Voigt profil

Voigt (centrerad)
Varje fodral har en full bredd på halv höjd nära 3,6. De svarta och röda kurvorna är gränsfallen för profilerna Gauss (γ =0) respektive Lorentzian (σ =0).Sannolikhetstäthet
distributionsfunktion
alternativ	$\gamma ,\sigma >0$
Bärare	$x\in (-\infty ,\infty )$
Sannolikhetstäthet	${\frac {\Re [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi )))),~~~z={\frac {x+i\gamma }{\sigma { \sqrt {2}}}}}$
distributionsfunktion	(komplex se text)
Förväntat värde	(odefinierad)
Median	$0$
Mode	$0$
Dispersion	(odefinierad)
Kurtos koefficient	(odefinierad)
Genererande funktion av moment	(odefinierad)
karakteristisk funktion	${\displaystyle e^{-\gamma \|t\|-\sigma ^{2}t^{2}/2))$

Voigt-profilen eller Voigt- fördelningen (uppkallad efter Woldemar Vogt ) är en sannolikhetsfördelning som erhålls genom att blanda Cauchy-Lorentz-fördelningen och Gauss -fördelningen . Det används ofta vid analys av spektroskopi eller diffraktionsdata .

Definition

Utan förlust av generalitet kan endast centrerade profiler beaktas, vars topp är noll. Därefter definieras Voigt-profilen

V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(xx';\gamma )\,dx',

där x är förskjutningen från positionen för linjens maximum, är den centrerade Gaussfördelningen som ges av $G(x;\sigma )$

G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2))))){\sigma {\sqrt {2\pi )) } },

och är den centrerade Lorentz-fördelningen $L(x;\gamma )$

L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (x^{2}+\gamma ^{2)))))

Den bestämda integralen kan utvärderas som:

V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatörsnamn {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi )))),

där Re [ w ( z )] är den reella delen av Faddeeva-funktionen beräknad för det komplexa argumentet

z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2))))

I begränsningsfallen för och , förenklar det till respektive . $\sigma=0$ $\gamma =0$ $V(x;\sigma ,\gamma )$ $L(x;\gamma )$ $G(x;\sigma )$

Historik och applikationer

Inom spektroskopi beskriver Voigt-profilen faltningen av två breddningsmekanismer, varav en ger en Gauss-fördelning (vanligtvis som ett resultat av Doppler-breddning ) och den andra en Lorentz-fördelning. Voigt-profiler är vanliga inom många områden relaterade till spektroskopi och diffraktion . På grund av komplexiteten i att beräkna Faddeev-funktionen, approximeras Voigt-profilen ibland med hjälp av en pseudo-Voigt-fördelning.

Egenskaper

Voigt-profilen är normaliserad som alla distributioner:

\int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,

eftersom det är en faltning av normaliserade sannolikhetsfördelningar. Lorentz-profilen har inga moment (annat än noll moment), så den momentgenererande funktionen för Cauchy-fördelningen är inte definierad. Härav följer att Voigt-profilen inte heller har någon momentgenererande funktion, men den karakteristiska funktionen för Cauchy-fördelningen är väldefinierad, liksom den karakteristiska funktionen för normalfördelningen . Då kommer den karakteristiska funktionen för den (centrerade) Voigt-profilen att vara produkten av två karakteristiska funktioner:

\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t |}.

Eftersom normalfördelningar och Cauchy-distributioner är stabila distributioner stängs var och en av dem under faltning (upp till omskalning), och följaktligen följer att Voigt-distributioner också är stängda under faltning.

Kumulativ distributionsfunktion

Genom att använda ovanstående definition för z kan den kumulativa fördelningsfunktionen (CDF) hittas enligt följande:

F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0)){\frac {\operatörsnamn {Re} (w(z))}{\ sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatörsnamn {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )} ^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).

Att ersätta definitionen av Faddeev-funktionen (skalerad komplex felfunktion ) leder till en obestämd integral

{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z ^{2}}\left[1-\operatörsnamn {erf} (-iz)\right]\,dz,

som kan uttryckas i termer av specialfunktioner

{\frac {1}{\sqrt {\pi ))}\int w(z)\,dz={\frac {\operatörsnamn {erf} (z)}{2))+{\frac { iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2)),2;-z^{2}\right) ,

var är den hypergeometriska funktionen . För att få funktionen att närma sig noll när x närmar sig negativ oändlighet (som det borde för den kumulativa fördelningsfunktionen), måste en integrationskonstant på 1/2 läggas till. Detta ger för Voigts KFR: ${}_{2}F_{2}$

F(x;\mu ,\sigma )=\operatörsnamn {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatörsnamn {erf} (z)}{2}} +{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{ 2}\right)\right].

