Lagrange fästen
Lagrange-parenteser är en binär operation i Hamiltonsk mekanik, nära besläktad med en annan binär operation, Poisson-parenteser . Lagrangeparenteser introducerades av Lagrange 1808-1810 för matematiska uttryck inom klassisk mekanik . Till skillnad från Poisson-fästen används Lagrange-fästen praktiskt taget inte nuförtiden.
Definition
Låt ( q 1 , …, q n , p 1 , …, p n ) vara ett system av kanoniska koordinater i fasrummet . Om var och en av dem uttrycks som en funktion av två variabler, u och v , så definieras Lagrange-parenteserna för u och v av formeln
![{\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i)){\partial u)){\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\ höger).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05cf21cdb0f56601481458108913aab286f8349)
Det bör noteras att denna formel sammanfaller med definitionen av Poisson-parenteser upp till en permutation av täljare och nämnare i de partiella derivatoperatorerna.
Egenskaper
- Lagrange-parenteser (som Poisson-parenteser) är antikommutativa , vilket är uppenbart direkt från definitionen:
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=-[v,u]_{q,p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816cbee5211de2b81419c9020357c2cf13fa9b4e)
- Lagrangeparenteserna är inte beroende av det kanoniska koordinatsystemet ( q , p ) . Om ( Q , P ) = ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) är ett annat kanoniskt koordinatsystem, då
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39051426dab031895942d32aa708c5f895a50060)
- Om Ω är ett symplektiskt rum i ett 2n -dimensionellt fasrum W och u 1 , …, u 2 n bildar ett koordinatsystem i W , så kan de kanoniska koordinaterna ( q , p ) uttryckas som funktioner av koordinaterna u och Lagrange fäste matris
![{\displaystyle [u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d318870736b9e6f792068eb0bc938658ca24815)
- Som en konsekvens av de tidigare egenskaperna är koordinaterna ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) i fasrummet kanoniska om och endast om Lagrange-parenteserna mellan dem är av formen
![{\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{ i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb6a6f9cf25ec9d855845b153d7b81c97394963)
Se även
Litteratur
- Cornelius Lanczos . Mekanikens variationsprinciper. - Dover, 1986. - ISBN 0-486-65067-7 .
- Patrick Iglesias. Les origines du calcul symplectique chez Lagrange // L'Enseign. Matematik. - 1998. - T. (2) 44 , nr. 3-4 . — S. 257–277 . MR : 1659212
Länkar
- Eric W. Weisstein . Lagrange bracket (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
- A. P. Soldatov. Encyclopedia of Mathematics / Hazewinkel, Michiel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .