Sökväg (topologi)

I matematik är en väg i ett topologiskt utrymme X en kontinuerlig avbildning f från enhetsintervallet I = [0,1] till X

f : I → X. _

Startpunkten för banan är f (0) och slutpunkten är f (1). Vi pratar ofta om "vägen från x till y ", där x och y är vägens start- och slutpunkter. Observera att en sökväg inte bara är en delmängd av X som "ser ut som" en kurva , den innehåller också en parametrisering . Till exempel representerar mappningen f ( x ) = x och g ( x ) = x 2 två olika banor från 0 till 1 på den reella linjen.

En slinga i rymden X med baspunkten x ∈ X är en väg från x till x . En slinga kan också definieras som en avbildning f : I → X med f (0) = f (1) eller som en kontinuerlig avbildning från enhetscirkeln S 1 till X

f : S 1 → X .

Det senare följer av att S 1 kan betraktas som ett kvotutrymme av I när 0 identifieras med 1. Mängden av alla slingor i X bildar ett mellanrum som kallas slingutrymmet för utrymmet X [1] .

Ett topologiskt utrymme i vilket det finns en väg som förbinder två punkter kallas vägkopplad . Varje utrymme kan delas upp i en uppsättning linjärt anslutna komponenter . Mängden linjärt anslutna komponenter i utrymmet X betecknas ofta med π 0 ( X );.

Man kan också definiera banor och slingor i spetsiga utrymmen , som är viktiga i homotopiteorin . Om X är ett topologiskt utrymme med en särskiljande punkt x 0 , så är en bana i X en bana vars startpunkt är x 0 . På liknande sätt är en slinga i X en slinga vid x 0 .

Sökvägshomotopi

Banor och slingor är centrala studieobjekt inom den gren av algebraisk topologi som kallas homotopiteori . Homotopin av banor preciserar uppfattningen om en kontinuerlig deformation av en bana samtidigt som banans ändar bevaras.

I synnerhet är en homotopi av vägar i X en familj av vägar f t : I → X indexerad av I så att

f t (0) = x 0 och f t (1) = x 1 är fixerade.
mappningen F : I × I → X som ges av F ( s , t ) = f t ( s ) är kontinuerlig.

Banorna f 0 och f 1 sägs vara homotopa (eller, mer exakt, linjärt homotopa ) om de är förbundna med en homotopi. Man kan på liknande sätt definiera en loophomotopi som bevarar baspunkten.

Homotopirelationen är en ekvivalensrelation för vägar i ett topologiskt rum. Ekvivalensklassen för en väg f under denna relation kallas homotopiklassen för f , och betecknas ofta [ f ].

Sammansättning av vägar

Det går att forma en sammansättning av stigar i ett topologiskt rum på ett självklart sätt. Låt f vara en väg från x till y och g vara en väg från y till z . Vägen fg definieras som den väg som först erhålls genom att passera f och sedan g :

fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}} \leq s\leq 1.\end{cases}}

Det är tydligt att vägens sammansättning definieras endast om slutpunkten f sammanfaller med startpunkten g . Om vi betraktar slingor vid punkten x 0 , är vägsammansättningen en binär operation .

Bansammansättning, om den definieras, är inte en associativ operation på grund av skillnaden i parametrisering. Det är dock associativt upp till homotopi. Det vill säga [( fg ) h ] = [ f ( gh )]. Bansammansättning definierar strukturen för en grupp på uppsättningen homotopa loopklasser i X med baspunkt x 0 . Den resulterande gruppen kallas grundgruppen av X med punkten x 0 markerad och betecknas vanligtvis π 1 ( X , x 0 ).

Man kan definiera en väg i X som en kontinuerlig avbildning av intervallet [0, a ] till X för valfritt reellt a ≥ 0. En väg f av denna form har längd | f | definieras som en . Banans sammansättning definieras sedan som tidigare, med följande ändring:

fg(s)={\begin{fall}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g| \end{cases}}

Medan i den tidigare definitionen f , g och fg har längden 1, ger denna definition | fg | = | f | + | g |. Det som i den förra definitionen ledde till brott mot associativiteten var att även om ( fg ) h och f ( gh ) hade samma längd, nämligen 1, hamnade mittpunkten av ( fg ) h mellan g och h , medan mittpunkten av f. ( gh ) kom mellan f och g . I den modifierade definitionen av ( fg ) har h och f ( gh ) samma längd, nämligen | f |+| g |+| h |, och samma mittpunkter som finns i (| f |+| g |+| h |)/2 för både ( fg ) h och f ( gh ). Och även de har samma parametrering.

Fundamental groupoid

Varje topologiskt utrymme X ger upphov till en kategori vars objekt är punkterna i X och vars morfismer är banhomotopiklasserna. Eftersom all morfism i denna kategori är en isomorfism , är denna kategori en groupoid , kallad den fundamentala groupoiden av X. Slingor i denna kategori är endomorfismer (de är alla faktiskt automorfismer ). Automorfismgruppen för punkten x 0 i X är helt enkelt den fundamentala gruppen i X . Man kan definiera en fundamental groupoid på vilken delmängd som helst av X genom att använda homotopiklasserna av banor som förbinder punkter i A .

Litteratur

Ronald Brown. Topologi och groupoider. - Deganwy, Storbritannien, 2006. - ISBN 1-4196-2722-8 .

Peter May. En kortfattad kurs i algebraisk topologi. - Chicago, IL: University of Chicago Press, 1999. - ISBN 10: 0226511820 13: 9780226511825.

James R. Munkres. topologi. — 2ed. - NJ: Prentice Hall, 2000. - ISBN 0-13-181629-2 .
John Frank Adams. Oändliga looputrymmen. - Princeton University Press, 1978. - T. 90. - (Annals of mathematics studies). — ISBN 9780691082066 .
O.Ja. Viro, O.A. Ivanov, N.Yu. Netsvetaev, V.M. Kharlamov. Elementär topologi. - M. : MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .

↑ Adams, 1978 , sid. 3.