Symmetrisk skillnad

Den symmetriska skillnaden mellan två mängder är en mängdteoretisk operation, vars resultat är en ny mängd som inkluderar alla element i originalmängderna som inte samtidigt tillhör båda originalmängderna. Med andra ord, om det finns två uppsättningar och , är deras symmetriska skillnad föreningen av element som inte är med element som inte är i . I skrift används notationen för att beteckna den symmetriska skillnaden mellan mängder och , notationen eller [1] används mindre vanligt . $A$ $B$ $A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$ $A\,{\dot {-}}\,B$ $A+B$

Definition

Den symmetriska skillnaden kan anges på två sätt:

den symmetriska skillnaden mellan två givna uppsättningar och är en sådan uppsättning , som inkluderar alla de element i den första uppsättningen som inte ingår i den andra uppsättningen, såväl som de element i den andra uppsättningen som inte ingår i den första uppsättningen: $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right).

den symmetriska skillnaden mellan två givna uppsättningar och är en sådan uppsättning som inkluderar alla de element i båda uppsättningarna som inte är gemensamma för de två givna uppsättningarna. $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\cup B\right)\setminus \left(A\cap B\right).

Konceptet med en symmetrisk skillnad kan generaliseras till mer än två uppsättningar .

Egenskaper

Den symmetriska skillnaden är en binär operation på valfri boolesk ;
Den symmetriska skillnaden är kommutativ :

A\bigtriangleup B=B\,\triangle \,A;

Symmetrisk skillnad är associativ :

\left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triangle \,C\right);

Skärningen av mängder är distributiv med avseende på den symmetriska skillnaden:

A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);

Den tomma uppsättningen är det neutrala elementet i den symmetriska skillnaden:

A\bigtriangleup \varnothing =A;

Varje uppsättning är omvänd till sig själv med avseende på den symmetriska skillnadsoperationen:

A\bigtriangleup A=\varnothing ;

I synnerhet är en boolesk grupp med en symmetrisk skillnadsoperation en abeliaansk grupp ;
Boolean med den symmetriska skillnadsoperationen är också ett vektorrum över fältet $\mathbb {Z} _{2}.$
I synnerhet är Boolean med uppsättning skärningspunkter och symmetriska differensoperationer en algebra med enhet .
$\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$
$\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$
$\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$

Om rollen som "summa" spelas av operationen av en symmetrisk skillnad, och rollen som "produkt" spelas av skärningspunkten mellan uppsättningar , bildar uppsättningarna en ring med enhet . Dessutom kan andra grundläggande operationer av mängdteori, skillnad och förening uttryckas genom dem: