
Den "gyllene medelvägen" ( lat. aurea mediocritas ) fungerade som ett intuitivt kriterium för proportionernas harmoni, och förhållandena mellan magnituder som observerades i naturen fungerade som en modell. Så de gamla hellenerna i sin arkitektur använde heltal, flera moduler och rationella tekniker, men introducerade "optiska korrigeringar" och nyanser, vilket gav storleksförhållandena en liten oregelbundenhet. Dessa är krökning ( lat. krökning - krökning, krökning av raka linjer och plan), entasis ( andra grekiska ἔντασις - stress) - en lätt förtjockning av kolumnerna i mitten, sammandragning (brott mot jämlikheten mellan kolumner , konvergens av avstånd mellan kolumner).
De använde också epimorala relationer ( forngrekiska επι - ovanför, över och andra grekiska μοριον - del, partikel), där, till skillnad från enkla multiplar (1:2; 1:3; 1:4), överskottet av större delen är lika med en andel av de mindre (till exempel: 2:3; 3:4; 8:9), vilket är nästan nära förhållandet mellan de "gyllene segmenten". Denna metod manifesterade sig särskilt när man beräknade antalet kolumner av antika grekiska tempel på fram- och sidofasaderna enligt den epimorala formeln: n : (n + 1), när antalet kolumner på sidofasaden är en till än på framsidan. Det var denna regelbundenhet som grekerna kallade "analogi".
I det nationella arkeologiska museet i Neapel och i Terme-museet i Rom förvaras ovanliga föremål som hittats under utgrävningarna av Pompeji och som konventionellt kallas proportionella kompasser . De skiljer sig åt i detaljer, men konvergerar i huvudsak - två träplankor är tvärbundna med ett fast gångjärn. Förhållandena mellan deras sidor motsvarar regeln för det "gyllene snittet". Arkeologer hittar liknande verktyg i olika regioner i den antika världen. De fungerade förmodligen som standarder för proportionella moduler i arkitekturen [16] .
Proportionssystem i arkitektur har alltid varit nära förknippat med tekniken och tekniken för konstruktion, utvecklingen av geometri och metoder för att mäta kvantiteter. Behovet av att lägga ut planen för byggnaden på marken i full storlek bidrog till utvecklingen av tekniker för att konstruera vissa proportionella relationer både i horisontella och vertikala plan. Det enklaste sättet för sådan proportionering var att bygga en rät vinkel på marken, på vilken projektionen av tyngdpunkten för den framtida strukturen till mitten av basen (vinkelrätt från toppen till jordplanet) berodde - det första villkoret för byggnadens styrka och tillförlitlighet. Forntida arkitekter löste detta problem genialiskt helt enkelt. De tog en mätsnöre - ett rep delat med knutar i tolv lika delar, kopplade ihop dess ändar (tolfte och noll knop) och, sträckande på marken, hamrade pinnar i marken vid tredje, sjunde och tolfte divisionerna. I det här fallet erhölls en triangel med sidoförhållanden på 3: 4: 5. En sådan triangel, enligt ett av geometrins axiom och Pythagoras sats, kommer alltid att vara rektangulär. Efter att ha fått en rät vinkel utan några beräkningar kunde byggare öka den till önskad storlek, överföra den till ett vertikalt plan. På grund av dess universella egenskaper kallades en sådan triangel i arkitekturens historia: " egyptisk helig triangel " . En av de gigantiska pyramiderna i Giza , Khafre-pyramiden , har två "heliga trianglar" i tvärsnitt, och förhållandet mellan höjd och sida av den kvadratiska basen är 2:3 (143,5: 215,25 m). Under lång tid har dessa dimensioner minskat något (136,4: 210,5 m).
Triangelns tal: 3, 4, 5, deras summa är 12, och även 7, summan av 3 och 4, finns ständigt i naturen och vördades också som heliga. Enligt religiösa idéer personifierade den egyptiska triangelns universella geometri den stora triaden av gudar: Isis och Osiris (två ben) och deras son Horus (hypotenus). "Varande och icke-varande jämförs med Isis och Osiris, och diagonalen med Horus-falk" ( Egypt. ḥr - "höjd", "himmel") [17] .
De gamla grekerna kallade byggarna av de egyptiska pyramiderna för "harpedonauter" ("sträckare av rep" från andra grekiska αρπεδονη - lasso, snara). Den franske arkitekten A. Fournier de Cora, den norske konstnären E. Kielland och den ryske arkitekten V. N. Vladimirov , som studerade antika arkitekters proportioneringstekniker, kom oberoende av varandra fram till en modell som kombinerar geometriska figurer och numeriska samband, naturligt upprepade i planerna och sektionerna av de gamla strukturerna. En sådan modell kallades "det egyptiska diagonalsystemet" [18] [19] [20] [21] .
Om vi tar en kvadrat (med bildförhållandet 1:1) och projicerar dess diagonal (lika med kvadratroten ur två) på fortsättningen av en av sidorna och sedan återställer vinkelrät från den hittade punkten, får vi en ny figur - en rektangel. Efter att ha ritat en diagonal i den finner vi att den är lika med kvadratroten ur tre. Låt oss upprepa konstruktionen och se en ny rektangel med en längre sida. Diagonalen för denna rektangel kommer att vara lika med kvadratroten av fyra, det vill säga 2. Projicera denna diagonal som i de tidigare fallen och återställa vinkelrät, får vi den så kallade två-intilliggande kvadraten (bestående av två lika kvadrater) med en diagonal lika med kvadratroten ur fem. Inuti en två-angränsande fyrkant (två rutor utgör oftast planerna för forntida egyptiska tempel) placeras ett antal diagonaler, och följaktligen irrationella värden, förbundna med en viss sekvens.
Förhållandet mellan sidan av en kvadrat och dess diagonal användes ofta i proportionella konstruktioner, eftersom det gjorde det lätt att bilda en kontinuerlig serie av sammanhängande storheter. Systemet med inskrivna eller beskrivna rutor med diagonaler var bekvämt, eftersom det gav arkitekten en slags proportionell skala, på grundval av vilken han kunde bygga proportionaliteten hos byggnadsdelarna.
Den geometriska metoden för att konstruera det "gyllene snittet" är idealiskt enkel, eftersom den inte kräver några beräkningar och bara involverar två rörelser av kompassen. Det har inte förändrats till idag och kallas "arkitekternas sätt" . Det lilla benet på den "egyptiska triangeln" (storlek 1) läggs med en kompass eller mätsnöre på den pythagoriska hypotenusan (det är också diagonalen av en två angränsande kvadrat, lika med kvadratroten ur fem). Sedan överförs resten av diagonalen (kvadratroten ur fem minus en) genom kompassens motsatta rörelse till det stora benet (lika med två). Som ett resultat kommer det stora benet att delas upp i två ojämlika delar, vid en blick på vilken harmoniska relationer känns. Dessa förnimmelser kan verifieras genom beräkning. Låt oss beteckna den större delen av benet uppdelad i delar med bokstaven "A" och den mindre - med "B". Då blir förhållandet mellan hela benet (A + B) och dess större del (återstoden av diagonalen) två dividerat med kvadratroten av fem minus en. För alla värden kommer detta förhållande att uttryckas med ett irrationellt tal, en oändlig bråkdel: 1,618033 ... Om vi kontrollerar förhållandet mellan den större delen (A) och den mindre delen av det givna segmentet (B), så kommer vi överraskande nog , kommer att få samma nummer: 1,618033 ... En sådan formel kan skrivas på följande sätt: (A + B) : A \u003d A : B (helheten är relaterad till den större delen på samma sätt som den större delen är relaterad till den mindre). Från en förändring av platserna för medlemmarna i denna andel förändras inte resultatet.
Den estetiska innebörden av formeln ligger i det faktum att denna proportion är den bästa och enda möjliga - det idealiska fallet när förhållandena mellan delar av vilken storlek som helst (form) är utjämnade mellan dem själva och var och en av dessa delar till helheten. Alla andra harmoniska relationer förbinder endast separata delar av formen, och den "gyllene proportionen" förbinder alla delar och helheten. Med andra ord, i "skönhetsformeln" är förhållandena mellan delar och helhet sammankopplade av en enda regelbundenhet. Enligt Platon "gör den bästa analogin helheten och dess delar oskiljaktiga". Dessutom kan alla kvantiteter delas upp i oändlighet och de kommer att behålla sina "gyllene egenskaper". Andra metoder och tekniker för harmonisering är av särskild karaktär, och den "gyllene proportionen" är universell. Därav namnet.
Det mest slående exemplet på hur detta mönster fungerar är förhållandet mellan planen och fasaden på Parthenon i Aten (447-438 f.Kr.) - den universellt erkända standarden för harmoni. Forskare har alltid varit förvånade över mätningarna av detta mästerverk av arkitektur av närvaron av flera mått och irrationella relationer, i synnerhet tempelplanens avvikelse från den traditionella storleken på två rutor. Regeln om "gyllene snitt" förklarar denna "konstighet". Om vi projicerar diagonalen av den två intilliggande kvadraten av Parthenon-stylobaten på fortsättningen av dess långsida, så får vi de verkliga förhållandena för planen för denna byggnad: en till kvadratroten ur fem. Med andra ord, om bredden på templets huvudfasad (30,89 m) tas till 1, kommer förhållandet mellan bredden och längden på sidofasaden längs stylobaten (69,54 m) att vara en till kvadratroten av fem. Alla dimensioner av det inre rummet är förbundna med samma relationer: naos , pronaos och opisthodom [22] .
Huvudfasaden på Parthenon (utan den triangulära frontonen) passar in i en två-angränsande fyrkant. Kolumnen tillsammans med kapitalet (10,43 m) är den mindre medlemmen av den "gyllene proportionen". Den större delen av det "gyllene snittet" motsvarar byggnadens totala höjd, inklusive taket. Samma relationer upprepas i detalj ner till det minsta [23] . Det ursprungliga "gyllene numret" (1.618033...) betecknas vanligtvis för korthetens skull med den grekiska bokstaven φ ("phi"), som börjar namnet på den enastående skulptören och antikens arkitekt Phidias, en av skaparna av Parthenon.
Liknande tekniker användes av gamla ryska arkitekter. Snickarhantverkare utförde märkningen av byggplanen direkt på marken utan beräkningar utifrån torget och dess diagonal. För att göra detta använde de en mätsnöre och träpinnar som slogs ner i marken. Huvudmåttet var stockens längd, och lådmodulen bestod av kronor staplade ovanpå varandra - fyra stockar anslutna i hörnen och bildade en kvadrat. Uppgiften att konstruera en rät vinkel löstes med hjälp av tvådimensionella sladdar - metoden att utjämna diagonalerna på den överliggande (nedre) kronan (likhet mellan diagonalerna ger en kvadrat). Nästa uppgift: att projicera diagonalen (eller dess derivata) på förlängningen av sidan av kvadraten gav den andra modulen, lika med sidan av kvadraten på två gånger arean. På marken ritades en plan för en framtida byggnad, till exempel en kyrka - huvudburen (den så kallade burkyrkan) med en vestibul och ett altare fäst vid den. Det är naturligt att de forntida ryska snickarna på egen hand hittade den enklaste praktiska lösningen på problemet, välkänd i antiken [24] .
På 1950 -talet studerade historikern och arkeologen B.A. Rybakov de gamla ryska "Babylonerna" - grafiska tecken som består av liknande rektanglar eller kvadrater inskrivna i den andra. De finns i utgrävningar på lerskärvor (ceramider) och stenplattor, från 1600-talet - i ryska krönikor. Enligt forskaren är "Babylon" en schematisk representation av Babels torn och samtidigt en symbol för proportionalkanon [25] .
Med tiden, baserat på en enkel snickeriupplevelse i det antika Ryssland, utvecklades ett utsökt system för proportionering baserat på "systemet med parade mått": rationella och irrationella tal. Detta bevisas av måtten på templen. Studiet av forntida ryska längdmått enligt B. A. Rybakov och andra forskare bekräftar detta faktum. Byggarna använde inte en eller två sázheny som längdmått , utan sex huvudsakliga och ytterligare en. Den uppmätta linan hos forntida ryska snickare kallades "sokar" (från antik grekiska σωχος - stark). Storleken på famnar förändrades, dock var proportioneringsmönstret inte i något idealiskt mått, utan i deras förhållande och framför allt till storleken på den mänskliga figuren. Denna gamla tradition, kallad antropomorfism , bevarades i bysantinsk och gammal rysk konst.
Genom att jämföra förhållandena mellan flera sazhens som användes i forntida rysk konstruktion och efter att ha byggt en "Babylon" (enligt B. A. Rybakov), är det möjligt, med en viss frihet, att inskriva i detta "Babylon" en mansfigur enligt berömd teckning av Leonardo da Vinci , associerad, som de föreslår, med en avhandling om arkitektur av Vitruvius ("Den vitruvianska mannen "; Latin Homo vitruvianus ). Antropomorfismen hos forntida ryska längdmått är uppenbar, liksom analogin till dimensionssystemen i det medeltida Ryssland och det europeiska västerlandet.
Västeuropeiska medeltida byggnadsarteller använde huvudsakligen två metoder för geometriska konstruktioner. Det enklaste sättet att beräkna storlekar, gå tillbaka till de gamla "kvadratfigurerna", kallades: kvadratur . Denna metod beskrevs först av den tyske frimuraren (frimuraren) från Regensburg , byggaren av katedraler Matthaus Roritzer 1486. Han fick namnet "Tyskt". Hela byggnaden var inskriven i en kvadrat (i plan- och höjdförhållanden), och de härledda värdena bestämdes av diagonalen på kvadraten byggd på bredden av byggnadens huvudfasad. Ett sådant exempel, baserat på mätningar av fasaden av Notre Dame- katedralen i Paris , ges i hans berömda bok av Auguste Choisy [26] .
