Maktlagen

I statistik är en maktlag ( eng.  power law ) ett sådant funktionellt förhållande mellan två storheter, där en relativ förändring av en kvantitet leder till en proportionell relativ förändring av en annan kvantitet, oavsett initialvärdena dessa kvantiteter: beroendet av en storhet av en annan är en potensfunktion . Tänk till exempel på beroendet av en kvadrats yta på längden på dess sida. Om längden fördubblas kommer arean att fyrdubblas. [ett]

Fallstudier

I många fysiska, biologiska och artificiella fenomen observeras fördelningar som ungefär motsvarar en maktlag på olika skalor: till exempel storleken på månkratrar och solutbrott [2] , matningsmönster för olika arter [3] , aktiviteten hos populationer av neuroner [4] , frekvensen av att använda ord på de flesta språk, förekomsten av efternamn , antalet arter i kladdet av organismer [5] , omfattningen av olyckor i kraftsystem , antalet brottsanklagelser per brottsling, antalet vulkanutbrott [6] , mänskliga uppskattningar av intensiteten av stimuli [7] [8] och många andra kvantiteter [9] . Empiriska fördelningar kan motsvara en maktlag i hela området av deras värden, eller till exempel i svansen. Dämpningen av ljudvibrationer följer en kraftlag över breda frekvensband i många komplexa miljöer. Allometriska mönster för samband mellan biologiska variabler är bland de mest kända exemplen på maktlagar i naturen.

Egenskaper

Skalinvarians

Maktlagen kännetecknas av skalinvarians . Om är sant , då skalning av argumentet med en konstant faktor kommer att göra att funktionen i sig skalas proportionellt. Det är:

där anger direkt proportionalitet . Med andra ord, multiplicera argumentet med en konstant resulterar bara i att värdet på funktionen multipliceras med en konstant . Således är alla potenslagar med en given exponent ekvivalenta upp till multiplikation med en konstant, eftersom de alla bara är skalade versioner av varandra. Detta ger upphov till ett linjärt samband mellan logaritmerna för och , och en rät linje på en log-log plot , vilket ofta anses vara ett kännetecken för en potenslag. I verkliga data är denna funktion nödvändig, men inte tillräcklig, för att dra slutsatsen att det finns en maktlag. Det finns många sätt att generera ändliga mängder data som efterliknar en maktlag, men som avviker från den i den asymptotiska gränsen (till exempel om datagenereringsprocessen följer en lognormalfördelning ). Att kontrollera modeller för efterlevnad av en maktlag är ett egentligt forskningsområde inom statistik, se nedan.

Avsaknad av ett strikt definierat medelvärde

Kraftlagen har ett väldefinierat medelvärde vid , endast om , och har en finit varians , endast om . För de flesta av de kända kraftlagarna i naturen är exponentens värden sådana att medelvärdet är strikt definierat, men variansen är det inte, så för dem finns det en möjlighet att händelser av den " svarta svanen " inträffar. typ. [10] Detta kan illustreras med följande tankeexperiment: [11] Föreställ dig själv i ett rum med vänner och uppskatta den genomsnittliga månadsinkomsten i det rummet. Föreställ dig nu att den rikaste personen i världen med en månadsinkomst på cirka 1 miljard US$ gick in i detta rum. Hur kommer värdet på den genomsnittliga månadsinkomsten i rummet att förändras? Inkomstfördelningen följer en maktlag som kallas Pareto-fördelningen (till exempel fördelas amerikanernas rikedom enligt en maktlag med exponenten 2).

Å ena sidan tillåter detta inte korrekt användning av traditionell statistik baserad på varians och standardavvikelse (till exempel regressionsanalys ). Å andra sidan möjliggör det ett kostnadseffektivt ingripande. [11] Låt oss till exempel säga att bilavgaserna fördelas enligt en kraftlag mellan bilar (det vill säga att de flesta föroreningarna kommer från ett mycket litet antal bilar). Då räcker det med att ta bort detta lilla antal bilar från vägarna för att avsevärt minska den totala mängden utsläpp. [12]

Medianen finns: för en potenslag x - k med en exponent, tar den värdet 2 1/( k  - 1) x min , där x min  är det lägsta värdet för vilket potenslagen gäller [13]

Maktlagstest

Även om maktlagen är attraktiv av många teoretiska skäl, kräver det mer än att bara anpassa modellparametrarna för att bevisa att data verkligen följer en maktlag. [14] Det är viktigt att förstå hur distributioner uppstår: uppenbarligen liknande distributioner kan uppstå av signifikant olika anledningar, och olika modeller ger olika förutsägelser, till exempel vid extrapolering. [15] [16]