Voigts icke-centrerade profil

Om den Gaussiska profilen är centrerad vid punkten och centrum av den Lorentziska profilen är , då är faltningens centrala punkt , och den karakteristiska funktionen är lika med $\mu _{G}$ $\mu _{L}$ $\mu _{G}+\mu _{L}$

\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{ \mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.

Medianen finns också vid . $\mu _{G}+\mu _{L}$

Derivatprofil

Profilerna för första och andra derivatan kan uttryckas i termer av Faddeeva-funktionen enligt följande

{\frac {\partial }{\partial x}}V(x;\sigma ,\gamma )=-{\frac {\operatörsnamn {Re} [z~w(z)]}{\sigma ^ {2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatörsnamn {Re} [w(z)]}{\sigma { \sqrt {2\pi ))))+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2))}{\frac {\operatörsnamn {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt { 2\pi }}}};

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {x^{2}-\gamma ^{2 }-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatörsnamn {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{ \frac {2x\gamma }{\sigma ^{4))}{\frac {\operatörsnamn {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4))}{\frac {1}{\pi )),

med ovanstående definition för z .

Voigt funktioner

Voigt - funktionerna U , V och H (ibland kallad linjebreddningsfunktionen ) definieras enligt följande:

U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t))}e^{z^{2))\operatörsnamn {erfc} (z)= {\sqrt {\frac {\pi }{4t))}w(iz),

H(a,u)={\frac {U(u/a,1/4a^{2})}{a{\sqrt {\pi ))))),

var

z=(1-ix)/2{\sqrt {t)),

erfc är felfunktionen och w ( z ) är Faddeeva-funktionen .

Relation till Voigt-profilen

Linjebreddningsfunktionen kan relateras till Voigt-profilen med hjälp av uttrycket

V(x;\sigma ,\gamma )=H(a,u)/({\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}\sigma ),

var

a=\gamma /({\sqrt {2))\sigma )

och

u=x/({\sqrt {2}}\sigma ).

Numeriska uppskattningar

Tepper-Garcia-funktionen

Tepper -Garcia- funktionen , uppkallad efter den tysk-mexikanske astrofysikern Thor Tepper-Garcia , är en kombination av en exponentiell funktion och rationella funktioner som approximerar linjebreddningsfunktionen över ett brett spektrum av dess parametrar [1] . Den erhålls från en trunkerad effektserieexpansion av den exakta linjebreddningsfunktionen. $H(a,u)$

Ur beräkningssynpunkt tar den mest effektiva formen av att skriva Tepper-Garcia-funktionen formen

T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+ Q)-Q-1\höger]\,,

var , , och . $P\equiv u^{2}$ $Q\equiv 3/(2P)$ ${\displaystyle R\equiv e^{-P))$

Således kan linjebreddningsfunktionen betraktas i första ordningen som en ren Gaussisk funktion plus en korrektionsfaktor som beror linjärt på det absorberande mediets mikroskopiska egenskaper (kodad i parametern ); men som ett resultat av tidig trunkering av serien är felet i en sådan approximation fortfarande av storleksordningen , det vill säga . Denna approximation har en relativ noggrannhet $a$ $a$ $H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)$

\epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}

över hela våglängdsområdet , förutsatt att . Förutom hög noggrannhet är funktionen lätt att skriva och även snabb att beräkna. Det används ofta inom området analys av absorptionslinjer för kvasarer [2] . $H(a,u)$ ${\displaystyle a\lesssim 10^{-4))$ $T(a,u)$

Approximation för Voigt-pseudofördelningen

Approximationen för Voigt-pseudofördelningen är en approximation av Voigt-profilen V ( x ) med hjälp av en linjär kombination av Gauss-kurvan G ( x ) och Lorentz-kurvan L ( x ) istället för deras faltning .

