Lagrangemekanik

Lagrangemekanik är en omformulering av klassisk mekanik som introducerades av Lagrange 1788 . Inom lagrangemekaniken erhålls ett objekts bana genom att hitta en väg som minimerar handlingen - integralen av Lagrangefunktionen över tid. Lagrangefunktionen för klassisk mekanik introduceras som skillnaden mellan kinetisk energi och potentiell energi .

Detta förenklar avsevärt många fysiska problem. Tänk till exempel på en pärla på en båge. Om du beräknar rörelse med hjälp av Newtons andra lag, måste du skriva en komplex uppsättning ekvationer som tar hänsyn till alla krafter som verkar på bågen från sidan av pärlan vid varje tidpunkt. Med användningen av Lagrangiansk mekanik blir det mycket lättare att lösa samma problem. Det är nödvändigt att överväga alla möjliga rörelser av pärlan längs bågen och matematiskt hitta den som minimerar åtgärden. Det finns färre ekvationer här, eftersom det inte är nödvändigt att direkt beräkna effekten av bågen på pärlan vid ett givet ögonblick. Sant, i detta problem finns det bara en ekvation, och den kan också erhållas från lagen om bevarande av mekanisk energi.

Essence of Lagrangian mechanics

Lagrangian och principen om minsta handling

Det mekaniska systemet kännetecknas av generaliserade koordinater och generaliserade hastigheter . Det mekaniska systemet är associerat med Lagrange-funktionen - Lagrangian , beroende på de generaliserade koordinaterna och hastigheterna, och, möjligen, direkt i tiden - . Tidsintegralen för Lagrangian för en given bana kallas handlingen : $q$ ${\dot {q}}$ $L(q,{\dot {q}},t)$ $S$

S=\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}L(q,{\dot {q}}),t)dt

Rörelseekvationerna i lagrangisk mekanik är baserade på principen om minsta (stationära) verkan (Hamiltons princip) - systemet rör sig längs en bana som motsvarar minimiåtgärden (åtminstone i någon liten grannskap av uppsättningen av möjliga banor). Stationaritet innebär att handlingen inte förändras i första ordningen av litenhet med en oändlig förändring i banan, med fasta start- och slutpunkter . Hamiltons princip kan skrivas som $(q_{0},\;t_{0})$ $(q_{1},\;t_{1})$

\deltaS=0.

Varje sådan bana kallas en direkt väg mellan två punkter. Alla andra vägar kallas kringgående .

Man måste vara försiktig och komma ihåg att likheten mellan den första variationen av åtgärden till noll innebär endast dess stationaritet, men inte åtgärdens minimalitet. Det är lätt att se att den funktionella åtgärden i klassisk mekanik inte kan anta ett maximalt värde, eftersom en partikel kan färdas samma väg med högre hastighet, medan dess kinetiska energi kommer att vara större hela vägen, och den potentiella energin kommer inte att förändras , det vill säga åtgärden är inte begränsad från ovan (om du inte inför hastighetsbegränsningar). Två punkter kan dock kopplas ihop på flera sätt, där åtgärden får ett stationärt värde. Det enklaste exemplet är den fria rörelsen av en punkt på en sfär, där det finns oändligt många lika sätt att komma till en diametralt motsatt punkt. Mer komplexa fall är möjliga när punkterna är förbundna med flera direkta vägar, men värdet av åtgärden på dem är annorlunda.

En punkt kallas det konjugerade kinetiska fokuset för punkten om det finns flera direkta vägar genom och . $M_{2}$ $M_{1}$ $M_{1}$ $M_{2}$

I bokstavlig mening är principen om minsta handling endast giltig lokalt. Det finns nämligen

Bobylevs teorem [1] : aktionen längs den direkta banan har det minsta värdet jämfört med rondellbanor om det inte finns något konjugat för det kinetiska fokuset på bågen. $M_{1}M_{2}$ $M_{1}M_{2}$ $M_{1}$

Från Hamilton-principen, i enlighet med variationskalkylen , erhålls Euler-Lagrange-ekvationerna :

${\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0$

Om vi introducerar följande notation

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))$ - generaliserade impulser

$F={\frac {\partial L}{\partial q))$ - generaliserade krafter

då antar Euler-Lagrange-ekvationerna formen

${\frac {dp}{dt}}=F$

Det vill säga i form av en generaliserad Newtons andra lag.

