Sadelpunkt

En sadelpunkt i matematisk analys  är en punkt från domänen av en funktion som är stationär för en given funktion , men som inte är dess lokala extremum . Det är en jämviktspunkt i rena strategier . Vid en sådan punkt, om en funktion av två variabler beaktas, liknar ytan som bildas av grafen för funktionen vanligtvis en sadel eller ett bergspass i form  - konvex i en riktning och konkav i den andra. På en höjdkarta kan en sadelpunkt i allmänhet hittas vid skärningspunkten mellan isoliner . Till exempel bildar två kullar, mellan vilka det finns ett högt pass , en sadelpunkt överst i detta pass : på höjdkartan kommer detta att se ut som mitten av de "åtta" som bildas av motsvarande isoliner .

Sadelpunkt i kalkyl

Du kan kontrollera om en given stationär punkt för en funktion F ( x , y ) av två variabler är en sadelpunkt genom att beräkna den hessiska matrisen för funktionen vid denna punkt: om hessian är en obestämd kvadratisk form , så är denna punkt en sadelpunkt. Till exempel, genom att kompilera den hessiska matrisen för funktionen vid en stationär punkt , får vi matrisen:

vilket är odefinierat. Därför är poängen med denna funktion en sadelpunkt. Ovanstående kriterium ger emellertid endast ett tillräckligt villkor för närvaron av en sadelpunkt. Till exempel är sadelpunkten för funktionen , men den hessiska matrisen i detta fall kommer att vara en nollmatris, som per definition inte kan kallas obestämd.

I det allmänna fallet är en sadelpunkt för en jämn funktion ( vars graf visar en kurva , yta eller hyperyta ) en stationär punkt i närheten av vilken den givna kurvan/ytan/hyperytan inte ligger helt på ena sidan av tangentrymden vid den givna punkten.

I fallet med en funktion av en variabel är en sadelpunkt en som är både en stationär punkt och en inflexionspunkt (en inflexionspunkt är inte ett lokalt extremum ).

Se även

Litteratur