Likvärdighet

Ekvivalens är förhållandet mellan två godtyckliga ( ändliga eller oändliga ) uppsättningar , vilket betyder, löst sagt, att en uppsättning innehåller samma antal element som den andra. Finita mängder är ekvivalenta om och endast om de innehåller samma antal element. Till exempel är uppsättningen av traditionella zodiakkonstellationer och uppsättningen av kubkanter lika kraftfulla, eftersom båda innehåller 12 element vardera.

Begreppet ekvivalens, som introducerades av Georg Cantor 1878, utvidgar detta förhållande till oändliga mängder, och definitionen av det centrala begreppet i mängdteorin om en mängds kardinalitet är baserad på det . Cantor definierade också en jämförelse av kardinaliteter - om två uppsättningar inte är likvärdiga, är kardinaliteten för en av dem större än den för den andra ( valets axiom används i beviset ).

Definitioner

Definition 1 . En funktion som definieras på en uppsättning och tar värden i uppsättningen kallas en -till-en-korrespondens [1] om: $f,$ $A$ $b,$

olika element motsvarar olika element $A$ $B;$
varje element är tilldelat till något element . $B$ $A$

Det är lätt att se att en-till-en-korrespondensen som funktion har en (en-till-en) invers funktion definierad på hela uppsättningen $b.$

Definition 2 . Två uppsättningar kallas ekvivalenta om det är möjligt att upprätta en en-till-en-överensstämmelse mellan dem [2] . Variationer i terminologi: Ekvivalenta mängder "har samma kardinalitet" eller "samma kardinalnummer ".

I den angivna korrespondensen motsvarar varje element i var och en av de ekvivalenta uppsättningarna exakt ett element i den andra uppsättningen.

Olika författare har föreslagit olika symboler för att beteckna uppsättningarnas ekvivalens : $A,B$

A\sim B

|A|=|B|

A\approx B

{\bar {\bar {A}}}={\bar {\bar {B}}}

(kantornotation)

Ekv(A,B)

( Bourbaki notation ) # = #

A

B

\mathrm {kort} (A)=\mathrm {kort} (B)

Längre fram i den här artikeln används den första notationen.

Exempel

Uppsättningen av naturliga tal och uppsättningen av jämna tal är ekvivalenta, eftersom varje naturligt tal har en en-till-en-överensstämmelse med ett jämnt tal. Alla uppsättningar som är ekvivalenta kallas countable . Alla oändliga delmängder kan räknas - till exempel mängden primtal . $\mathbb {N}$ $n$ $2n.$ $\N$ $\mathbb {N}$

Uppsättningen av rationella tal kan räknas, men uppsättningen av reella tal är redan oräknelig. $\mathbb {R}$

Alla cirklar är lika. För att verifiera detta konstruerar vi för varje cirkel ett polärt koordinatsystem med origo i mitten av cirkeln och sätter in korrespondenspunkter med samma polära vinkel.

Det skisserade tillvägagångssättet används ofta för att definiera begreppet en oändlig mängd "enligt Dedekind ": en mängd kallas oändlig om den är ekvivalent med sin egen delmängd (det vill säga en delmängd som inte sammanfaller med allt ) [3] . $A$ $A$

Egenskaper

Ekvivalensrelationen är en ekvivalensrelation :

Varje uppsättning är likvärdig med sig själv.
Om då $A\sim B,$ $B\sim A.$
Om och då $A\sim B$ $B\sim C,$ $A\sim C.$

Därför delar ekvivalensrelationen upp mängderna i icke-överlappande klasser av ekvipotenta mängder. Denna partition gjorde det möjligt för Cantor att definiera begreppet kardinalitet för en mängd som en av sådana klasser (i axiomatisk mängdteori introduceras begreppet kardinalitet något annorlunda, se artikeln om en mängds kardinalitet för detaljer ).

Det följer av Cantors teorem att ingen mängd kan vara likvärdig i storlek med mängden av dess delmängder (som alltid har större makt) [4] .

Cantor-Bernsteins sats : om av två mängder A och B vardera är ekvivalent med en del av den andra, så är dessa två mängder ekvivalenta.

År 1877 upptäckte Cantor ett antal ovanliga konsekvenser av sin teori [5] .

Ett ändligt segment av en rät linje är ekvipotent med hela den oändliga räta linjen.
Hela planet, valfri kvadrat på det och ett linjesegment är ekvivalenta.

Ekvivalensrelationen överensstämmer (med vissa begränsningar) med mängdteoretiska operationer [6] .

( Kartesisk produkt ): $A\times B\sim B\times A;\ (A\times B)\times C\sim A\times (B\times C)$
Om och då $A_{1}\sim B_{1}$ $A_{2}\sim B_{2},$ $(A_{1}\times A_{2})\sim (B_{1}\times B_{2})$
( Union ) Låt och skär inte med skär inte med Då $A_{1}\sim B_{1},A_{2}\sim B_{2},$ $A_{1}$ $A_{2},B_{1}$ $B_{2}.$ $(A_{1}\cup A_{2})\sim (B_{1}\cup B_{2})$

Anteckningar

↑ Encyclopedia of Mathematics, 1977 .
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , sid. 12.
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , sid. 17.
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , sid. 28.
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , sid. arton.
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , sid. 177.

Litteratur

Vereshchagin N. K., Shen A. Början av mängdlära. - M. : MTSNMO, 2012. - ISBN 978-5-4439-0012-4 .
Kudryavtsev L. D. En-till-en-korrespondens // Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1. - S. 690. - 1152 sid.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Mängdlära / Översatt från engelska av M. I. Kortfattat, redigerad av A. D. Taimanov. - M . : Mir, 1970. - 416 sid.
Yashchenko IV Motsvarighet av mängder / Paradoxer i teorin om mängder. M.: Publishing House of the Moscow Center for Continuous Mathematical Education, 2002.

Länkar

Power of Sets // Diskret matematik, HSE, Datavetenskapliga fakulteten, 2014
Ekvivalenta uppsättningar / Introduktion till mängdteori, Moscow State University, 2007
Yiannis Moschovakis . KAPITEL 2 EQUINUMEROSITY // Notes on Set Theory, Springer, 2005. ISBN 9780387287225 pp. 7-18 (engelska)