Systemets lagrangian bestäms upp till den totala tidsderivatan av en godtycklig funktion av koordinater och tid. Tillägget av en sådan funktion till Lagrangian påverkar inte formen på rörelseekvationerna.

Lagrangian i tröghetsreferensramar

En fundamentalt viktig egenskap hos Lagrangian är additiviteten för icke-interagerande system - Lagrangian av uppsättningen av icke-interagerande system är lika med summan av deras Lagrangianer. En annan viktig princip inom klassisk mekanik är Galileos relativitetsprincip - likheten mellan lagar i olika tröghetsramar. Dessutom används de allmänna antagandena om homogenitet och isotropi i rummet och tidens homogenitet. Dessa principer betyder invariansen (upp till den specificerade osäkerheten) hos lagrangianen med avseende på vissa transformationer.

I synnerhet för en fritt rörlig ram (materialpunkt) i en tröghetsram, följer det av principerna för homogenitet i rum och tid att Lagrangian måste vara en funktion av hastigheten enbart. Rymdens isotropi innebär att Lagrangian bara beror på hastighetens absoluta värde och inte på riktningen, det vill säga i själva verket . Därefter använder vi relativitetsprincipen. Variationen av Lagrangian är . Denna variation kommer att vara den totala tidsderivatan endast om , varifrån vi får att Lagrangian är direkt proportionell mot kvadraten på hastigheten $L=L(v^{2})$ $\delta L={\frac {\partial L}{\partial v^{2))}2v\delta v$ ${\frac {\partial L}{\partial v^{2}}}=konst$

$L={\frac {m}{2}}v^{2}$

Parametern är, som kan visas från rörelseekvationerna, partikelns massa, och Lagrangian är i huvudsak lika med den kinetiska energin. $m$

Det följer då av rörelseekvationerna att derivatan av Lagrangian med avseende på hastighet är en konstant. Men denna derivata är lika baserad på formen av Lagrangian. Därför är hastighetsvektorn för en fritt rörlig partikel i en tröghetsram konstant (Newtons första lag) $mv$

Av additiviteten hos Lagrangian följer att för ett system av icke-interagerande partiklar kommer Lagrangian att vara lika med

$L=\summa _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}$

I fallet med ett slutet system av interagerande partiklar bör denna Lagrangian kompletteras med en funktion av koordinater (och ibland hastigheter), som beror på interaktionens karaktär.

$L=\summa _{i}{\frac {m_{i}}{2}}v_{i}^{2}-U(r_{1},r_{2},...,r_{n} )$

Lagrangian av ett öppet system i ett externt fält har en liknande form. I detta fall antas funktionerna för fältets koordinater och hastigheter vara givna, så den kinetiska delen av fältet Lagrangian kan ignoreras endast som en funktion av tiden. Därför beskrivs Lagrangian för ett stort system (inklusive ett externt fält) av Lagrangian för det givna systemet plus fältfunktionen för systemets koordinater och hastigheter, och möjligen tid.

För en partikel i ett yttre fält kommer Lagrangian att vara lika med

$L=mv^{2}/2-U(r,t)$

Från detta är det lätt att härleda rörelseekvationerna

$m{\dot v}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}=F$

Detta är Newtons andra lag

Bevarandelagar (integraler av rörelse)

Rymdens och tidens homogenitet och isotropi leder till de mest använda bevarandelagarna - de sk. additiva integraler av rörelse.

