Spin-orbit interaktion

Spin-omloppsinteraktion - i kvantfysik , interaktionen mellan en rörlig partikel och dess eget magnetiska moment på grund av partikelns spinn . Det vanligaste exemplet på en sådan växelverkan är växelverkan mellan en elektron som finns i en av banorna i en atom med eget spinn. En sådan interaktion leder i synnerhet till uppkomsten av den så kallade fina strukturen av elektronens energispektrum och splittringen av atomens spektroskopiska linjer.

Härledning av spin-omloppsbanan Hamiltonian

Spin-omloppsinteraktion är en relativistisk effekt , därför, för att härleda den del av Hamiltonian som motsvarar denna interaktion, bör man utgå från Dirac-ekvationen med bidraget från det externa elektromagnetiska fältet beaktat i Hamiltonianen med vektorpotentialen A och skalärpotentialen φ, för vilken du, i Dirac-ekvationen, enligt den lagrangska formalismen [1] måste ersätta

{\mathbf {p}}\rightarrow {\mathbf {p}}-(e/c){\mathbf {A}}

och

E\högerpil E+e\varphi

Som ett resultat tar Dirac-ekvationen formen:

i\hbar {{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}=[c{\boldsymbol \alpha }({\mathbf p}-{{\frac {e}{c}}}{\ mathbf A})+\beta mc^{2}+e\varphi ]\psi

var $\beta ={\begin{pmatrix}{\mathbf 1}&0\\0&-{\mathbf 1}\\\end{pmatrix)),\quad {\boldsymbol \alpha }={\begin{pmatrix}0&{ \boldsymbol \sigma }\\{\boldsymbol \sigma }&0\\\end{pmatrix}}$

$\sigma _{i}$ är Pauli-matriserna

\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix)),\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\ end{pmatrix)),\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix)),\quad \ {\mathbf 1}={\begin{pmatrix }1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}.

Av denna Hamiltonian kan man se att vågfunktionen ψ måste vara fyrkomponent, och det är känt att två av dess komponenter motsvarar lösningar med positiv energi och två med negativ energi. Rollen för lösningar med negativ energi är liten när man överväger frågor relaterade till magnetiska fenomen, eftersom hål i spektrumet av negativ energi motsvarar positroner , för vars bildning en energi av storleksordningen , som är mycket högre än energin som är förknippad med magnetiska fenomen, behövs. I samband med ovanstående är det lämpligt att använda den kanoniska Foldy- och Wouthuizen-transformationen [2] , som delar upp Dirac-ekvationen i ett par tvåkomponentsekvationer. Den ena beskriver lösningar med negativ energi, och den andra med positiv energi, och har Hamiltonian av följande form: $mc^{2}$

{\mathcal H}=\left[mc^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(({\mathbf p}}-{\frac {e}{c}}{{\mathbf A}}\right)^{2}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}\right]+{e\varphi}-{\frac {e\ hbar }{2mc)){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf H}}+\left\{-i({\frac {e\hbar ^{2}}{8m^{2}c ^{2)))){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {\nabla }\times {{\mathbf E}}-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2 }}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}\right\}-{\frac {e\hbar ^{2}}{8m^ {2}c^{2}}}{\nabla }\cdot {{\mathbf E}}.

Termerna som omges av krulliga parenteser kännetecknar spin-omloppsinteraktionen. I synnerhet, om det elektriska fältet är centralt symmetriskt, så har vi , och Hamiltonian för spin-omloppsinteraktionen tar formen: $\nabla \times {\mathbf E}=0$

{\mathcal H}_{{so}}=-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\frac {1}{r}}{\frac { \partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf r}}\times {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{ 2}c^{2)))){{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf L}},

var är operatorn för elektronens rörelsemängd . ${\mathbf L}={\mathbf r}\times {\mathbf p}$

Detta resultat överensstämmer med det klassiska uttrycket som beskriver interaktionen mellan elektronspinnet och fältet på grund av elektronens omloppsrörelse. Låt oss förklara detta.