En annan metod kallas triangulering . Denna metod fick också mystisk betydelse, särskilt vid byggandet av tempel, eftersom den liksidiga triangeln är en symbol för den heliga treenigheten . I praktiken såg det enligt B. R. Vippers rekonstruktion ut så här. På den valda byggarbetsplatsen, precis vid middagstid, grävdes en stolpe i marken - en gnomon (pekare), som indikerar mitten av den framtida byggnadens huvud, västra fasad . Middagssolen på de mellersta breddgraderna kastar en skugga från gnomonen exakt i norr, och halva fasadens bredd var avsatt åt detta håll. Den andra hälften mättes i motsatt riktning. Sedan byggdes en likbent (i andra fall liksidig) triangel på marken på den erhållna bredden av huvudfasaden, med hjälp av mätlinor. Dess topp markerade halva längden av det framtida templets huvudskepp. Sedan speglades en andra triangel. Trianglarnas median, vinkelrät mot fasadens linje, bestämde mittlinjen i templets huvudskepp, orienterad längs den västöstra axeln . Trianglarnas baser var uppdelade i fyra lika stora delar. Detta gav det rätta förhållandet mellan huvudskeppets bredd och de två sidoskepparna, som var tänkta att göras dubbelt så smala. Skärningspunkterna för små trianglar markerade platserna för framtida stöd. Sådan triangulering skulle kunna brytas ner till oändliga värden, överföras till ett vertikalt plan, vilket bestämmer fasadernas huvudsakliga strukturella punkter och byggnadens inre struktur [27] .
När man lade grundstenen till katedralen i Milano 1387 inbjöds arkitekter från Tyskland och Frankrike, som argumenterade: om man skulle bygga templet enligt den "tyska metoden" (ad quadratum) - på grundval av en kvadrat och dess diagonal - eller enligt den "franska metoden" (ad triangulum) - på basis av liksidig triangel. En tvärsnittsritning av Milanos katedral (enligt mittkorset), gjord 1391 av Gabriele Stornalocco från Piacenza, ges i den italienska upplagan av Vitruvius avhandling Tio böcker om arkitektur av Cesare Cesariano från 1521. Denna ritning visar tydligt det "kopplade systemet", där katedralens huvudsakliga strukturella punkter är inskrivna inte bara i liksidiga trianglar utan också i koncentriska cirklar. Ett sådant "anslutet system" ger den största styrkan och visuella integriteten till hela strukturen.
Teorin om proportionering i arkitektur under renässansen utvecklades av Leon Battista Alberti , Andrea Palladio , N. A. Lvov . I den nya tiden - I. V. Zholtovsky , O. I. Guryev , I. P. Shmelev.
Det är känt att Andrea Palladio inte använde komplexa beräkningar och irrationella tal. I sin avhandling " Four Books on Architecture " (1570) nämner han inte regeln om det gyllene snittet, utan föreslår att byggnader ska proportioneras "i en eller två kuber." Men i Palladios byggnader upprepas förhållandena: 2: 3: 5. Den venetianska arkitekten tog också till att konstruera likheter mellan rektanglar av olika storlekar baserat på parallella eller vinkelräta diagonaler (ett av geometrins axiom). Denna teknik har i arkitekturhistorien fått namnet "rätt vinkelregel". En av symbolerna för harmoni av proportioner i arkitekturens historia är den berömda byggnaden av Palladios Villa Rotunda .
Forskaren av Palladios arbete, arkitekten O. I. Guryev betonade att, utan att nämna det "gyllene snittet", men att följa "regeln för liknande rektanglar och kuber", och bygga dem på parallella eller vinkelräta diagonaler, fastställde Palladio förhållandena mellan kvantiteter som bestäms av "medlemmar eller relaterade till Fibonacci-serien: 9:5 är tre gånger förhållandet 3:5, och 3:1 är dubbelt förhållandet 3:2, etc." [28] .
Den franske arkitekten Le Corbusier skapade sin berömda " Modulor " på grundval av det traditionella systemet med parade mått, "regeln för rät vinkel" och två "skalor" (rationella och irrationella värden) .
S:t Petersburgs arkitekt och konstteoretiker Igor Pavlovich Shmelev, som studerade harmoniens lagar, skapade sin egen tolkning av de forntida egyptiska prästernas kanon baserat på analysen av träskivor från graven till Khesi-Ra, en präst av guden Horus och chefsarkitekt för farao Djoser i Saqqara [29] .
I konstens historia ägnades ett av hans teoretiska verk från 1783 åt ämnet proportionering av målaren, Sir Joshua Reynolds , såväl som den engelske gravören John Thomas Smith , som kallade hans teori "tredjedelsregeln".