Levi-Civita symbol

Levi-Civita-symbolen är en matematisk symbol som används i tensoranalys . Uppkallad efter den italienske matematikern Tullio Levi-Civita . Utsedda . Här är en symbol för ett tredimensionellt utrymme, för andra dimensioner ändras antalet index (se nedan). $\varepsilon_{ijk}$

Andra namn:

absolut antisymmetrisk enhetstensor ,
den helt antisymmetriska enhetstensorn ,
absolut snedsymmetriskt objekt ,
Levi-Civita-tensorn (Levi-Civita-symbolen är en komponentnotation av denna tensor),
skev-symmetrisk Kronecker-symbol (denna term användes i läroboken om tensorkalkyl av Akivis och Goldberg).

Definition

I ett tredimensionellt utrymme, i en rätt ortonormal basis (eller i allmänhet i en rätt bas med en enhetsdeterminant av metriken), definieras Levi-Civita-symbolen enligt följande:

\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&P(i,j,k)=+1,\\-1,&P(i,j,k)=-1,\\ 0,&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}

det vill säga för en jämn permutation av index i , j , k är den lika med 1 (för trippel (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), för en udda permutation är det lika med -1 (för tripletter (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)), och i andra fall är det lika med noll (i närvaro av upprepade index). För komponenterna i den vänstra basen tas motsatta siffror. $\varepsilon_{ijk}$

För det allmänna fallet (godtyckliga sneda koordinater med högerhänta basvektorer) ändras denna definition vanligtvis till

\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+{\sqrt {g)),&P(i,j,k)=+1,\\-{\sqrt {g)),&P( i,j,k)=-1,\\0&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}

där är determinanten för matrisen för den metriska tensorn , som är kvadraten på volymen av parallellepipeden som sträcks av basen. För komponenterna i den vänstra basen tas motsatta siffror. $g$ $g_{ij}$ $\varepsilon_{ijk}$

En sådan uppsättning komponenter är en (sann) tensor . Om, som ibland görs i litteraturen, ovanstående formler används som en definition för vilket som helst - både höger och vänster - koordinatsystem, kommer den resulterande uppsättningen av tal att representera en pseudotensor . I det här fallet blir det samma, men med en ersättning för $\varepsilon_{ijk}$ $\varepsilon_{ijk}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{ijk))$ ${\sqrt {g))$ $1/{\sqrt {g}).$

$\varepsilon_{ijk}$ kan också definieras som den blandade produkten av basvektorerna där symbolen appliceras:

\varepsilon _{ijk}=[{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{j}{\vec {e}}_{k}].

Denna definition är för vilken höger- eller vänsterbas som helst, eftersom teckenskillnaden för vänster och höger bas är i den blandade produkten. Det absoluta värdet för varje komponent som inte är noll är lika med volymen av parallellepipeden som sträcks av basen . Tensorn, som förväntat, är antisymmetrisk med avseende på vilket par av index som helst. Definitionen motsvarar ovanstående. $\{{\vec {e_{i))}\}$

Ibland använder de en alternativ definition av Levi-Civita-symbolen utan en multiplikator i några baser (det vill säga så att alla dess komponenter alltid är lika med ±1 eller 0, som i definitionen ovan för ortonormala baser). I det här fallet är det inte i sig en representation av en tensor. Multiplicerad med objektet (sammanfaller med i definitionen ovan och är en tensor) betecknas i detta fall med en annan bokstav och brukar kallas ett volymelement . Vi följer Levi-Civitas definition här. (Denna anmärkning gäller inte bara för tredimensionellt utrymme, utan även för alla dimensioner.) ${\sqrt {g))$ ${\sqrt {g))$ $\varepsilon_{ijk}$

Geometrisk känsla

Som kan ses redan från definitionen genom den blandade produkten, är Levi-Civita-symbolen associerad med en orienterad volym och ett orienterat område, representerat som en vektor.

I tredimensionell (euklidisk) rymd, den blandade produkten av tre vektorer

{\displaystyle V=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k))

är en orienterad volym ( en pseudoskalär vars modul är lika med volymen, och tecknet beror på orienteringen av trippeln av vektorer) av parallellepipeden spänns av tre vektorer , och . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

Vektorprodukt av två vektorer

S_{i}=\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}

är det orienterade området av ett parallellogram vars sidor är vektorer och representeras av en pseudovektor vars längd är lika med arean och vars riktning är ortogonal mot parallellogrammets plan. ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Denna betydelse bevaras för varje rymddimension n , om vi naturligtvis tar den med lämpligt antal index, efter volym förstår vi den n -dimensionella volymen och av arean - ( n − 1)-dimensionell (hyper- ) område. I detta fall inkluderar naturligtvis motsvarande formel n och ( n − 1) vektorer — faktorer. Till exempel, för ett 4-dimensionellt (euklidiskt) utrymme: $\varepsilon$

V=\varepsilon _{{ijkm}}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m},

S_{i}=\varepsilon _{{ijkm}}a^{j}b^{k}c^{m}.

Egenskaper

Determinanten för en 3×3 matris A kan skrivas (här menar vi standarden och därmed den ortonormala basen ) som ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\ \\end{vmatrix}}=\summa _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.$
Vektorprodukten av två rymdvektorer skrivs genom denna symbol: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}^ {i}a^{j}b^{k}={\vec {c}}$ , var är dess komponenter och är basvektorer. $c_{i}=\summa _{{j,k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}a^{j}b^{k}$ ${\vec {e}}^{i}$
Blandad produkt av vektorer också: $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}]=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a ^{i}b^{j}c^{k}.$
I följande formel betecknar Kronecker-symbolen : $\delta$ $\varepsilon _{{ijk}}\varepsilon ^{{lmn}}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{l}&\delta _{i}^{m}&\delta _{i }^{n}\\\delta _{j}^{l}&\delta _{j}^{m}&\delta _{j}^{n}\\\delta _{k}^{l }&\delta _{k}^{m}&\delta _{k}^{n}\\\end{vmatrix}}.$
Att summera över ett gemensamt index ger $\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _ {km}.$
I fallet med två delade index kollapsar tensorn så här: $I j$ $\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}.$

(Överallt här, vid ortonormal basis, kan alla index helt enkelt skrivas om till lägre.)

