Beräkningsrutnät

Det beräknade (beräknings-) rutnätet  är en uppsättning punkter (rutnätsnoder) specificerade i definitionsdomänen för någon funktion .

Beräkningsrutnät används i den numeriska lösningen av differentialekvationer och integralekvationer . Kvaliteten på konstruktionen av beräkningsnätet avgör till stor del framgången (misslyckandet) för den numeriska lösningen av ekvationen.

Klassificering och metoder för att konstruera beräkningsnät

Proceduren för att konstruera ett beräkningsnät kan betraktas som konstruktionen av en en-till-en-mappning av definitionsdomänen för en funktion ( fysisk domän ) på någon beräkningsdomän som har en enklare form.

Algebraiska mesh-metoder

Algebraiska rutnät byggs genom att lösa algebraiska ekvationer . Ett exempel på det enklaste rutnätet som definieras på ett segment är mängden {xk}={x1, x2 … xK}, där xk=x1+dx*(k-1). Värdet på dx i detta fall kallas steget i beräkningsrutnätet. De främsta fördelarna med algebraiska metoder är god kontroll över fördelningen av interna rutnätsnoder och hög effektivitet i deras numeriska implementering, vilket är särskilt viktigt när man konstruerar adaptiva (omkonfigurerade under beräkningen) rutnät. Nackdelen med algebraiska metoder är att gränsbrott fortplantar sig in i domänen. Användningen av differentiella metoder gör det som regel möjligt att erhålla jämnare maskor.

Differentiella mesh-metoder

Nätkonstruktion med metoden för konforma mappningar

Nackdelen med metoder för att konstruera beräkningsnät med metoden för konforma mappningar är att de endast är lämpliga för att konstruera tvådimensionella rutnät.

Nätkopplade (överensstämmer) med gränsen för området

Det enklaste sättet att bygga ett beräkningsnät är att dela upp utrymmet med ett system av ytor som är lika långt från basytorna i standardkoordinatsystem, vilket gör det möjligt att avsevärt förenkla skrivningen av de differentialekvationer som löses. Nackdelen med interferenskonceptet ligger i det faktum att rutnätet inte är kopplat till formen på regionens gränser - när man överväger regionerna för definition av en godtycklig formfunktion, sammanfaller ingen av koordinatlinjerna med gränsen, vilket leder till en minskning av kvaliteten på implementeringen av randvillkor och (eller) till en extrem komplikation av beräkningsalgoritmen och, som en följd, till en ökning av kostnaden för maskintid. Genom att använda kurvlinjära rutnätslinjer är det möjligt att uppnå sammanfallande av gränserna för definitionsdomänen av funktionen ( fysisk domän ) och rutnätslinjer, vilket gör det möjligt att förenkla registreringen av gränsförhållanden . Men på grund av omvandlingen av koordinater förekommer vanligtvis ytterligare termer i ekvationen som ska lösas.

Strukturerade (vanliga) rutnät

I de fall där uppsättningen rutnätsnoder är ordnad kallas beräkningsrutnätet strukturerat. Användningen av strukturerade rutnät (jämfört med ostrukturerade) tillåter som regel att minska beräkningens varaktighet och den erforderliga mängden dator- RAM . Samtidigt kräver proceduren för att konstruera ett krökt regelbundet rutnät som regel mycket arbetskraft och datorresurser, jämfört med förfarandet för att konstruera ett oregelbundet rutnät.