Det klassiska uttrycket för spin-omloppsinteraktionsenergin för en atomelektron

Låt en elektron röra sig likformigt och rätlinjigt med en hastighet v i fältet för en kärna placerad vid utgångspunkten för koordinatsystemet 1 och som skapar ett Coulomb-fält . I bildruta 2, associerad med den rörliga elektronen, kommer observatören att se en rörlig kärna, som skapar både ett elektriskt och ett magnetiskt fält, med styrkorna E' respektive H' . Som följer av relativitetsteorin är E' och H' relaterade till E genom följande relationer: $e{\mathbf E}=-{{\frac {{\mathbf r}}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}$

{\mathbf E}'={\mathbf E},\quad {\mathbf H}'\approx -{\frac {1}{c)){\mathbf v}\ gånger {\mathbf E}=-{\ frac {1}{mc)){\mathbf p}\ gånger {\mathbf E}.

Där ordervillkor kasseras $v^{2}/c^{2}.$

Då kommer ekvationen för förändringen av momentumets snurrmomentum (associerad, enligt Uhlenbeck-Goudsmit-hypotesen, av det gyromagnetiska förhållandet med det magnetiska momentet som ) i koordinatsystem 2 att ha formen: ${\mathbf S}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol \sigma }{}$ ${\boldsymbol \mu }$ ${\frac {|{\boldsymbol \mu }|}{|{\mathbf S}|}}={\frac {|e|}{mc}}{}$

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}=\mu \times {\mathbf H}'=-{\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{ \boldsymbol \sigma }\times \left[{\mathbf p}\times {\mathbf E}\right].

Denna ekvation motsvarar interaktionen mellan elektronspinnet och det elektromagnetiska fältet, vilket beskrivs av Hamiltonian i följande form:

{\mathcal H}'_{{so}}={\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf p}\times { \mathbf E}.

Observera att formen av Hamiltonian, upp till en faktor på 1/2, sammanfaller med formen av den spin-orbitala delen av Hamiltonian erhållen från Dirac-ekvationen med användning av Foldy- och Wouthuysen-transformationerna. Frånvaron av denna faktor beror på det faktum att ekvationen för att ändra det magnetiska momentet för en elektron kommer att vara sann endast om system 2 inte roterar, annars borde denna ekvation, på grund av Thomas precession , se ut som

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}={\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol \sigma }\ gånger {\mathbf H}'-\omega _{{T} }\ gånger {\mathbf S},

var är Tomos vinkelhastighet för rotation. $\omega _{{T}}$

En elektron i en atom accelereras av ett avskärmat Coulomb-fält; därför beskrivs Tomos vinkelhastighet av relationen

\omega _{{T))\approx {\frac {1}{2m^{2}c^{2))}({\frac {1}{r)){\frac {\partial V}{\ partiell r))}[{\mathbf r}\ gånger {\mathbf p}]

Således kommer Hamiltonian för spin-omloppsinteraktionen att ha formen:

{\mathcal H}_{{so}}={\frac {\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {dV}{dr )){\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}-{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2))}{{\frac {1} {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\times {\mathbf p}={\frac {\hbar }{4m^ {2}c^{2))}{{\frac {1}{r)){\frac {\partial V}{\partial r))}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\ gånger {\mathbf p},

Vilket är exakt samma som föregående resultat.

Se även

Rashba effekt

Anteckningar

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ LLFoldy, SAWouthuysen. Om Dirac-teorin om spin 1/2-partiklar och dess icke-relativistiska gräns // Phys.Rev . : tidning. - 1950. - Vol. 78 . — S. 29-36 . - doi : 10.1103/PhysRev.78.29 .

Litteratur

Stepanov N. F. Kvantmekanik och kvantkemi. -M.:Mir, 2001. - S. 391-398. — 519 sid. -5000 exemplar. -ISBN 5-03-003414-5.
White R. Quantum theory of magnetism / Per. från engelska. — 2:a uppl., rättad. och. Lägg till. — M.: Mir , 1985. — 304 sid.
Björken JD , Drell S.D. Relativistisk kvantteori. Volym 2. - IO NFMI, 2000. - 296 sid.
Jackson J. Klassisk elektrodynamik. — M.: Mir , 1965. — 703 sid.