Lagen om bevarande av energi

Det följer av tidens homogenitet att Lagrangian därför inte är direkt beroende av tiden

${\frac {dL}{dt))=\summa _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i))}{\dot {q_{i))}+\summa _{i }{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\ddot {q_{i}}}$

Med hjälp av Euler-Lagrange-ekvationerna får vi härifrån

${\frac {dL}{dt}}=\summa _{i}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q} }_{i))}\right){\dot {q_{i}}}+\summa _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}} {\ddot {q_{i))}=\summa _{i}{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))_{ i))}{\dot {q_{i))}\right)$

Härifrån

${\frac {d}{dt}}\left(\summa _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot { q_{i}}}-L\right)=0$

Alltså värdet

$E=\summa _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i))}{\dot {q_{i))}-L=\summa _{i}p_ {i}{\dot {q_{i}}}-L$

kallas energin i systemet förändras inte med tiden. Detta är lagen om energibevarande.

Med hänsyn till formen av Lagrangian för ett slutet system eller ett system beläget i ett externt fält, är det lika med

$L=T(q,{\dot q})-U(q)$

där är en homogen kvadratisk funktion av hastigheter, då får vi baserat på Eulers sats om homogena funktioner $T(q,{\dot q})$

$E=2T-(TU)=T+U$

Således består systemets energi av två komponenter - kinetisk energi och potential.

Lagen om bevarande av momentum

Rymdens homogenitet betyder lagrangians invarians med avseende på parallella översättningar. Vi har för variationen av Lagrangian

$\delta L=\summa _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\delta \mathbf {r} _{i}=\left( \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\right)\delta \mathbf {r} =0$

Eftersom det är godtyckligt har vi $\delta {\mathbf {r}}$

$\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}=0$

Detta förhållande, med hänsyn tagen till det införda konceptet med en generaliserad kraft, innebär att vektorsumman av krafter är lika med noll (i det speciella fallet med två kroppar - handlingen är lika med reaktionen - Newtons tredje lag).

Genom att ersätta denna likhet med Euler-Lagrange-ekvationerna får vi

${\frac {d}{dt}}\left(\summa _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\ höger)=0$

Därför uttrycket inom parentes

$P=\summa _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\summa _{i}m_{i}{\mathbf {v}} _{i}$

som är en vektorstorhet som kallas momentum, bevaras i tiden. Detta är lagen om bevarande av momentum.

Lagen om bevarande av rörelsemängd för ett system av partiklar kan formuleras som enhetligheten och rakheten i rörelsen av systemets tyngdpunkt.

Lag om bevarande av rörelsemängd

Rymdens isotropi betyder invariansen av Lagrangian i ett slutet mekaniskt system med avseende på rotationer. Om vi bestämmer den infinitesimala rotationsvektorn enligt skruvregeln , kommer förändringarna i radievektorn och hastighetsvektorn att vara lika med vektorprodukten av rotationsvektorn respektive radievektorn eller hastighetsvektorn: $\delta {\mathbf {\phi ))$

$\delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}]$ , $\delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]$

Lagrangians invarians betyder det

$\delta L=\summa _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i))}\delta \mathbf {r} _{i}+ {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i))}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\summa _{i}\left(\mathbf {\ punkt {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0$

Genom att här ersätta uttrycken för förändringar i radievektorn och hastighetsvektorn får vi:

$\sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \ phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0$

Med hänsyn till godtyckligheten hos rotationsvektorn kan vi äntligen skriva

${\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0$

Detta betyder att vektorkvantiteten

${\mathbf {M}}=\summa _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]$

är sparad. Denna kvantitet kallas vinkelmomentet eller helt enkelt momentet.

Härledning av Lagrange-ekvationerna från Newtons mekanik

Betrakta en enskild partikel med massa och radievektor . Vi antar att kraftfältet , i vilket och under vilket det gör sin rörelse, kan uttryckas som en gradient av en skalär funktion - potentiell energi (detta villkor uppfylls t.ex. av gravitations- och elektriska fält, och inte genom magnetfält): $m$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {F}$ $V({\mathbf {r)),\;t)$

{\mathbf {F}}=-\nabla V.

En sådan kraft beror inte på derivator , så Newtons andra lag bildar 3 andra ordningens vanliga differentialekvationer . En partikels rörelse kan fullständigt beskrivas av tre oberoende variabler som kallas frihetsgrader . Den uppenbara uppsättningen av variabler är (kartesiska komponenter vid en given tidpunkt). $\mathbf {r}$ $\{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}$ $\mathbf {r}$

Generalisering kan vi arbeta med generaliserade koordinater , , och deras derivator, generaliserade hastigheter . Radievektorn är relaterad till de generaliserade koordinaterna med någon transformationsekvation: $q_{j}$ $q'_{j}$ $\mathbf {r}$

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,

var är antalet frihetsgrader för systemet. $N$

Till exempel, för en plan rörelse av en matematisk pendel med en längd, kommer det logiska valet av den generaliserade koordinaten att vara avvikelsens vinkel från upphängningens vertikala, för vilken transformationsekvationerna har formen $l$ $\theta$

{\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).

Termen generaliserade koordinater är över från den period då kartesiska koordinater var standardkoordinatsystemet.

Betrakta en godtycklig partikelförskjutning. Arbetet som utförs av den applicerade kraften är lika med . Med hjälp av Newtons andra lag skriver vi: $\delta {\mathbf {r}}$ $\mathbf {F}$ $\delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}$

m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.

Låt oss skriva om denna ekvation i termer av generaliserade koordinater och hastigheter. På den högra sidan av jämlikheten,

{\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle { \partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{ i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matris}}

Den vänstra sidan av jämlikheten är mer komplicerad, men efter några permutationer får vi:

m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}=\summa _{i}\left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_ {i}}-{\partial T \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i},

var är partikelns kinetiska energi. Ekvationen för arbete kommer att skrivas i formuläret $T={\frac {m}{2}}{{\dot {{\mathbf {r}}}}}^{2}$

\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot q}_{i}}}-{\partial {(TV)} \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}=0.

Detta uttryck måste vara sant för alla ändringar , så $\delta q_{i}$

\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot q}_{i}}}-{\partial {(TV)} \over \partial q_{i}}\ höger]=0

för varje generaliserad koordinat . Vi kan ytterligare förenkla detta uttryck om vi noterar att det är en funktion av endast och , och är en funktion av generaliserade koordinater och . Då beror det inte på de generaliserade hastigheterna: $\delta q_{i}$ $V$ $\mathbf {r}$ $t$ $\mathbf {r}$ $t$ $V$

{d \over dt}{\partial {V} \over \partial {{\dot q}_{i))}=0.

Om vi infogar detta i föregående ekvation och ersätter , får vi Lagranges ekvationer : $L=TV$

{\partial {L} \over \partial q_{i}}={d \over dt}{\partial {L} \over \partial {{\dot q}_{i}}}.

Precis som Newtons ekvationer är Lagranges ekvationer andra ordningens ekvationer, vilket följer av deras härledning. Det finns en Lagrange-ekvation för varje generaliserad koordinat . När (det vill säga generaliserade koordinater bara är kartesiska koordinater) kan det enkelt verifieras att Lagranges ekvationer reduceras till Newtons andra lag. $q_{i}$ $q_{i}=r_{i}$

Ovanstående härledning kan generaliseras till ett system av partiklar. Då kommer det att finnas generaliserade koordinater associerade med positionskoordinaterna genom transformationsekvationer. I var och en av Lagrange-ekvationerna är systemets totala kinetiska energi och den totala potentiella energin. $N$ $3N$ $3N$ $3N$ $T$ $V$

I praktiken är det ofta lättare att lösa ett problem med Euler-Lagrange-ekvationerna snarare än Newtons lagar, eftersom de lämpliga generaliserade koordinaterna kan väljas för att redogöra för problemets symmetri . $q_{i}$

Problemexempel

Uppgift 1. Betrakta en spetsmassa som rör sig utan friktion längs en fast vertikal ring. Systemet har en frihetsgrad. Låt oss som koordinat välja avvikelsesvinkeln för radien riktad mot pärlan från gravitationsvektorn . Den kinetiska energin kommer att skrivas i formen $m$ $\varphi$ $m{\vec {g}}$

T={\frac {mr^{2}{\dot \varphi }^{2}}{2}},

och den potentiella energin är

U=-mgr\cos\varphi .