Vanligt rutnät

Ostrukturerade (oregelbundna) rutnät

Ostrukturerad mesh

Ortogonala och ortogonala maskor

För att få en lösning av en differentialekvation som har erforderlig noggrannhet med minimala datorresurser måste beräkningsrutnätet ha ett antal egenskaper. I synnerhet, som erfarenheten från många forskare visar, bör beräkningscellerna ha en liten skevhet, det vill säga beräkningsrutnätet bör om möjligt vara ortogonaliserat. Problemet med att konstruera ett flerdimensionellt ortogonaliserat beräkningsrutnät är formulerat som ett problem att minimera det funktionella I=int(wQ dV), där w är en viktfunktion, Q är ett mått på rutnätets ortogonalitet. Som ett mått på Q kan summan av skalära produkter av tangenter till koordinatrutnätslinjerna användas. Det kan visas att variationsproblemet med att konstruera ett ortogonaliserat beräkningsnät reduceras till ett gränsvärdesproblem för systemet med Poissons differentialekvationer. Som bekant beskriver systemet med Poisson-ekvationer under givna randvillkor värmefördelningen i den aktuella volymen, vilket gör det möjligt att erhålla jämna rutnätslinjer, även i de fall där gränserna för det fysiska området har veck. Maximiprincipen, som är giltig för elliptiska ekvationer, garanterar att de maximala och lägsta värdena för de beräknade koordinaterna kommer att nås vid regionens gränser. Eftersom ett system av elliptiska ekvationer används, bör antingen koordinaterna för rutnätsnoderna vid gränserna (Dirichlet-villkoret) eller lutningen för koordinatlinjerna vid gränserna (Neumann-villkoret) anges som gränsvillkor.

Multigrid-metod

Responsive Grids

I problem med diskontinuerliga lösningar (inklusive problem med supersonisk gasdynamik) kännetecknas beräkningsdomänen av närvaron av flerskaleelement av en komplex inhomogen struktur. Tillräckligt stora zoner har små eller måttliga gradienter av lösningsparametrar. Samtidigt finns det jämförelsevis smala områden där gradienterna för lösningsparametrarna når stora värden. Dessa är stötvågor, kontaktdiskontinuiteter, gränsskikt. För att få en tillförlitlig numerisk lösning av problem av denna typ är det nödvändigt att använda beräkningsnät med små rumsliga steg. I detta fall blir beräkningskostnaderna så betydande att det på grund av datorteknikens begränsningar inte alltid är möjligt att få en tillräckligt noggrann lösning av problem. I sådana fall blir det önskvärt att använda dynamiskt adaptiva rutnät som tillåter användning av små rumsliga rutnätsavstånd, där så är nödvändigt, för att uppfylla stränga krav på numeriska metoder, samtidigt som måttliga beräkningskrav upprätthålls. Metoderna för dynamiskt adaptiva rutnät är en av de mest effektiva metoderna för att förbättra noggrannheten hos den numeriska lösningen i beräkningsdomäner med flera rumsliga skalor, vilket återspeglar lösningens inhomogena struktur. Huvudidén med metoderna för dynamiskt adaptiva rutnät är att minska storleken på celler i de områden av beräkningsdomänen där stora lösningsfel uppstår. Eftersom den önskade lösningen i de flesta fall är okänd och det är omöjligt att fastställa felet, som är skillnaden mellan de exakta och ungefärliga lösningarna i en viss norm, används gradienter eller skillnader i lösningsparametrarna oftast som ett mått på lösningen fel. Det finns två steg i anpassningsprocessen: arbetet med kriteriet och de faktiska anpassningsförfarandena.

anpassningsförfaranden. Följande huvudsakliga tillvägagångssätt noteras i litteraturen: fullständig mesh-regenerering; lokal krossning-sammansmältning av celler; rörliga noder. Full mesh-regenerering består i att bygga ett nytt mesh med hjälp av informationen som erhålls på det gamla nätet och återinterpolera lösningen. Metoden för att flytta noder förutsätter att det totala antalet beräkningsrutnät är fast. Deras omfördelning utförs också för att öka rutnätets täthet i områden med lokalisering av singulariteter av lösningen och dess sällsynthet där sådana singulariteter saknas. Metoden för lokal delning och sammanslagning av celler i beräkningsrutnätet reduceras till att inkludera ytterligare noder i rutnätet i närheten av lokaliseringen av singulariteter av lösningen med samtidigt avlägsnande av extra noder i regioner där lösningen inte innehåller singulariteter. Med de två extrema metoderna är det nödvändigt att bibehålla den erforderliga kvaliteten på beräkningsnätet.

Multiblock rutnät

Litteratur

Se även