Christoffel symboler

Christoffel-symboler (eller Christoffeli ) är koefficienterna för koordinatuttrycket för den affina anslutningen , i synnerhet Levi-Civita-förbindelsen . Uppkallad efter Elvin Bruno Christoffel . Används inom differentialgeometri , allmän relativitetsteori och relaterade gravitationsteorier . Visas i koordinatuttrycket för krökningstensorn . Samtidigt är symbolerna i sig inte tensorer.

Betecknas vanligtvis med ; ibland, efter Christoffels ursprungliga notation, används symbolen [1] ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k))$ $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}.$

Nedan används Einsteins summeringsregel , d.v.s. över upprepade upphöjda och nedsänkta, antyds summering.

Historik

Symboler dök först upp i Christoffels artikel "Om omvandlingen av homogena differentialuttryck av andra graden" ( tyska: Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades - J. fur Math., nr 70, 1869). I den övervägde författaren villkoren för sammanträffandet av Riemannsk geometri , definierad av två olika metriska former. Oberoende av Christoffel löstes ett liknande problem av Rudolf Lipschitz , vars artikel dök upp ett år senare [1] .

Ett elementärt koncept av Christoffel-symboler

Introduktion

En visuell representation av Christoffel-symbolerna kan erhållas med exemplet med ett polärt koordinatsystem . I detta system är koordinaterna för en punkt avståndet från den till polen och riktningsvinkeln från polaxeln. ${r}$ $\varphi$

Koordinaterna för vektorn , som i det rektangulära koordinatsystemet , bör betraktas som differentialer (oändligt små steg) av dessa kvantiteter: . $({\rm d}r,\,{\rm d}\varphi)$

Låt det finnas en vektor med komponenter , där har den geometriska betydelsen av projektionen av vektorn på den radiella strålen (passerar genom början av vektorn), och är den vinkel med vilken vektorn ses från polen. I ett rektangulärt koordinatsystem ändras inte vektorkomponenterna under parallell translation. Detta är inte fallet i det polära koordinatsystemet ( se figurerna 1 och 2 ). $\boldsymbol A$ $(a,\,\alfa)$ $a$ $\boldsymbol A$ $\alfa$

Christoffel-symbolerna uttrycker bara förändringen i vektorkomponenterna under dess parallella överföring.

Parallell översättning längs koordinatlinjer

När vektorn förskjuts längs den radiella strålen med ett avstånd ändras dess komponent uppenbarligen inte, men dess andra koordinat ( ) minskar ( Fig. 1 ). Vektorns värde förblir därför oförändrat . Härifrån visar det sig (om man försummar värdena för den andra och högre ordningen av litenhet ): ${\rm d}r$ $a$ $\alfa$ $|A|^2= a^2 + r^2\alfa^2$ $a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r.

Parallell translation längs bågen ändrar både koordinater och ( Fig. 2 ). Uppenbarligen, , , och därför: $a$ $\alfa$ $\alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda$ $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.

Dessutom, sedan , , och , då $a=A\cos\lambda$ ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$ $A\sin\lambda=r\alfa$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

Parallell översättning i en godtycklig riktning

För en godtycklig liten förskjutning av vektorn (när både och och ändras), måste ändringarna i komponenterna läggas till : $r$ $\varphi$

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi .

De resulterande uttrycken har en gemensam struktur: förändringen i vektorkomponenterna är proportionell mot alla komponenter i vektorn och proportionell mot storleken på vektorskiftet. Proportionalitetskoefficienterna (utan ett gemensamt minus) kallas Christoffel-symboler .

I mer allmän notation kan , , och skrivas (kom ihåg summan över upprepade index ): $x^1=r$ $x^2=\varphi$ ${A^1=a}$ $A^2=\alfa$

{\rm d}A^i=-\Gamma^{i}_{kl}A^k {\rm d}x^l.