Lagrange funktion för detta system

L=TU={\frac {mr^{2}{\dot \varphi }^{2}}{2}}+mgr\cos \varphi .

Lagrangekvationerna kommer att ha formen:

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \varphi }}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}={\frac { d}{dt))(mr^{2}{\dot \varphi })+mgr\sin \varphi =mr^{2}{\ddot \varphi}+mgr\sin \varphi =0.

Denna ekvation kan också erhållas genom att differentiera lagen om bevarande av mekanisk energi med avseende på tid. För små vinklar är vinkelns sinus lika med själva vinkeln: . I det här fallet får vi $\varphi$ $\sin \varphi \approx \varphi$

mr^{2}{\ddot \varphi }=-mgr\,\varphi

det är

{\ddot \varphi }=-{\frac {g}{r}}\,\varphi

Denna differentialekvation är känd från Newtons rörelseekvationer och har en lösning

\varphi (t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t

där konstanterna och beror på de initiala förhållandena, och $A$ $B$ $\omega ={\sqrt {{\frac {g}{r))))$

Uppgift 2. Betrakta en punktvulst av massa som rör sig utan friktion längs en vertikal ring som roterar runt sin vertikala axel med konstant vinkelhastighet . Systemet har en frihetsgrad. Låt oss som koordinat välja avvikelsesvinkeln för radien riktad mot pärlan från gravitationsvektorn . Den kinetiska energin kommer att skrivas i formen $m$ $\omega$ $\varphi$ $m{\vec {g}}$

T={\frac {m}{2}}(r^{2}{\dot \varphi }^{2}+r^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\dot \theta } ^{2}),

var är ringens rotationsvinkel. Den potentiella energin är $\theta$

U=-mgr\cos\varphi .

Lagrange funktion för detta system

L=TU={\frac {m}{2}}(r^{2}{\dot \varphi }^{2}+r^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\dot \ theta }^{2})+mgr\cos\varphi .

Lagrangekvationerna tar formen

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }} ={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\varphi }})-mr^{2}\sin \varphi \cos \varphi \,{\dot {\theta }} ^{2}+mgr\sin \varphi =mr^{2}{\ddot {\varphi }}-{\frac {mr^{2}\omega ^{2}}{2}}\sin 2\varphi +mgr\sin\varphi=0,

eftersom är en given funktion av tiden (inte en generaliserad koordinat). $\theta =\theta _{0}+\omega t$

Problem 3. Om ringens rotationshastighet inte gavs till oss, utan bestämdes av systemets rörelse (säg en lätt ring som roterar utan friktion), så skulle vi istället för en Lagrange-ekvation få två (ekvationer för och för ): $\varphi$ $\theta$

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \varphi }}}-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0,\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot \theta }}}-{\frac {\partial L}{\partial \theta }}=0,

mr^{2}{\ddot {\varphi }}-{\frac {mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}\sin 2\varphi +mgr \sin \varphi =0,\quad {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\varphi \,{\dot {\theta }})=0.

Dessa ekvationer kan också erhållas genom att med avseende på tid differentiera lagen om bevarande av mekanisk energi och lagen om bevarande av rörelsemängd.

Relativistisk lagrangisk mekanik

Grundpostulatet för relativitetsteorin - konstanten för ljusets hastighet i alla tröghetsramar leder till ett invariant värde som kallas intervallet s , vilket är ett specifikt mått i fyrdimensionell rum-tid:

$s^{2}=c^{2}t^{2}-{\mathbf {x}}^{2}$

För ett godtyckligt (det vill säga inte nödvändigtvis enhetligt och rätlinjigt) rörligt system kan man överväga oändligt små tidsintervall under vilka rörelsen kan anses vara enhetlig. Låt ett rörligt föremål färdas en sträcka dx i ett tidsintervall enligt en stillastående klocka. Sedan för intervallet har vi uttrycket $dt$

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}=c^{2}dt^{2}(1-dx^{2}/c^{2}dt^{ 2})=c^{2}dt^{2}(1-v^{2}/c^{2})$

Följaktligen,

$ds=cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Integrering får vi

$S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}cdt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Därför, om vi accepterar Lagrangian för en relativistisk partikel som proportionell mot integranden av hastigheten, så kommer den indikerade integralen att vara en aktionsinvariant med avseende på tröghetssystem.

