Vintage Dirichlet

Dirichlet-faltningen är en binär operation definierad för aritmetiska funktioner som används i talteorin , introducerad och studerad av den tyske matematikern Dirichlet .

Definition

Dirichlet-faltningen av två aritmetiska funktioner och är en aritmetisk funktion som definieras enligt följande: $f*g$ $f$ $g$

(f*g)(n)=\summa _{{d\mid n}}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)=\summa _{{ab=n }}f(a)g(b)

där summan tas över alla naturliga delare av argumentet , eller på motsvarande sätt över alla par av naturliga tal vars produkt är lika med . $d$ $n$ $(a,b)$ $n$

Egenskaper

Uppsättningen av aritmetiska funktioner genom punktvis addition (det vill säga funktionen bestäms av relationen ) och Dirichlet-faltningen bildar en kommutativ ring , kallad Dirichlet-ringen . Enheten för ringen är den funktion som definieras som , if och , if . Inverterbara element är alla funktioner sådana att . $f+g$ $(f+g)(n)=f(n)+g(n)$ $\epsilon$ $\epsilon(n)=1$ $n=1$ $\epsilon(n)=0$ $n>1$ $f$ $f(1)\nekv 0$

I synnerhet är Dirichlet-faltningen [1] associativ :

(f*g)*h=f*(g*h)

distribuerande genom tillägg:

f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f

kommutativ :

f*g=g*f

och har ett neutralt element :

f*\epsilon =\epsilon *f=f

Dirichlet-faltningen av två multiplikativa funktioner är återigen multiplikativ, och varje multiplikativ funktion har en multiplikativ Dirichlet-inversion. Om är en helt multiplikativ funktion , då , där multiplikationen av funktioner definieras som deras punktvisa sammansättning. Konvolutionen av två fullt multiplikativa funktioner är inte alltid fullt multiplikativ. $f$ $f(g*h)=(fg)*(fh)$

Dirichlets överklagande

För varje funktion , för vilken det finns en funktion som ( är enheten för ringen i multiplikation), kallas Dirichlet-inversionen av funktionen . $f$ $f(1)\nekv 0$ $g$ $f*g=\epsilon$ $\epsilon$ $f$

Dirichlet-inversionen av identitetsfunktionen är Möbius-funktionen , därför följer många resultat, särskilt: $1(n)=1$

g=f*1\vänsterhögerpil f=g*\mu

( Möbius inversionsformel ),

\lambda *|\mu |=\epsilon

, var är Liouville-funktionen ,

\lambda

\lambda *1=1_{S},

var är mängden kvadrater.

S=\{1;4;9;16;...\}

Relation till Divisors-funktionen : ${\displaystyle \sigma _{k))$

\sigma _{k}(n)=\summa \limits _{{d\mid n}}d^{k}

genom att summera den -e potensen av divisorerna för ett tal, är ett antal anmärkningsvärda egenskaper också associerade med faltning: $k$

\sigma _{1}=\operatörsnamn {Id} *1

( är en konstant funktion ),

\operatörsnamn {Id}

\operatörsnamn {Id} (n)=n

\sigma _{k}=\operatörsnamn {Id} _{k}*1

( argumentets -th power : ),

\operatörsnamn {Id}_{k}

k

{\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k))

\tau =1*1

(här är antalet delare av talet ),

\tau=\sigma _{0}

n

\operatörsnamn {Id} =\sigma _{1}*\mu

1=\tau*\mu

\tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}

Relation med Euler-funktionen : $\varphi$

\varphi *1=\operatörsnamn {Id}

\sigma _{1}=\varphi *\tau

Förhållande med Jordan tillient : ${\displaystyle J_{k))$

J_{k}*1=\operatörsnamn {Id}

{\displaystyle (\operatörsnamn {Id} _{s}J_{r})*J=J_{s+r))

Relation med Mangoldt-funktionen : $\lambda$

\Lambda *1=\ln

Dirichlets överklagande

Om en aritmetisk funktion ges , då kan dess Dirichlet-inversion beräknas rekursivt (mer exakt, varje värde uttrycks i termer av för ) genom definitionen av Dirichlet-inversionen. $f$ $g=f^{{-1}}$ $g(n)$ $g(m)$ $m<n$

För - definieras vid $n=1$ $g(1)=f^{{-1}}(1)$ $f(1)\nekv 0$

Och i allmänhet för alla : $n>1$

g(n)={\frac {-1}{f(1)}}\summa _{\stackrel {d\mid n}{d<n}}f\left({\frac {n} {d}}\right)g(d)

$g(n)$ definieras om . Således har en funktion en Dirichlet-inversion om och endast om . $f(1)\nekv 0$ $f$ $f(1)\nekv 0$

Dirichlet rankas

För alla aritmetiska funktioner kan dess Dirichlet-serie definieras i termer av genereringsfunktionen som $f$

\operatörsnamn {DG}(f;s)=\sum \limits _{{n=1}}^{{+\infty }}{\frac {f(n)}{n^{s}}}

för alla sådana komplexa argument som serien konvergerar för. Produkten i Dirichlet-serien är relaterad till dess Dirichlet-falsning enligt följande: $s$

\operatörsnamn {DG}(f;s)\operatörsnamn {DG}(g;s)=\operatörsnamn {DG}(f*g;s)

för alla för vilka båda serierna till vänster konvergerar , och åtminstone en konvergerar absolut (i det här fallet innebär den vanliga konvergensen för båda serierna till vänster inte konvergensen av serierna till höger). Detta förhållande påminner strukturellt om konvergenssatsen för Fourierserier (där Fouriertransformens roll spelas av Dirichletserien). $s$

Anteckningar

↑ Chen, 2009 , Bevis presenteras i kapitel 2.

Länkar

Chan Heng Huat. Analytisk talteori för studenter . - World Scientific Publishing Company , 2009. - ISBN 981-4271-36-5 .
Hugh L. Montgomery; Robert C Vaughan. Multiplikativ talteori I. Klassisk teori (engelska) . - Cambridge: Cambridge University Press , 2007. - Vol. 97. - S. 38. - (Cambridge-traktater i avancerad matematik). - ISBN 0-521-84903-9 .
En klass av restsystem (mod r) och relaterade aritmetiska funktioner. I. En generalisering av Möbius inversion, s. 13-23.
Aritmetiska funktioner associerade med enhetsdelare för ett heltal, s. 66-80.
Antalet enhetsdelare för ett heltal , s. 879-880.
Om ett heltals oändliga delare, s. 395-411.
Aritmetiska funktioner associerade med infinitära delare av ett heltal, s. 373-383.
Sandor, Jozsef; Berge, Antal. Möbiusfunktionen: generaliseringar och förlängningar // Adv . Hingst. Contemp. Matematik. (Kyungshang): journal. - 2003. - Vol. 6 . - S. 77-128 .
Finch, Steven Unitarism and Infinitarism (otillgänglig länk) (2004). Arkiverad från originalet den 1 september 2006. (obestämd)