Här är Christoffel-symbolerna , , och alla andra lika med noll. ${\Gamma^1_{22}=-r}$ $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r$

I ett rektangulärt koordinatsystem är alla Christoffel-symboler lika med noll, eftersom vektorkomponenterna inte förändras under parallell translation. Av detta kan man dra slutsatsen att Christoffel-symbolerna inte bildar en tensor : om en tensor är noll i något koordinatsystem så är den noll i alla andra koordinatsystem.

Christoffel-symboler av första och andra slaget

Christoffel-symbolerna av det andra slaget kan definieras som koefficienterna för expansionen av den kovarianta derivatan av koordinatvektorer med avseende på basen: $\Gamma^{k}_{ij}$ $\partial_i=\frac{\partial }{\partial x^i}$

\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}=\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}.

Christoffel symboler av det första slaget : $\Gamma^{}_{n,ij}$

\Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in} }{\partial x^{j))}+{\frac {\partial g_{jn)){\partial x^{i))}-{\frac {\partial g_{ij)){\partial x^ {n}}}\höger).

Uttryck i termer av metrisk tensor

Christoffel-symbolerna för Levi-Civita-förbindelsen för en karta kan bestämmas från frånvaron av vridning, det vill säga $x^i$

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj},

och villkoret att den kovarianta derivatan av den metriska tensorn är lika med noll: $g_{{ik}}$

0=\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik)){\partial x^{\ell ))}-g_{mk}\Gamma ^{m} {}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.

För att förkorta beteckningen utelämnas ofta nabla-symbolen och partiella derivatsymboler, istället för dem placeras ett semikolon ";" före indexet med vilket differentieringen görs. i fallet med kovariant och komma "," i fallet med partiell derivata. Så uttrycket ovan kan också skrivas som $\nabla$

0=g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell}-g_{im}\Gamma ^{m} {}_{k\ell }.

Explicita uttryck för Christoffel-symbolerna av det andra slaget erhålls genom att lägga till denna ekvation och de andra två ekvationerna, som erhålls genom cyklisk permutation av index:

\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell ))}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell}}{\partial x ^{m))}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m }),

där är den kontravarianta representationen av metriska, som är matrisen invers till , hittas genom att lösa systemet med linjära ekvationer . $g^{ij}$ $g_{ij}$ ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i))$

Invariant notation

Invariant notation för anslutning är abstraherat från ett specifikt koordinatsystem och är därför mer att föredra för att bevisa matematiska satser.

Låt X och Y vara vektorfält med komponenter och . Då ges den k -: te komponenten av den kovarianta derivatan av fältet Y med avseende på X av $X^{i}$ $Y^{k}$

\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac { \partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\right).

Det vridningsfria tillståndet för en anslutning :

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]

motsvarar symmetrin hos Christoffel-symbolerna i två subskript:

\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.

Ändring av koordinater

Även om Christoffel-symbolerna är skrivna i samma notation som komponenterna i tensorer , är de inte tensorer eftersom de inte transformeras som tensorer när de byter till ett nytt koordinatsystem. I synnerhet, genom att välja koordinater i närheten av någon punkt, kan Christoffel-symbolerna lokalt göras lika med noll (eller tillbaka icke-noll), vilket är omöjligt för en tensor.

När variabler ersätts av basvektorer, transformerar de kovariant: $(x^{1},\dots,x^{n})\$ $(y^{1},\dots,y^{n})$

{\frac {\partial }{\partial y^{i))}={\frac {\partial x^{k)){\partial y^{i))}{\frac {\partial } {\partial x^{k))},

varifrån Christoffels symbolomvandlingsformel följer:

{{\bar {\Gamma }}^{k}{}_{ij}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\ frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\ partiell x^{r))}+{\frac {\partial y^{k)){\partial x^{r))}\,{\frac {\partial ^{2}x^{r)){ \partial y^{i}\partial y^{j}}}.