Av skäl som sammanfaller med klassisk mekanik vid låga hastigheter är lagrangian för en fri relativistisk partikel i en tröghetsram slutligen lika med

$L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Följaktligen är det relativistiska momentumet lika med

${\mathbf {p}}={\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v ^{2}/c^{2}}}}}$

relativistisk energi är

$E={\mathbf {pv}}-L={\frac {mc^{2}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Man kan se att även vid nollhastighet har partikeln energi (i motsats till klassisk mekanik), som kallas viloenergi.

Härifrån är det lätt att få det relativistiska förhållandet mellan energi och momentum

$E^2=p^2c^2+m^2c^4$

Lagrangisk formalism i fältteori

I fältteorin ersätts summan av lagrangianerna av partiklarna i ett mekaniskt system av en integral över en viss rymdvolym av den så kallade lagrangiska densiteten (i fältteorin kallas den lagrangiska densiteten ibland för lagrangian):

$L=\int _{V}{\mathcal {L}}d^{3}r$

Följaktligen är åtgärden

$S=\int _{{t_{0}}}^{{t}}\int _{V}{\mathcal {L}}d^{3}rdt=\int _{X}{\mathcal {L }}d^{4}x$

där den sista formeln antar integration över fyrdimensionell rum-tid.

Det antas att den lagrangiska tätheten inte beror direkt på koordinaterna, utan beror på fältfunktionen och dess första derivator. Euler-Lagrange-ekvationerna i detta fall har formen:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u_{a}(x)))-\partial _{{\nu }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L }}}{\partial (\partial _{{\nu }}u_{a}(x)))}}\right)=0$

Tillägg av Lagrangian-mekanik

Hamiltonian, betecknad , erhålls genom att utföra Legendre-transformationer på Lagrange-funktionen. Hamiltonian är grunden för en alternativ formulering av klassisk mekanik känd som Hamiltonian mekanik . Denna funktion är särskilt vanlig inom kvantmekanik (se Hamiltonian (kvantmekanik) ). $\mathbf {H}$

1948 uppfann Feynman vägintegralformuleringen och utvidgade principen om minsta verkan till kvantmekaniken. I denna formulering färdas partiklar längs alla möjliga vägar mellan initiala och slutliga tillstånd ; sannolikheten för ett visst sluttillstånd beräknas genom att summera (integrera) över alla möjliga banor som leder dit. I det klassiska fallet återger formuleringen av vägintegralen helt Hamiltons princip.

Klassiska verk

Lagrange J. Analytical mechanics, volym 1. - M.-L.: GITTL, 1950.
Lagrange J. Analytical mechanics, volym 2. - M.-L.: GITTL, 1950.
Mekanikens variationsprinciper. Samling av artiklar av vetenskapens klassiker. Redigerat av Polak L. S. - M .: Fizmatgiz, 1959.

Se även

Anteckningar

↑ Bobylev D.K. I början av Hamilton eller Ostrogradsky och i början av den minsta Lagrange-handlingen / Appendix till volym LXI Zap. Ak. Vetenskaper. - St Petersburg. , 1889.

Litteratur

Gantmakher F. R. Föreläsningar om analytisk mekanik: Lärobok för gymnasieskolor / Ed. E.S. Pyatnitsky . - 3:e uppl. — M .: Fizmatlit , 2005. — 264 sid. — ISBN 5-9221-0067-X .
Goldstein H. Klassisk mekanik. — 2:a upplagan. - Addison-Wesley, 1980. - s. 16.
Moon FC tillämpad dynamik med applikationer till flerkropps- och mekatroniska system. - Wiley, 1998. - s. 103-168.

Länkar

Rychlik, Marek. " Lagrangian och Hamiltonian mekanik - en kort introduktion "
Tong, David. Klassisk dynamik föreläsningar från University of Cambridge
Aslanov V. S., Timbay I. A. Stel kroppsrörelse i det generaliserade Lagrange-fallet