Generalisering till fallet med n dimensioner

Levi-Civita-symbolen kan lätt generaliseras till valfritt antal dimensioner större än en, med hjälp av definitionen i termer av pariteten av indexpermutationer :

$\varepsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{matrix}\!\\\!\\\!\end{matrix}}\right.$	$+{\sqrt{g}),$ om det finns en jämn permutation av uppsättningen $(i,j,k,l,\dots )$ $(1,2,3,4,\dots );$
	$-{\sqrt{g}),$ om det finns en udda permutation av uppsättningen $(i,j,k,l,\dots )$ $(1,2,3,4,\dots );$
	$0$ om minst två index är lika.

Det vill säga, det är lika med tecknet (signum) för permutationen , multiplicerat med roten av determinanten för metriken i fallet när indexen tar värden som implementerar permutationen av mängden , och i andra fall noll . (Som du kan se är antalet index lika med utrymmets dimension .) ${\sqrt {g}}={\sqrt {\det {\{g_{ij}\))))$ $(1,2,3,\dots,n)$ $n$

I pseudo-euklidiska utrymmen , om signaturen av metriska är sådan att , tar man vanligtvis istället för det för att göra det verkligt. $g<0$ $-g$ ${\sqrt {g))$
I alla dimensioner där Levi-Civita-symbolen är definierad representerar den en tensor (vilket i huvudsak betyder att man måste se till att antalet symbolindex matchar rummets dimension). Dessutom, som framgår av ovanstående, kan det finnas vissa svårigheter med den vanliga definitionen av Levi-Civita-symbolen i utrymmen där den metriska tensorn inte är definierad, eller säg eller . $\det {\{g_{ij}\}}=0$ $\det {\{g^{ij}\}}=0$

Det kan visas att mätningar har egenskaper som liknar tredimensionella: $n$

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{ijk\dots }=n!$

- vilket beror på det faktum att det finns permutationer av mängden , och därför finns det samma antal komponenter som inte är noll med index.

n!

(1,2,3,\dots,n)

\varepsilon

n

$\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{pqr\dots }={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{p}&\delta _{i}^{q}&\delta _{i}^{r}&\dots \\\delta _{j}^{p}&\delta _{j}^{q}&\delta _{j}^{r}&\dots \\ \delta _{k}^{p}&\delta _{k}^{q}&\delta _{k}^{r}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\ \end{vmatrix}}.$

Efter att ha utökat determinanten visas en multiplikator och förenklingar görs i motsvarande Kronecker-symboler.

n!

Pseudo-skalär produkt av två vektorer i tvådimensionellt utrymme: ${\vec {a}}\vee {\vec {b}}=\sum _{i,j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j} .$

Storleksmatrisdeterminanten kan enkelt skrivas med den -dimensionella Levi-Civita-symbolen $A$ $n\ gånger n$ $n$ $\det {A}=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }A_{1i}A_{2j}A_{3k}\cdots =\summa _{i_{1},i_{2},i_{3},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3} \cdots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}A_{3i_{3}}\cdots A_{ni_{n}},$

vilket i själva verket bara är definitionen av determinanten (en av de vanligaste) som skrivs om med denna symbol. Här antas basen vara standard, och komponenterna som inte är noll antar här värdena .

\varepsilon _{ijk\ldots }

\pm 1

En direkt -dimensionell generalisering av korsprodukten av bitar ( -dimensionella) vektorer: $n$ $n-1$ $n$ ${\vec {p}}=({\vec {a}}\times {\vec {b}}\times {\vec {c}}\times \ldots }=\summa _{i,j ,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }{\vec {f))^{i}a^{j}b^{k}c^{m}\ldots ,$

var är dess komponenter och är basvektorer. (Här, för korthets skull, skriver vi ner uttrycket för de kovarianta komponenterna och expansionen i den dubbla basen.)

p_{i}=\sum _{j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots}a^{j}b^{k}c^{m} \ldots

{\vec {f}}^{i}

En direkt -dimensionell generalisering av den blandade produkten av bitar ( -dimensionella) vektorer: $n$ $n$ $n$ $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}\ldots ]=\summa _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots .$

Icke-indexerad notation (för n dimensioner)

I icke-indexerad tensornotation ersätts Levi-Civita-symbolen av en dualitetsoperator som kallas Hodge asterisk , eller helt enkelt asteriskoperatorn:

(*\eta )_{{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{{nk))))={\frac {1}{k!}}\eta ^{{j_{1} ,\ldots ,j_{k}}}\varepsilon _{{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{{nk}}}}

(för en godtycklig tensor, givet Einsteins summationsregel ). $\eta ,$

Se även

Länkar

Hermann R. (red.), Ricci och Levi-Civita's tensor analysis papers , (1975) Math Sci Press, Brookline (för symboldefinition se s. 31).
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation , (1970) W. H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0 . (Se avsnitt 3.5 för en översikt över tillämpningen av tensorer i allmän relativitetsteori ).
Ryska översättning: C. Mizner, K. Thorn, J. Wheeler, Gravity . - M . : Mir, 1977 (Se index - Levi-Civita tensor).
Dimitrienko Yu. I., Tensor calculus , M . : Higher school, 2001. - 575 sid.