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Yaneer Bar-Yam. Begrepp: Maktlag . New England Complex Systems Institute. Hämtad 18 augusti 2015. Arkiverad från originalet 11 juli 2015.
  2. ↑ Newman, MEJ Maktlagar, Pareto-fördelningar och Zipfs lag  //  Contemporary Physics : journal. - 2005. - Vol. 46 , nr. 5 . - s. 323-351 . - doi : 10.1080/00107510500052444 . - . - arXiv : cond-mat/0412004 .
  3. ↑ Humphries NE, Queiroz N., Dyer JR, Pade NG, Musyl MK, Schaefer KM, Fuller DW, Brunnschweiler JM, Doyle TK, Houghton JD, Hays GC, Jones CS, Noble LR, Wearmouth VJ, Southall EJ, Sims DW Environmental sammanhang förklarar Lévy och Brownska rörelsemönster för marina rovdjur  //  Nature: journal. - 2010. - Vol. 465 , nr. 7301 . - P. 1066-1069 . - doi : 10.1038/nature09116 . — . — PMID 20531470 .
  4. ↑ Klaus A., Yu S., Plenz D. Statistiska analyser stödjer maktlagsfördelningar som finns i neuronala laviner  // PLoS ONE : journal  /  Zochowski, Michal. - 2011. - Vol. 6 , nr. 5 . — P. e19779 . - doi : 10.1371/journal.pone.0019779 . - . — PMID 21720544 .
  5. ↑ Historisk biogeografi av neotropiska sötvattenfiskar  / Albert, JS; Reis, RE. — Berkeley: University of California Press , 2011. Arkiverad 30 juni 2011 på Wayback Machine
  6. ↑ Cannavò, Flavio; Nunnari, Giuseppe. Om en möjlig enhetlig skalningslag för vulkanutbrottslängd   // Vetenskapliga rapporter : journal. - 2016. - 1 mars ( vol. 6 ). — S. 22289 . — ISSN 2045-2322 . - doi : 10.1038/srep22289 . - . — PMID 26926425 . Arkiverad från originalet den 18 januari 2017.
  7. ↑ Stevens, S.S. (1957). Om den psykofysiska lagen. Psychological Review, 64, 153-181
  8. ↑ Staddon, JER (1978). Teori om beteendemässiga maktfunktioner. Psychological Review, 85, 305-320.
  9. ↑ Clauset, Shalizi, Newman, 2009 .
  10. ↑ Newman, M.E.J.; Reggiani, Aura; Nijkamp, ​​Peter. Maktlagar, Pareto-distributioner och Zipfs  lag //  Städer. — Elsevier , 2005. — Vol. 30 , nej. 2005 . - s. 323-351 . - doi : 10.1016/j.cities.2012.03.001 . - arXiv : cond-mat/0412004 .
  11. ↑ 1 2 9na CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Leyes de potencias, https://www.youtube.com/watch?v=4uDSEs86xCI Arkiverad 14 augusti 2019 på Wayback Machine
  12. ↑ Malcolm Gladwell (2006), Million-Dollar Murray; Arkiverad kopia . Hämtad 14 juni 2015. Arkiverad från originalet 18 mars 2015.
  13. ↑ Newman, Mark EJ. "Maktlagar, Pareto-distributioner och Zipfs lag." Samtida fysik 46.5 (2005): 323-351. . Hämtad 24 januari 2019. Arkiverad från originalet 25 november 2018.
  14. ↑ Hilbert, Martin. Skalfria maktlagar som interaktion mellan framsteg och spridning  //  Complexity : journal. - 2013. - Vol. 19 , nr. 4 . - S. 56-65 . - doi : 10.1002/cplx.21485 . - . Arkiverad från originalet den 7 november 2018.
  15. ↑ Hall, P. On Some Simple Estimations of an Exponent of Regular Variation  //  Journal of the Royal Statistical Society, Series B : journal. - 1982. - Vol. 44 , nr. 1 . - S. 37-42 . — .
  16. ↑ Stumpf, MPH Kritiska sanningar om maktlagar  // Vetenskap  :  tidskrift. - 2012. - Vol. 335 , nr. 6069 . - s. 665-666 . - doi : 10.1126/science.1216142 . - . — PMID 22323807 .

Litteratur

Länkar