Bindestrecket betyder y -koordinatsystemet . Christoffel-symbolerna förvandlas alltså inte som en tensor. De representerar ett mer komplext geometriskt objekt i tangentrymden med en icke-linjär transformationslag från ett koordinatsystem till ett annat.

Obs ! Man kan till exempel se av definitionen att det första indexet är tensoriellt, det vill säga enligt det transformeras Christoffel-symbolerna som en tensor.

Christoffel-symboler i olika koordinatsystem

Genom att använda symbolens uttryck genom den metriska tensorn , eller genom att transformera koordinater, kan du få deras värden i vilket koordinatsystem som helst. Inom mekanik och fysik är ortogonala kurvlinjära koordinatsystem vanligast . I det här fallet uttrycks Christoffel-symbolerna med lika koefficienter i termer av Lamé-koefficienterna (diagonala element i den metriska tensorn) , och alla andra är noll. $H_\beta$

Christoffel-symbolerna av det första slaget uttrycks enligt följande:

\Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-H_{\beta }H_{\gamma }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}

på

\beta \neq \gamma ,

\Gamma _{\beta \gamma ,\beta }=H_{\beta }{\frac {\partial H_{\beta )){\partial x^{\gamma ))}.

Christoffel-symboler av det andra slaget:

\Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }^{2}}}{\frac {\partial H_{\ beta }}{\partial x^{\gamma }}}

på

\beta \neq \gamma ,

\Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta ))}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.

Värden för vanliga koordinatsystem:

I det kartesiska koordinatsystemet : , så är den kovarianta derivatan densamma som den partiella derivatan. $\{x,y,z\}$ $\Gamma _{ij}^{k}\equiv 0$
I ett cylindriskt koordinatsystem : , . Resten är noll. $\{r,\phi ,z\}$ $\Gamma _{22}^{1}=-r$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r))$
I det sfäriska koordinatsystemet : , , , , . Resten är noll. ${\displaystyle \{r,\theta ,\phi \))$ $\Gamma _{22}^{1}=-r$ $\Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta$ $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}$ $\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta$ $\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\operatörsnamn {ctg} \theta$

Variationer och generaliseringar

Skillnaden mellan två affina anslutningar

\Gamma _{X}Y=\nabla _{X}Y-{\tilde {\nabla }}_{X}Y

är en tensor. Om de definieras i kartan som en koppling där tensorfälten med konstanta komponenter är parallella, är Christoffels komponenterna i den resulterande tensorn . I detta fall innebär frånvaron av torsion för båda anslutningarna tensorns symmetri ${\tilde {\nabla ))$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$ $\Gamma$

\Gamma _{X}Y=\Gamma _{Y}X

Du kan välja en annan basanslutning . Till exempel genom att deklarera ett godtyckligt fält av ortonormala ramar parallellt; så här görs det i metoden med rörlig ram . Eftersom anslutningen i det här fallet kan ha en vridning som inte är noll , då i allmänhet . Men eftersom båda anslutningarna är Riemannska, gäller en annan lika användbar relation: ${\tilde {\nabla ))$ ${\tilde {\nabla ))$ $\Gamma _{X}Y\neq \Gamma _{Y}X$

\langle \Gamma _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\Gamma _{X}Z\rangle =0

Med andra ord är det en 1-form på ett grenrör med värden i antisymmetriska operatorer på tangentrymden. $\Gamma$ $\Gamma _{X}$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 1800-talets matematik. Volym II: Geometri. Theory of Analytic Functions / Ed. Kolmogorova A. N. , Yushkevich A. P. . - M. : Nauka, 1981. - S. 89. - 270 sid.

Litteratur

Dimitrienko Yu. I. Tensorkalkyl. - M . : Högre skola, 2001. - 575 sid. — ISBN 5-06-004155-7 .

Pobedrya B.E. Föreläsningar om tensoranalys. - M . : Moscow Universitys förlag, 1974. - 206 sid.

Chernavsky A. V. Differentialgeometri, 2 kurs .