Voigt pseudofördelningsfunktionen används ofta för att beräkna den experimentella profilen för spektrallinjer .

Den matematiska definitionen av den normaliserade Voigt-pseudofördelningen ges av formeln

V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)

med .

0<\eta <1

där är en funktion av parametern för full bredd vid halv höjd (FWHM). $\eta$

Det finns flera alternativ för att välja parameter [3] [4] [5] [6] . En enkel formel exakt 1 % [7] [8] ges av $\eta$

\eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},

där är en funktion av Lorentz ( ), Gaussisk ( ) och full bredd ( ) vid halva maximum (FWHM). Full bredd ( ) beskrivs av formeln $\eta$ $f_{L}$ $f_{G}$ $f$ $f$

f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{ G}^{2}f_{L}^{3}+0,07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.

Voigt profilbredd

Den fulla bredden vid halva maximum (FWHM) av Voigt-profilen kan bestämmas från bredden av motsvarande bredder av de Gaussiska och Lorentziska fördelningarna. Gaussprofilens bredd är

f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2))).

Bredden på den Lorentzianska profilen är lika med

f_{\mathrm {L} }=2\gamma .

En grov approximation för förhållandet mellan bredderna på Voigt-, Gauss- och Lorentz-profilerna skrivs som

f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.

Denna approximation är exakt sant för en rent Gaussisk fördelning.

Den bästa approximationen med en noggrannhet på 0,02 % ger ekvationen [9]

f_{\mathrm {V} }\approx 0,5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^ {2}}}.

Denna approximation är exakt korrekt för en ren Gaussisk profil, men har ett fel på cirka 0,000305 % för en ren Lorentzisk profil.

Anteckningar

↑ Tepper-García, Thorsten (2006). "Voigt-profilpassning till kvasarabsorptionslinjer: en analytisk approximation till Voigt-Hjerting-funktionen". Månatliga meddelanden från Royal Astronomical Society . 369 (4): 2025-2035. DOI : 10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x .
↑ Lista över citat som finns i SAO/NASA Astrophysics Data System (ADS): https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations Arkiverad 13 december 2020 på Wayback Machine
^ "Bestämning av det Gaussiska och Lorentziska innehållet i experimentella linjeformer". Granskning av vetenskapliga instrument . 45 (11): 1369-1371. 1974. Bibcode : 1974RScI...45.1369W . DOI : 10.1063/1.1686503 .
↑ Sánchez-Bajo, F. (augusti 1997). "Användningen av Pseudo-Voigt-funktionen i variansmetoden för röntgenlinjebreddningsanalys". Journal of Applied Crystallography . 30 (4): 427-430. DOI : 10.1107/S0021889896015464 .
↑ "Enkel empirisk analytisk approximation till Voigt-profilen". JOSA B. 18 (5): 666-672. 2001. Bibcode : 2001JOSAB..18..666L . doi : 10.1364/ josab.18.000666 .
↑ "Voigt-profilen som summan av en Gaussisk och en Lorentzisk funktion, när viktkoefficienten endast beror på breddförhållandet". Acta Physica Polonica A. 122 (4): 666-669. 2012. DOI : 10.12693/APhysPolA.122.666 . ISSN 0587-4246 .
↑ "Utökad pseudo-Voigt-funktion för att approximera Voigt-profilen" . Journal of Applied Crystallography . 33 (6): 1311-1316. 2000. doi : 10.1107/ s0021889800010219 .
↑ P. Thompson, D.E. Cox och J.B. Hastings (1987). "Rietveld-förfining av Debye-Scherrer synkrotronröntgendata från Al 2 O 3 ". Journal of Applied Crystallography . 20 (2): 79-83. DOI : 10.1107/S0021889887087090 .
↑ Olivero, JJ (februari 1977). "Empiriska passar till Voigts linjebredd: En kort recension". Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 17 (2): 233-236. Bibcode : 1977JQSRT..17..233O . DOI : 10.1016/0022-4073(77)90161-3 . ISSN 0022-4073 .

Litteratur

http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf , ett C-numeriskt bibliotek för komplexa felfunktioner, tillhandahåller en voigt(x, sigma, gamma) funktion med ungefär 13-14 siffrors precision.
Originalartikel: Voigt, Woldemar, 1912, ''Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums'', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (se även: http://publikation.de/003395768)